函數與導數綜合演練（B卷）答案與提示

一、選擇題

1.【答案】B

提示：求出導函數由于函數f(x)=k x-l nx在區間(2，+∞)上單調遞增，因此在區間(2，+∞)上恒成立，解得選B。

2.【答案】A

提示：函數f(x)=ex-l n(x+a)(a∈R)，則

3.【答案】A

提示：設則g'(x)=函數g(x)是R上的減函數。因為函數f(x+3)是偶函數，所以f(-x+3)=f(x+3)，函數關于x=3對稱，f(0)=f(6)=1。不等式f(x)＞ex等價于g(x)＞1，即g(x)＞g(0)，x＜0。不等式f(x)＞ex的解集為(-∞，0)。選A。

4.【答案】C

提示：y'=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1)。令y'＞0，解得或x＜-1。再令y'＜0，解得所以x=-1，x=分別是函數的極大值點和極小值點。因為-1，所以f(x)在[-2，1]上的最小值為-1，選C。

5.【答案】A

提示：由，可知，解得選A。

6.【答案】C

提示：函數在x=1處有極值，說明函數在x=1處的導數為0。因為f'(x)=3x2+2a x+b，所以f'(1)=3+2a+b=0。又因為f(1)=1+a+b+a2=10，所以聯立上式可求得a=4，b=-11或a=-3，b=3。當a=-3，b=3時，f'(x)=3(x-1)2≥0在x=1處無極值，所以解析式為f(x)=x3+4x2-11x+16。f(2)=18，選C。

7.【答案】B

提示：構造函數求出導數由于?x∈R，總有(2-x)f(x)+x f'(x)＜0，所以當x＞0時，g'(x)＜0，函數g(x)遞減；當x＜0時，g'(x)＞0，函數g(x)遞增。因此，g(x)＜g(0)=0，即恒成立，所以f(x)＜0恒成立，選B。

8.【答案】D

提示：函數的導數y'=恒有解，則a≠0，Δ=4a2+4a≥0，解得a≤-1或a＞0。檢驗知：當a=-1時無極值點，所以a＜-1或a＞0，選D。

9.【答案】D

提示：由于函數f(x)=x3-2x2+a x+3在[1，2]上單調遞增，所以f'(x)=3x2-所以f(x)＜ex等價于4x+a≥0在[1，2]上恒成立。二次函數的對稱軸為則f'(x)在[1，2]上單調遞增，f'(x)min=f'(1)=-1+a≥0，解得a≥1，選D。

10.【答案】D

提示：由3x+a(2y-4 ex)(l ny-l nx)=0，得令則t＞0，3+2a(t-2 e)l nt=0，即(t-2 e)l nt有解。設g(t)=(t-2 e)l nt，則為增函數。因為g'(e)=，所以當t＞e時，g'(t)＞0；當0＜t＜e時，g'(t)＜0。即當t=e時，函數g(t)取得極小值g(e)=-e。即g(t)≥g(e)=-e。若(t-2 e)l n有解，則即a＜0或選D。

11.【答案】D

提示：0)。令f'(x)＞0，解得x＞2；令f'(x)＜0，解得0＜x＜2。f(x)在(0，2)上遞減，在(2，+∞)上遞增，x=2是函數的極小值點，選D。

12.【答案】A

提示：令其導數g'(x)=由?x∈R都有f'(x)＞f(x)，則有g'(x)＞0，即函數g(x)在R上為增函數。又f(1)=e，則即g(x)＜g(1)，x＜1。因此，不等式f(x)＜ex的解集為(-∞，1)，選 A。

13.【答案】B

提示：令f(x)-a x2+1，則f'(x)=x2-2a x。因為a＞2，所以當x∈(0，2)時，f'(x)＜0，即f(x)在(0，2)上為減函數。又故函數在(0，2)上有且只有一零點，即方程在(0，2)上恰好有1個根，選B。

14.【答案】D

提示：根據導數函數圖像可判斷f(x)在(0，1)上單調遞增，在(1，+∞)上單調遞減。由△A B C為銳角三角形，得所以s i nA＜1，即0＜c o sB＜s i nA＜1，f(s i nA)＞f(c o sB)，選D。

