導(dǎo)數(shù)創(chuàng)新思維題
——淺談構(gòu)造函數(shù)的解題策略

■河南省羅山高級中學(xué) 劉 剛

一、命題陷阱

(1)圖形考慮不周；(2)思維定式(構(gòu)造與等式有關(guān)的函數(shù))；(3)已知條件中含有導(dǎo)函數(shù)值而無從下手；(4)錯解恒成立中的最值；(5)含有導(dǎo)函數(shù)的式子中和差構(gòu)造陷阱；(6)構(gòu)造與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)；(7)忽視分母造成解集不完備；(8)構(gòu)造與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)。

二、典例分析

(一)圖形考慮不周

例1已知，若關(guān)于x的方程f2(x)-t f(x)+t-1=0恰好有4個不相等的實數(shù)解，則實數(shù)t的取值范圍為( )。

解析：

當(dāng)x≥0時，

當(dāng)0≤x＜1時，f'(x)＞0；當(dāng)x≥1時，f'(x)≤0。

因此，f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，+∞)上單調(diào)遞減。

當(dāng)x＜0時，f(x)為減函數(shù)。

作出函數(shù)f(x)的草圖，如圖1。

圖1

設(shè)m=f(x)，當(dāng)m時，方程m=f(x)有1個解。

當(dāng)m=0時，方程m=f(x)有1個解；

當(dāng)m＜0時，方程m=f(x)無解。

則方程f2(x)-t f(x)+t-1=0等價于m2-t m+t-1=0。

要使關(guān)于x的方程f2(x)-t f(x)+t-1=0恰好有4個不相等的實數(shù)根，等價于方程m2-t m+t-1=0有2個不同的根m1＞且

令g(m)=m2-t m+t-1=0。

陷阱預(yù)防：這類問題根據(jù)已知條件畫出函數(shù)的圖像，利用圖像求解時注意切線的特殊位置。

方法規(guī)律：函數(shù)圖像在研究零點個數(shù)、解的個數(shù)中的應(yīng)用。

(1)研究兩個函數(shù)圖像的交點個數(shù)：在同一坐標(biāo)系中分別作出兩個函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合求解。

(2)確定方程根的個數(shù)：當(dāng)方程與基本函數(shù)有關(guān)時，可以通過函數(shù)圖像來研究方程的根，方程f(x)=0的根就是函數(shù)f(x)的圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)，方程f(x)=g(x)的根就是函數(shù)f(x)與g(x)對應(yīng)圖像交點的橫坐標(biāo)。

(3)研究不等式的解：當(dāng)不等式問題不能用代數(shù)法求解，但其對應(yīng)函數(shù)的圖像可作出時，常將不等式問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的上、下位置關(guān)系問題，從而利用數(shù)形結(jié)合求解。

(二)思維定式陷阱

例2若函數(shù)f(x)滿足x f'(x)-f(x)=x3ex，且f(1)=0，則當(dāng)x＞0時，f(x)( )。

A.有極大值，無極小值

B.有極小值，無極大值

C.既有極大值又有極小值

D.既無極大值又無極小值

解析：由題設(shè)知，當(dāng)x＞0時

由f(1)=0，得c=0。

所以f(x)=x(x-1)ex。

又f'(x)=(x2+x-1)ex，可令f'(x)=0，解得或(舍去)。

因此，當(dāng)x＞0時，f(x)有極小值無極大值。

故選B。

陷阱預(yù)防：這類問題在構(gòu)造函數(shù)時，注意逆向思維，構(gòu)造出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)與已知條件相同，或者能夠利用已知條件求解。

(三)利用已知條件，先求導(dǎo)，再求解

例3已知函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，且f(x)=2x+f'(0)·(x2-1)，則f(0)的值為( )。

A.l n2 B.0 C.1 D.1-l n2

解析：由f(x)=2x+f'(0)·(x2-1)，可得f'(x)=2xl n2+f'(0)·2x。

令x=0，得f'(0)=l n2。

令x=0，代入原式得f(0)=1-l n2，故選D。

陷阱預(yù)防：根據(jù)已知條件先求特殊值的導(dǎo)函數(shù)值，再求解否則無法解出正確答案。

(四)導(dǎo)函數(shù)式子中有和差，構(gòu)造時需謹(jǐn)慎

例4函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)滿足x f'(x)+f(x)=ex，其中f'(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且f(1)=e，則函數(shù)f(x)( )。

