高考中推理與證明的創(chuàng)新題探索

■河南省羅山高級(jí)中學(xué) 王 盟

當(dāng)下社會(huì)對(duì)科技創(chuàng)新尤為看重，創(chuàng)新需要人才，這就決定了高校要選拔具有創(chuàng)新潛質(zhì)的人才，因而，高考數(shù)學(xué)必須重視對(duì)同學(xué)們創(chuàng)新意識(shí)的考查。推理與證明作為高中數(shù)學(xué)的選修部分，在近年來(lái)高考試題中都會(huì)有所體現(xiàn)，題目新穎，具有一定的創(chuàng)新性，所以同學(xué)們務(wù)必認(rèn)真研究創(chuàng)新題的特點(diǎn)，仔細(xì)揣摩命題專家的設(shè)計(jì)意圖，深刻領(lǐng)會(huì)“能力立意”的命題指導(dǎo)思想，準(zhǔn)確解讀《考試大綱》的要求，有益于大家的高效學(xué)習(xí)。鑒于此，下面擬對(duì)高考數(shù)學(xué)中有關(guān)推理與證明的創(chuàng)新題加以分析探究。

一、考綱解讀

(一)合情推理與演繹推理

(1)了解合情推理的含義，能利用歸納和類比進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用；

(2)了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用演繹推理進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的推理；

(3)了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異。

(二)直接證明與間接證明

(1)了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法，了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)；

(2)了解間接證明的一種基本方法——反證法，了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn)。

(三)數(shù)學(xué)歸納法

了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題。

二、核心考點(diǎn)突破

考向1：合情推理

考情聚焦：①合情推理能夠考查同學(xué)們觀察、分析、比較、聯(lián)想的能力，在高考中越來(lái)越受到重視；②多與其他知識(shí)綜合，屬中檔題。

考向鏈接：①歸納推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理，在進(jìn)行歸納時(shí)，要先根據(jù)已知的部分個(gè)體，把它們適當(dāng)變形，找出它們之間的聯(lián)系，從而歸納出一般結(jié)論；②類比推理是由特殊到特殊的推理，是兩個(gè)類似對(duì)象之間的推理，其中一個(gè)對(duì)象具有某個(gè)性質(zhì)，推理另一個(gè)對(duì)象也具有類似的性質(zhì)。在進(jìn)行類比時(shí)，要充分考慮已知對(duì)象的性質(zhì)，然后類比推導(dǎo)另一個(gè)對(duì)象的性質(zhì)。

例1(2016年山東卷)觀察下列等式：

【命題立意】本題主要考查同學(xué)們利用合情推理的方法對(duì)式子進(jìn)行歸納求解的能力。

【思路點(diǎn)撥】利用歸納推理求解。

解析：通過(guò)類比，可以發(fā)現(xiàn)，最前面的數(shù)字是，接下來(lái)是和項(xiàng)數(shù)有關(guān)的兩項(xiàng)的乘積，即n(n+1)，故答案為

例2(2015年高考山東卷)觀察下列各式：

照此規(guī)律，當(dāng)n∈N時(shí)：

【命題立意】本題涉及了合情推理與組合知識(shí)，重點(diǎn)考查了同學(xué)們對(duì)合情推理的理解與運(yùn)用，意在考查同學(xué)們觀察、分析、歸納、推理判斷的能力。解題的關(guān)鍵是能從前幾個(gè)特殊的等式中觀察、歸納、總結(jié)出一般規(guī)律，從而得到結(jié)論，此題屬基礎(chǔ)題。

【思路點(diǎn)撥】(1)合情推理；(2)組合數(shù)。

解析：第一個(gè)等式的右端為40=41-1；第二個(gè)等式的右端為41=42-1；第三個(gè)等式的右端為42=43-1，由此推理：第n個(gè)等式的右端為4n-1。

考向2：演繹推理

考情聚焦：(1)近幾年高考，證明題不可或缺，不少證明過(guò)程主要是通過(guò)演繹推理來(lái)進(jìn)行的；(2)此類試題主要以解答題的形式呈現(xiàn)，屬中、高檔題。

考向鏈接：演繹推理是由一般到特殊的推理，數(shù)學(xué)的證明過(guò)程主要是通過(guò)演繹推理進(jìn)行的，只要采用的演繹推理的大前提、小前提和推理形式是正確的，其結(jié)論就一定正確，一定要注意推理過(guò)程的正確性與完備性。