15.【答案】D

提示：因為函數f(x)=ex(s i nxc o s

x)，所以f'(x)=2 exs i nx。令f'(x)=0，可得x=kπ(k∈z)。當x∈(2kπ，2kπ+π)時，f'(x)＞0，函數單調遞增；當x∈(2kπ+π，2kπ+2 π)時，f'(x)＜0，函數單調遞減。故當x=2kπ+π時，函數f(x)取得極大值，此時f(2kπ+π)=e2kπ+π[s i n(2kπ+π)-c o s(2kπ+π)]=e2kπ+π。又0≤x≤2019 π，所以函數f(x)的各極大值之和為eπ+e3π+e5π選D。

16.【答案】C

提示：由g(x)=g'(1)ex-1-g(0)x+得g'(x)=g'(1)ex-1-g(0)+x。則g'(1)=g'(1)-g(0)+1，解得g(0)=1。

又g(0)=g'(1)e-1，解得g'(1)=e。

17.【答案】A

提示：問題轉化為對x∈(0，+∞)恒成立。令則令g'(x)＞0，解得x＞e2；令g'(x)＜0，解得0＜x＜e2。故g(x)在(0，e2)上遞減，在(e2，+∞)上遞增，g(x)的最小值是故k≤1-選A。

18.D

19.C

二、填空題

20.【答案】e

提示：由函數的解析式可得f'(x)=則f'(1)=e，即f'(1)的值為e。

21.【答案】-3

提示：y'=ex(a x+a+1)，則f'(0)=a+1=-2，所以a=-3。

22.【答案】-3

提示：由f'(x)=6x2-2a x=0，得x=0或因為函數f(x)在(0，+∞)上有且僅有一個零點，且f(0)=1，所以因此解得a=3。從而函數f(x)=2x3-3x2+1在[-1，0]上單調遞增，在[0，1]上單調遞減，所以f(x)max=f(0)=1。又f(-1)=-4，f(1)=0，所以f(x)min=-4，f(x)max+f(x)min=-3。

三、解答題

23.(1)因為f(x)=[a x2-(4a+1)x+4a+3]ex，所以f'(x)=[a x2-(2a+1)x+2]ex，f'(1)=(1-a)e。由題設知f'(1)=0，則(1-a)e=0，解得a=1。此時f(1)=3 e≠0，所以a的值為1。

(2)由(1)得f'(x)=[a x2-(2a+1)x+2]ex=(a x-1)(x-2)ex。

綜上可知，a的取值范圍是

24.(1)由得f'(x)則f'(0)=2，也即曲線y=f(x)在點(0，-1)處的切線斜率為2，所求切線方程為y=2x-1。

因為a≥1，所以

令f'(x)=0，則或x=2。

所以函數f(x)在和(2，+∞)上單調遞減，在上單調遞增。

①當x≥2時，a x2+x-1＞0，ex＞0，所以f(x)＞0，f(x)+e≥0。

②當x＜2時，f(x)在上單調遞減，在上單調遞增。

因為a≥1，所以可知

因此，當x＜2時

綜上可知，當a≥1時，f(x)+e≥0。

25.(1)①由當-2≤a≤2時，Δ≤0，f'(x)≤0，此時f(x)在(0，+∞)上為單調遞減。

②當Δ＞0時，a＜-2或a＞2，此時方程x2-a x+1=0兩根為當a＜-2時，此時兩根均為負，所以f'(x)在(0，+∞)上單調遞減。當a＞2 時，Δ＞0，此 時f(x)在上 單 調 遞 減，f(x)在上單調遞增，f(x)在上單調遞減。

綜上可得，a≤2時，f(x)在(0，+∞)上單調遞減；a＞2時，f(x)在上單調遞減，f(x)在上單調遞增。

(2)由(1)可得，x2-a x+1=0兩根x1，x2則a＞2，且x1+x2=a，x1x2=1。令0＜x1＜x2，則