推理與證明綜合演練卷

■河南省羅山高級中學 李貴偉

一、選擇題

1.下列推理過程是類比推理的是( )。

B.科學家通過研究老鷹的眼睛發明了電子鷹眼

C.通過檢測溶液的p H得出溶液的酸堿性

D.由周期函數的定義判斷某函數是否為周期函數

2.下列有關三段論推理“自然數都是整數，4是自然數，所以4是整數”的說法正確的是( )。

A.推理正確 B.推理形式不正確

C.大前提錯誤 D.小前提錯誤

3.勾股定理：在直角三角形中，直角邊長為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2。類比勾股定理可得：在長、寬、高分別為p、q、r，體對角線長為d的長方體中，有( )。

A.p+q+r=d

B.p2+q2+r2=d2

C.p3+q3+r3=d3

D.p2+q2+r2+p q+p r+q r=d2

4.若a，b，c均為實數，則①a b=b a；②(a b)c=a(b c)；③若a b=b c，b≠0，則a=c；④若a b=0，則a=0或b=0。四個結論均是正確的。

對向量a，b，c，用類比推理可得到以下四個結論：

①a·b=b·a；

②(a·b)c=a(b·c)；

③若a·b=b·c，b≠0，則a=c；

④若a·b=0，則a=0或b=0。

其中結論正確的有( )。

A.0個 B.1個

C.2個 D.3個

5.已 知 數 列｛an｝滿 足a1=0，an+1=則a2019等于( )。

6.由“正三角形的內切圓切于三邊的中點”，可類比猜想出正四面體的內切球切于四個側面( )。

A.各正三角形內任一點

B.各正三角形的某高線上的點

C.各正三角形的中心

D.各正三角形外的某點

7.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3(n-1)=3n(n a-b)+c對一切n(n為正整數)都成立，那么( )。

D.不存在這樣的a，b，c

8.下列三句話按三段論的模式排列順序正確的是( )。

①2006能被2整除；

②一切偶數都能被2整除；

③2006是偶數。

A.①②③ B.②①③

C.②③① D.③②①

9.有以下結論：

①已知p3+q3=2，求證：p+q≤2。用反證法證明時，可假設p+q≥2。

②已知|a|+|b|＜1，求證：方程x2+a x+b=0的兩根的絕對值都小于1。用反證法證明時，可假設方程有一根x1的絕對值大于或等于1，即假設|x1|≥1。

下列說法中正確的是( )。

A.①與②的假設都錯誤

B.①與②的假設都正確

C.①的假設正確；②的假設錯誤

D.①的假設錯誤；②的假設正確

10.已知f(x)=x3+x，a，b，c∈R，且a+b＞0，a+c＞0，b+c＞0，則f(a)+f(b)+f(c)的值( )。

A.一定大于零 B.一定等于零

C.一定小于零 D.正負都有可能

11.觀察1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，…，得出的一般性結論是( )。

A.1+2+…+n=(2n-1)2

B.n+(n+1)+…+(3n-2)=(2n-1)2

C.n+(n+1)+…+(2n-1)=(2n-1)2

D.1+2+…+(3n-2)=(n-1)2

12.若x，y＞0且x+y＞2，則和的值滿足( )。

D.不確定

13.已知，依照以上各式的規律，得到一般性的等式為( )。

14.已知結論：在正三角形A B C中，若D是邊B C的中點，G是三角形A B C的重心，則若把該結論推廣到立體幾何，則有結論：在棱長都相等的四面體A-B C D中，若△B C D的中心為M，四面體內部一點O到四面體各面的距離都相等，則等于( )。

A.1 B.2 C.3 D.4

15.已知n為正偶數，用數學歸納法證明時，若已假設n=k(k≥2，且k為偶數)時等式成立，則還需利用歸納假設再證( )。

A.n=k+1時等式成立

B.n=k+2時等式成立

C.n=2k+2時等式成立

D.n=2(k+2)時等式成立

16.若a＞b＞c，且為正整數)恒成立，則n的最大值為( )。

A.2 B.3 C.4 D.5

二、填空題

17.在△A B C中，D為邊B C的中點，則將上述命題類比到四面體中去，得到一個類比命題：____。

18.對于“求證函數f(x)=-x3在R上是減函數”，用“三段論”可表示為：大前提是“對于定義域為D的函數f(x)，若對任意x1，x2∈D且x1＜x2，有f(x1)＞f(x2)，則函數f(x)在D上是減函數”，小前提是“___”，結論是“f(x)=-x3在R上是減函數”。

19.下面的四個不等式：

①a2+b2+c2≥a b+b c+a c；

②a(1-a)≤

④(a2+b2)·(c2+d2)≥(a c+b d)2。

其中不成立的有____個。

2

0.用數學歸納法證明且為正整數)，第一步要證明的不等式是____。

21.已知x＞0，由不等式，啟發我們歸納得到推廣結論≥n+1(n為正整數)，其中a的值為____。

三、解答題

22.設f(x)=x2+a x+b，求證：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個不小于

23.已知a＞0，b＞0，a+b=1，求證：

24.觀察下表：

1，

2，3

4，5，6，7

8，9，10，11，12，13，14，15，

……

問：(1)此表第n行的最后一個數是多少?

(2)此表第n行的各個數之和是多少?

(3)2008是第幾行的第幾個數?

25.求 證：為正整數。

26.已知數列｛an｝和｛bn｝的通項公式分別為an=3n+6，bn=2n+7。將集合｛x|x=an｝∪｛x|x=bn｝中的元素從小到大依次排列，構成數列c1，c2，c3，…，cn，…。

(1)寫出c1，c2，c3，c4；

(2)求證：在數列｛cn｝中，但不在數列｛bn｝中的項恰為a2，a4，…，a2n，…；

(3)求數列｛cn｝的通項公式。