例3數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，已知

(2)Sn+1=4an。

【命題立意】本題主要考查利用演繹推理的方法解決數(shù)列問(wèn)題。

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)演繹推理“三段論”及數(shù)列相關(guān)知識(shí)求解。

解析：(1)因?yàn)閍n+1=Sn+1-Sn，an+1=所以(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn)，即n Sn+1=2(n+1)Sn。

(大前提是等比數(shù)列的定義)

a2=3S1=3，S2=a1+a2=1+3=4=4a1。(小前提)

故對(duì)于任意正整數(shù)n，都有Sn+1=4an。(結(jié)論)

例4(2016年課標(biāo)卷)有三張卡片，分別寫(xiě)有1和2，1和3，2和3。甲，乙，丙三人各取走1張卡片，甲看了乙的卡片后說(shuō)：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”；乙看了丙的卡片后說(shuō)：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”；丙說(shuō)：“我的卡2片上的數(shù)字之和不是5”。則甲的卡片上的數(shù)字是____。

【命題立意】本題主要考查利用演繹推理的方法解決實(shí)際問(wèn)題。

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)演繹推理、綜合推理可得。

解析：由題意可知甲的卡片上的數(shù)字為1和3，乙的卡片上的數(shù)字為2和3，丙的卡片上的數(shù)字為1和2。

答案為1和3。

考向3：直接證明與間接證明

考情聚焦：(1)直接證明與間接證明是數(shù)學(xué)證明的兩種思維方式，考查了同學(xué)們的邏輯思維能力，近幾年高考對(duì)此部分的考查有所加強(qiáng)；(2)此類試題多以解答題的形式呈現(xiàn)，屬中檔題目。

例5已知集合Sn={X|X=(x1，x2，…，xn)，xi∈{0，1}，i=1，2，…，n}(n≥2)對(duì)于A=(a1，a2，…，an)，B=(b1，b2，…，bn)∈Sn，定義A與B的差為A-B=(|a1-b1|，|a2-b2|，…，|an-bn|)；A與B之間的距離為

(1)當(dāng)n=5時(shí)，假設(shè)A=(0，1，0，0，1)，B=(1，1，1，0，0)，求A-B，d(A，B)；

(2)證明：?A，B，C∈Sn，有A-B∈Sn，且d(A-C，B-C)=d(A，B)；(3)

證明：?A，B，C∈Sn，d(A，B)，d(A，C)，d(B，C)三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)。

【命題立意】本題屬于創(chuàng)新題，考查同學(xué)們運(yùn)用新知識(shí)的能力，本題情景是全新的，對(duì)同學(xué)們的“學(xué)習(xí)能力”提出了較高要求。

解析：(1)A-B=(|0-1|，|1-1|，|0-1|，|0-0|，|1-0|)=(1，0，1，0，1)。

d(A，B)=|0-1|+|1-1|+|0-1|+|0-0|+|1-0|=3。

(2)設(shè)A=(a1，a2，…，an)∈Sn，B=(b1，b2，…，bn)∈Sn，C=(c1，c2，…，cn)∈Sn。

因?yàn)閍i，bi∈{0，1}，所以|ai-bi|∈{0，1}(i=1，2，…，n)。

從而A-B=(|a1-b1|，|a2-b2|，…，|an-bn|)∈Sn。

由題意知ai，bi，ci∈{0，1}，i=1，2，…，n。

當(dāng)ci=0時(shí)，||ai-ci|-|bi-ci||=|ai-bi|；

當(dāng)ci=1時(shí)||ai-ci|-|bi-ci||=|(1-ai)-(1-bi)|=|ai-bi|。

所以d(A-C，B-C)= ∑n i=1|ai-bi|=d(A，B)。

(3)設(shè)A=(a1，a2，…，an)∈Sn，B=(b1，b2，…，bn)∈Sn，C=(c1，c2，…，cn)∈Sn。

設(shè)d(A，B)=k，d(A，C)=l，d(B，C)=h。

記0=(0，0，…，0)∈Sn，由(2)可知：

d(A，B)=d(A-A，B-A)=d(0，BA)=k。

d(A，C)=d(A-A，C-A)=d(0，CA)=l。

d(B，C)=d(B-A，C-A)=h。

所以|bi-ai|(i=1，2，…，n)中1的個(gè)數(shù)為k，|ci-ai|(i=1，2，…，n)中1的個(gè)數(shù)為l。

設(shè)t是使|bi-ai|=|ci-ai|=1同時(shí)成立的i的個(gè)數(shù)，則h=l+k-2t。

由此可知，k，l，h三個(gè)數(shù)不可能都是奇數(shù)，即d(A，B)，d(A，C)，d(B，C)三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)。

