復(fù)數(shù)中創(chuàng)新問(wèn)題的探究

■河南省羅山高中老校區(qū) 潘載香

數(shù)學(xué)創(chuàng)新題是訓(xùn)練和考查同學(xué)們的數(shù)學(xué)思維能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力的好題型?，F(xiàn)就復(fù)數(shù)中的創(chuàng)新問(wèn)題加以盤(pán)點(diǎn)，以期能對(duì)大家的學(xué)習(xí)有所啟發(fā)。

一、新定義型

新定義創(chuàng)新題是近幾年出現(xiàn)的新題型，此類(lèi)題背景新穎、構(gòu)思巧妙，能有效地甄別同學(xué)們的思維品質(zhì)和學(xué)習(xí)潛力。

例1定義一種運(yùn)算如下x1y2-x2y1，復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)是( )。

解析：故z的共軛復(fù)數(shù)為故選B。

點(diǎn)評(píng)：本題新定義了一種運(yùn)算結(jié)構(gòu)，根據(jù)新定義的運(yùn)算結(jié)構(gòu)求出z，從而將問(wèn)題順利解決。

例2對(duì)任意一個(gè)復(fù)數(shù)z定義集合Mz={ω|ω=z2n-1，n∈N*}，設(shè)z滿(mǎn)足z4-1=0，則集合Mz的子集的個(gè)數(shù)可能為_(kāi)___。

分析：通過(guò)對(duì)相應(yīng)方程的求解，求出相應(yīng)的根后再根據(jù)對(duì)應(yīng)的定義加以分析與判斷。

解析：由z4-1=0得，z=±i或者z=±1，由于ω=z2n-1，n∈N*，對(duì)應(yīng)代入可知集合Mz中元素有1個(gè)或2個(gè)，即Mz的子集的個(gè)數(shù)可能為2個(gè)或4個(gè)。

點(diǎn)評(píng)：解決此類(lèi)問(wèn)題，有時(shí)也可以通過(guò)特殊值，結(jié)合相關(guān)等式的冪指數(shù)的周期性加以分析求解。通過(guò)相應(yīng)的關(guān)系式，根據(jù)集合中元素互異性，對(duì)相應(yīng)的復(fù)數(shù)問(wèn)題加以綜合剖析。

二、結(jié)論開(kāi)放型

例3復(fù)數(shù)z=a+bi，a，b∈R，且b≠0，若z2-4b z是實(shí)數(shù)，則有序?qū)崝?shù)對(duì)(a，b)可以是____。(寫(xiě)出一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)即可)

解析：因?yàn)閦2-4b z=(a+bi)2-4b(a+bi)=(a2-4a b-b2)+(2a b-4b2)i∈R，所以2a b-4b2=0，a=2b，故可填(2，1)。

點(diǎn)評(píng)：結(jié)論開(kāi)放型創(chuàng)新問(wèn)題，結(jié)論是不確定或不唯一的，解題時(shí)要注意運(yùn)用相應(yīng)的解題策略。本題結(jié)論開(kāi)放，可以寫(xiě)出無(wú)數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)，如(4，2)，(8，4)等，只要滿(mǎn)足a=2b即可。解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握復(fù)數(shù)及相關(guān)概念。

例4已知a，b，c，d∈R，對(duì)于復(fù)數(shù)z=a+bi，有z(4-i)是純虛數(shù)，(z+2)(1-4 i)是實(shí)數(shù)，且函數(shù)f(x)=a x3+b x2+c x+d在x=0處有極值-2。

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間。

(2)是否存在整數(shù)m，使得方程f(x)=0在區(qū)間(m，m+1)內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根?若存在，求出所有m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

解析：(1)因?yàn)閦(4-i)=(4a+b)+(-a+4b)i∈{純虛數(shù)}，(z+2)(1-4 i)=(a+4b+2)-(4a-b+8)i∈R，且a，b∈R，所以有：

結(jié)論開(kāi)放型創(chuàng)新題主要有兩種類(lèi)型：一類(lèi)是給出多個(gè)問(wèn)題確定出若干個(gè)正確(或錯(cuò)誤)的結(jié)論；一類(lèi)是結(jié)論有無(wú)數(shù)個(gè)只需確定出一個(gè)正確的結(jié)論。

又因?yàn)閒(x)在x=0處有極值-2，故f'(0)=0，f(0)=-2，得c=0，d=-2。

故f(x)=-x3+4x2-2，則f'(x)=或故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞，0)和

