推理與證明綜合演練卷答案與提示

一、選擇題

1.B

2.A 三段論中的大前提，小前提以及推理形式都是正確的，所以結論正確。

3.B

4.B 利用類比思想結合向量的定義及性質，特別是向量的數量積的定義可知①正確，②③④不正確。

5.C因此，此數列具有周期性依次重復出現，所以

6.C 正三角形的邊對應正四面體的面，也即正三角形所在的正四面體的側面，所以邊的中點對應的就是正四面體中各正三角形的中心。故選C。

7.A 分別令n=1，2，3，所以

8.C

9.D 用反證法證題時一定要將對立面找全。在①中應假設p+q＞2，故①的假設是錯誤的。而②的假設是正確的，故選D。

10.Af(x)=x3+x是奇函數，且在R上是增函數。由a+b＞0，得a＞-b。

所以f(a)＞f(-b)，即f(a)+f(b)＞0。同理f(a)+f(c)＞0，f(b)+f(c)＞0，所以f(a)+f(b)+f(c)＞0。

11.B

12.A 假設＞0，則1+y≥2x，1+x≥2y?2+x+y≥2x+2y?x+y≤2，這與條件矛盾。

13.A 從各個等式可以看出，等式右端均為2，左端為兩個分式的和，且兩個式子的分子之和等于8，分母則為相應分子減去4，設其中一個分子為n，另一個分子必為8-n。

14.C 由題意設O為正四面體的外接球、內切球球心，設正四面體的高為h，由等體積法可求得內切球半徑為，外接球半徑為，所以

15.B 由于k是偶數，故k+2是k后面的第一個偶數。

16.C 要使恒成立，只需而所以n≤4，即n的最大值為4。

二、填空題

17.在四面體A-B C D中，G為△B C D的重心，則

18.對于任意x1，x2∈R 且x1＜x2，有f(x1)＞f(x2)

19.1提示：只有③不正確。

20.提示：n≥2，故第一步應證明當n=2時不等式成立，即

21.nn

三、解答題

22.假設

于是：①+③，得-1＜10+4a+2b＜1。

當n=k+1時，則：，這與②矛盾。

所以假設不成立，即|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個不小于

23.易知

24.(1)由表知，每行的第一個數為偶數，所以第n+1行的第一個數為2n，所以第n行的最后一個數為2n-1。

(2)由(1)知第n-1行的最后一個數為2n-1-1，第n行的第一個數為2n-1，第n行的最后一個數為2n-1。又由觀察知，每行數字的個數與這一行的第一個數相同，所以由等差數列求和公式得Sn=2(2n-3)+2(2n-2)-2(n-2)。

(3)因為210=1024，211=2048，又第11行最后一個數為211-1=2047，所以2008是在第11行中，由等差數列的通項公式得，2008是第11行的第985個數。

25.(1)當n=1時，因為所以原不等式成立。

(2)假設n=k時，原不等式成立，即有

因此，欲證當n=k+1時原不等式成立，只需證明成立，即證

于是當n=k+1時，原不等式也成立。

由(1)(2)可知，當n是一切正整數時，原不等式都成立。

26.(1)c1，c2，c3，c4分別是9，11，12，13。

(2)數列｛cn｝由｛an｝，｛bn｝的項構成，只需討論數列｛an｝的項是否為數列｛bn｝的項。

因為a2n-1=3(2n-1)+6=6n+3=2(3n-2)+7=b3n-2，所以a2n-1是｛bn｝的項。

下面用反證法證明：a2n不是｛bn｝的項。

假設a2n是數列｛bn｝的項，設a2n=bm，則與m為正整數矛盾。

結論得證。