A.有極大值，無極小值

B.有極小值，無極大值

C.既有極大值又有極小值

D.既無極大值又無極小值

解析：由x f'(x)+f(x)=ex，可得

(x f(x))'=(ex)'。

令x f(x)=ex+c，又f(1)=e，故c=0。

故f(x)在(-∞，0)上單調(diào)遞減，(0，1)上單調(diào)遞減，(1，+∞)上單調(diào)遞增，f(x)在x=1處取得極小值，無極大值。

故選B。

陷阱預(yù)防：導(dǎo)函數(shù)式子中有和差結(jié)構(gòu)，一般情況下，和考慮構(gòu)造函數(shù)的積，差考慮構(gòu)造函數(shù)的商。

(五)構(gòu)造與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)

故

例5定義在上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f'(x)，且f'(x)c o sx+f(x)s i nx＜0，f(0)=0，則下列判斷中，一定正確的是( )。

解析：設(shè)

因此，F(xiàn)(x)在上單調(diào)遞減。

故選A。

陷阱預(yù)防：構(gòu)造函數(shù)時注意正弦、余弦的導(dǎo)數(shù)公式，尤其注意余弦的導(dǎo)數(shù)公式的符號。

方法規(guī)律：根據(jù)含導(dǎo)函數(shù)的不等式構(gòu)造原函數(shù)時，常見的類型有：

①原函數(shù)是函數(shù)和差的形式；

②原函數(shù)是函數(shù)乘除的形式；

③原函數(shù)是函數(shù)與x的乘除的形式；

④原函數(shù)是函數(shù)與ex的乘除的形式；

⑤原函數(shù)是函數(shù)與s i nx(c o sx)的乘除的形式；

⑥原函數(shù)是函數(shù)與l nx的乘除的形式。

(六)忽視分母造成解集不完備

例6已知函數(shù)f(x)是定義在(0，+∞)的可導(dǎo)函數(shù)，f'(x)為其導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x＞0且x≠1時若曲線y=f(x)在x=1處的切線的斜率為則f(1)=( )。

解析：當(dāng)x＞0且x≠1時＞0，可得：

當(dāng)x＞1時，2f(x)+x f'(x)＞0；

當(dāng)0＜x＜1時，2f(x)+x f'(x)＜0。

令g(x)=x2f(x)，x∈(0，+∞)。

g'(x)=2x f(x)+x2f'(x)=x·(2f(x)+x f'(x))。

因此，當(dāng)x＞1時，g'(x)＞0；當(dāng)0＜x＜1時，g'(x)＜0。

函數(shù)g(x)在x=1處取得極值。

故g'(1)=2f(1)+f'(1)=0。又f'(1)=，故

故選C。

陷阱預(yù)防：解答時，要討論分母的正負(fù)。

方法規(guī)律：求解這類問題一定要耐心審題、讀懂題，通過對問題的條件和結(jié)論進(jìn)行類比、聯(lián)想、抽象、概括，準(zhǔn)確構(gòu)造出符合題意的函數(shù)。解這類不等式的關(guān)鍵點就是構(gòu)造合適的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)時往往從兩方面著手：①根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的“形狀”變換不等式“形狀”；②若是選擇題，可根據(jù)選項的共性歸納構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)。本題根據(jù)①，聯(lián)想到函數(shù)g(x)=x2f(x)，再結(jié)合條件判斷出其單調(diào)性，進(jìn)而得出正確結(jié)論。

(七)構(gòu)造與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)

例7定義在R上的函數(shù)f(x)與其導(dǎo)函數(shù)f'(x)滿足：f(x)+f'(x)＞e1-x，則下列不等式一定成立的是( )。

A.f(0)+e＜ef(1)

B.f(0)+e＞ef(1)

C.f(0)+e＜f(1)

D.f(0)+e＞f(1)

解析：由f(x)+f'(x)＞e1-x，可得ex(f(x)+f'(x))-e＞0。

令g(x)=exf(x)-ex，則g'(x)=ex[f(x)+f'(x)]-e＞0。

故函數(shù)g(x)在R上為增函數(shù)。

則g(1)＞g(0)，即ef(1)-e＞f(0)。

整理得f(0)+e＜ef(1)，故選A。

陷阱預(yù)防：構(gòu)造函數(shù)時注意兩種情況：原函數(shù)是函數(shù)與ex的乘除的形式；原函數(shù)是函數(shù)與l n

x的乘除的形式。

方法規(guī)律：解答這類題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，主要考查導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的逆用。