【總結(jié)升華】(1)有關(guān)否定性結(jié)論的證明常用反證法或舉出一個(gè)結(jié)論不成立的例子即可；

(2)綜合法和分析法是直接證明常用的兩個(gè)方法，我們常用分析法尋找解決問(wèn)題的突破口，然后用綜合法來(lái)寫(xiě)證明過(guò)程，有時(shí)分析法和綜合法要交替使用。

考向4：數(shù)學(xué)歸納法

考情聚焦：(1)新課標(biāo)區(qū)對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的考查有加強(qiáng)的趨勢(shì)，應(yīng)該引起同學(xué)們足夠的重視；(2)此類試題多以解答題的形式呈現(xiàn)，屬中檔題。

例6等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì)任意的n∈N+，點(diǎn)(n，Sn)均在函數(shù)y=bx+r(b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù))的圖像上。

(1)求r的值；

(2)當(dāng)b=2時(shí)，記bn=2(l o g2an+1)(n∈N+)，證明：對(duì)任意的n∈N+，不等式成立。

【命題立意】考查數(shù)學(xué)歸納法。

解析：(1)因?yàn)閷?duì)任意的n∈N+，點(diǎn)(n，Sn)，均在函數(shù)y=bx+r(b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù)的)圖像上，所以Sn=bn+r。

當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=b+r；

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=bn+r-(bn-1+r)=bn-bn-1=(b-1)bn-1。

又因?yàn)閧an}為等比數(shù)列，所以r=-1，公比為b，an=(b-1)bn-1。

(2)當(dāng)b=2時(shí)，an=(b-1)bn-1=2n-1，bn=2(l o g2an+1)=2(l o g22n-1+1)=2n。

①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=，右邊

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立，即成立。

則當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊

所以當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立。

由①、②可得不等式恒成立。

【總結(jié)升華】(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的一些等式，解題的關(guān)鍵在于“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項(xiàng)，項(xiàng)的多少與n的取值是否有關(guān)，由n=k到n=k+1時(shí)等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)，增加了什么項(xiàng)。

(2)在本例證明過(guò)程中，①考慮“n取第一個(gè)值的命題形式”時(shí)，需認(rèn)真對(duì)待，一般情況是把第一個(gè)值代入，判斷命題的真假，②在由n=k到n=k+1的遞推過(guò)程中，必須用歸納假設(shè)，不用歸納假設(shè)的證明就不是數(shù)學(xué)歸納法。

(3)在用數(shù)學(xué)歸納法證明的第二個(gè)步驟中，突出了兩個(gè)“湊”字，一“湊”假設(shè)，二“湊”結(jié)論，關(guān)鍵是明確n=k+1時(shí)證明的目標(biāo)，充分考慮由n=k到n=k+1時(shí)，命題形式之間的區(qū)別和聯(lián)系。

【規(guī)律總結(jié)】

1.合情推理重在“合情”，要求結(jié)論符合“情理”，包括歸納推理與類比推理。歸納推理是由部分得到整體的一種推理模式；類比推理是由此及彼的推理模式；演繹推理是一種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明方式。

2.直接證明的最基本的兩種證明方法是綜合法和分析法，這兩種方法也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)常見(jiàn)的思維方式。在實(shí)際解題時(shí)，通常先用分析法尋求解題思路，再用綜合法有條理地表述解題過(guò)程。

3.數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種方法，在遇到與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題時(shí)，要考慮是否可以使用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。

(1)在證明過(guò)程中突出兩個(gè)“湊”字，即一“湊”假設(shè)，二“湊”結(jié)論，首先在證明n=k+1時(shí)要用上n=k時(shí)的假設(shè)，其次要明確n=k+1時(shí)證明的目標(biāo)，充分考慮由n=k到n=k+1時(shí)，命題形式之間的區(qū)別和聯(lián)系，化異為同，中間的計(jì)算過(guò)程千萬(wàn)不能省略。

(2)注意“兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論”一個(gè)也不能少，切忌忘記歸納結(jié)論。