(2)由(1)知，當(dāng)x=0時(shí)，f(x)有極小值-2＜0。

故方程f(x)=0在f(x)的三個(gè)單調(diào)區(qū)間(-∞，0)上必各有且僅有一個(gè)根。

因?yàn)閒(1)=1＞0，f(0)＜0，所以方程f(x)=0在(0，1)上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根。同理可得方程f(x)=0在(3，4)，(-1，0)上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根。則m的值為0，3或-1。

點(diǎn)評(píng)：本題是一道復(fù)數(shù)與導(dǎo)數(shù)的交匯問(wèn)題，考查了復(fù)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法，綜合性較強(qiáng)。解決此類(lèi)問(wèn)題常見(jiàn)的方法為：直接法、分析法、反證法，本題運(yùn)用的是直接法，即直接根據(jù)題設(shè)條件及所學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理，以確定問(wèn)題是否存在。

三、與其他知識(shí)交匯型

復(fù)數(shù)的考查往往與其他知識(shí)相結(jié)合，復(fù)數(shù)在其他的知識(shí)背景下，有確定的幾何意義和現(xiàn)實(shí)背景，這類(lèi)問(wèn)題往往出題很靈活。

例5已知關(guān)于x的方程：x2-(6+i)·x+9+ai=0(a∈R)有實(shí)數(shù)根b。

(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；

(2)若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足0，求z為何值時(shí)，|z|有最小值，并求出此值。

分析：(1)根據(jù)b是方程的實(shí)根入手，結(jié)合兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件(特別是其中一個(gè)復(fù)數(shù)為零)，列方程求解出對(duì)應(yīng)的參數(shù)；(2)通過(guò)設(shè)出所求的復(fù)數(shù)z=x+yi(x，y∈R)，根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義得到復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z(x，y)滿(mǎn)足的軌跡方程，再結(jié)合點(diǎn)Z(x，y)軌跡的圖像求出相應(yīng)的最值。

解析：(1)因?yàn)閎是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的實(shí)根，所以(b2-6b+9)+(a-b)i=0，故解得a=b=3。

(2)設(shè)z=x+yi(x，y∈R)，由|-abi|=2|z|，得(x-3)2+(y+3)2=4(x2+y2)，即(x+1)2+(y-1)2=8，Z點(diǎn)的軌跡是以O(shè)1(-1，1)為圓心為半徑的圓。結(jié)合圖像，當(dāng)Z點(diǎn)在O O1的邊線上時(shí)，|z|有最大值或最小值。因?yàn)榘霃絩=所以當(dāng)z=1-i時(shí)

點(diǎn)評(píng)：以復(fù)數(shù)為背景知識(shí)，結(jié)合軌跡問(wèn)題來(lái)解決相關(guān)的解析幾何問(wèn)題，一般以圓的內(nèi)容居多，同時(shí)考查數(shù)形結(jié)合能力、知識(shí)的綜合運(yùn)用與轉(zhuǎn)化能力。

例6對(duì)于任意兩個(gè)復(fù)數(shù)z1=x1+y1i，z2=x2+y2i(x1，y1，x2，y2∈R)，定義運(yùn)算“☉”為：z1☉z2=x1x2+y1y2，設(shè)非零復(fù)數(shù)ω1，ω2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P1，P2，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，如果ω1☉ω2=0，那么在△P1O P2中，∠P1O P2的大小為_(kāi)___。

分析：結(jié)合新定義，設(shè)出對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)ω1，ω2，結(jié)合關(guān)系式與對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)來(lái)判斷三角形三邊關(guān)系，從而判定對(duì)應(yīng)的角的大小。

解析：設(shè)ω1=a1+b1i，z2=a2+b2i(a1，b1，a2，b2∈R)，由ω1☉ω2=0，得a1a2+b1b2=0。

又|O P1|2=+，|O P2|2=+，|P1P2|2=(a1-a2)2+(b1-b2)2，所以|O P1|2+|O P2|2=|P1P2|2，根據(jù)勾股定理可知∠P1O P2=90°，故答案為90°。

點(diǎn)評(píng)：本題充分利用新定義，把復(fù)數(shù)與新定義的運(yùn)算綜合，考查復(fù)數(shù)、平面幾何等相關(guān)的知識(shí)，以新定義創(chuàng)新，達(dá)到復(fù)數(shù)與相關(guān)知識(shí)綜合的目的。

由于目前對(duì)復(fù)數(shù)考查多以中低檔題目出現(xiàn)，難度不大，但涉及面較廣，有的題目還具有一定的綜合性和創(chuàng)新性，所以，同學(xué)們解決該部分問(wèn)題的關(guān)鍵是正確把握復(fù)數(shù)的概念這個(gè)理論基礎(chǔ)，準(zhǔn)確進(jìn)行復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，巧妙應(yīng)用復(fù)數(shù)的幾何意義。