三、跟蹤練習(xí)

1.函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)，滿足，且則f(x)的極值情況為( )。

A.有極大值，無極小值

B.有極小值，無極大值

C.既有極大值又有極小值

D.既無極大值也無極小值

解析：因為所以x2f'(x)+2x f(x)=l nx。

故[x2f(x)]'=l nx。

則x2f(x)=xl nx-x+c。

將x=e代入上式得e2f(e)=e l ne-e+c。

令g(x)=-xl nx+2x-e，則g'(x)=1-l nx。當(dāng)x∈(0，e)時，g'(x)＞0；當(dāng)x∈(e，+∞)時，g'(x)＜0。故當(dāng)x=e時，g(x)取得最大值0，則g(x)≤0恒成立，f'(x)≤0恒成立。所以f(x)既無極大值也無極小值，選D。

2.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)，當(dāng)x＜0時，f(x)滿足：2f(x)+x f'(x)＜x f(x)，則f(x)在R上的零點個數(shù)為( )。

A.5 B.3 C.1或3 D.1

解析：根據(jù)題意可構(gòu)造函數(shù)F(x)=

則F'(x)

由題知當(dāng)x＜0時，f(x)滿足：2f(x)+x f'(x)＜x f(x)，故F'(x)＞0。

因此，當(dāng)x＜0時，函數(shù)F(x)是增函數(shù)。

又因為F(0)=0，所以當(dāng)x＜0時，F(xiàn)(x)＜F(0)=0成立。

因為f(x)是奇函數(shù)，所以x＞0時，f(x)＞0。

因此，f(x)=0只有一個根就是0。

故選D。

3.定義在上的函數(shù)y=f(x)滿足：f(x)＞f'(x)t a nx恒成立，則下列不等式中成立的是( )。

解析：因為所以s i nx＞0，c o sx＞0。

由f(x)-f'(x)t a nx＞0，得f(x)c o sx＞f'(x)s i nx。

g(1)＞，故B錯誤。

g，故C錯誤。

同理，D也錯誤。

故答案為A。

4.已知定義在(0，+∞)上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f'(x)，且滿足f'(x)·(xl nx2)＞2f(x)，則( )。

A.6f(e)＞2f(e3)＞3f(e2)

B.6f(e)＜3f(e2)＜2f(e3)

C.6f(e)＞3f(e2)＞2f(e3)

D.6f(e)＜2f(e3)＜3f(e2)

解析：令則g'(x)=

故g(x)在(0，+∞)上遞增，g(e)＜g(e2)＜g(e3)。

整理得6f(e)＜3f(e2)＜2f(e3)。

故選B。

5.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在(-∞，0)上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f'(x)，且有x f'(x)＜3f(x)，則不等式8f(x+2019)+(x+2019)3·f(-2)＞0的解集為( )。

A.(-∞，-2021)

B.(-2021，0)

C.(-2021，-2019)

D.(-∞，-2022)

解析：函數(shù)f(x)是定義在(-∞，0)上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f'(x)，且有x f'(x)＜3f(x)。因為x＜0，所以x2f'(x)-3x f(x)＞0。設(shè)則當(dāng)x＜0時，F(xiàn)'(x)＜0，即F(x)在(-∞，0)上是減函數(shù)。

不等式8f(x+2019)+(x+2019)3·f(-2)＞0等價于F(x+2019)-F(-2)＜0，也即F(x+2019)＜F(-2)。因為F(x)在(-∞，0)上是減函數(shù)，所以x+2019＞-2，即x＞-2021。又因為f(x)的定義域為(-∞，0)，所以x+2019＜0，x＜-2019。

不等式8f(x+2019)+(x+2019)3·f(-2)＞0的解集為(-2021，-2019)，故選C。

6.已 知 函 數(shù)f(x)=若不等式f(x)≤4-m x恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是( )。

A.[2，+∞) B.[-2，0)

解析：如圖2，畫出函數(shù)f(x)=的圖像。

圖2

由y=4-m x可知直線在y軸上的截距為4。

若f(x)≤4-m x恒成立，即y=4-m x的圖像恒在分段函數(shù)f(x)的上方，故0≥-m≥-2?0≤m≤2。

故選D。