Kramers-Kronig關系的研究與發展

閻春生

(1.浙江大學 圖書館，浙江 杭州 310058；2.浙江大學 光電科學與工程學院，浙江 杭州 310058)

1 KK關系的提出

KK關系指的是響應函數的實部與虛部之間的一種數學關系，自從Kronig(1926)[1]和Kramers(1927)[2]利用原子氣體模型推導出來以后，它就在光學、材料、非線性、通信等領域得到了廣泛而重要的應用。KK關系的獨特魅力在于，雖然它原始的推導基于具體的物理模型，或者是基于信號的線性、因果性和無限頻率下對激勵的響應為0這樣的物理實在，但它的確可以不依賴于任何模型而存在，它的美在于它純粹的數學性之中蘊含的應用的普適性，這是兩位提出者始料未及的[3]。

2 KK關系的本質

KK關系本質上是希爾伯特變換的一個特例。

2.1 希爾伯特變換[4]

2.2 KK關系本質上是具有因果關系的平方可積函數的希爾伯特變換

對于解析函數，即任何具有因果關系的平方可積L2函數a(x)而言，希爾伯特變換便演化為KK關系，它揭示了其傅立葉變換a(x)=u(x)+iv(x)實部和虛部之間數學上的內在聯系[6]，即：

(1)

(2)

此處P為柯西主值積分，其積分區域是將被積函數的極點x′用極小的半圓去除后形成的，圖1中除了該點以外整個的上半復平面(帶實軸)。

圖1 公式(1)的積分區域(R→∞,r→0)Fig.1 Integral region of formula 1(R→∞,r→0)

若a(t)是實函數，則a(-x)=a*(x)，*號為復共軛，因此a(x)的實部是偶函數，虛部是奇函數，這在量子力學散射問題中稱為交叉條件。上述條件賦予了函數a(t)和a(x)重要的物理意義，例如a(t)代表系統的時域響應，a(x)代表其頻率響應，若將x用頻率ω代替可得[7]：

(3)

(4)

2.3 因果關系的兩層涵義[8]

因果性或因果關系是KK關系的基石，一般有兩層涵義，前者具有更普遍的意義。

(1)原始因果性：結果不能超前于原因，即t<0時，a(t)=0；

(2)相對論因果性：任何信號的傳播速度都不能超過光速。

3 超收斂定理和求和規則[6,9-10]

KK關系涉及到了∞的積分，為了研究柯西積分函數在無窮遠處的漸近行為，引入超收斂定理以及f求和規則。

3.1 超收斂定理

(5)

3.2 f求和規則

(6)

4 介質的線性KK關系

4.1 響應函數

4.1.1 反射譜

通常通過測量垂直入射光反射估計高吸收樣品(如金屬、薄膜、半導體等)的光學常數，其反射譜為r(ω)=|r(ω)|eiθ(ω)，或ln[r(ω)]=ln|r(ω)|+iθ(ω)，|r(ω)|為振幅，R(ω)=|r(ω)|2為反射光強度，θ(ω)為相移，KK關系可以表示為[12]：

(7)

(8)

(9)

其中，式(8)[13-15]又稱為微分KK關系;式(9)[16-17]增加了ln|r(ω)|項，保證被積函數總是有限的。

實驗測得反射率R(ω)或其振幅|r(ω)|，由公式(7)到(9)計算出相位θ(ω)，根據菲涅爾公式r(ω)=[(ω)-1]/[(ω)+1]，就可以計算出復折射率=n+iκ，n和κ分別為折射率和消光系數。

4.1.2 透射譜

對于透射光譜，還需要考慮光在介質中傳輸產生的相移，KK關系修正為[18]：

(10)

其中，T為透射譜函數的振幅，d為厚度。

4.2 電學特性參數

4.2.1 復極化率和復介電常數

4.2.1.1 導體

(11)

(12)

其中用到了積分變換將(-∞,∞)的積分范圍變換到(0,∞)：

(13)

(14)

(15)

4.2.1.2 納米結構

納米結構[20-21]需要考慮局域場效應對系統哈密頓量的貢獻，但并不改變系統格林函數的因果關系，KK關系仍然適用且形式不變。

4.2.1.3 非導電介質

4.2.2 電阻抗

電阻抗Z=Zr+iZj是評測電路、電極、電化學系統的重要參數，Zr代表阻抗，Zj代表電抗，其線性KK關系為[22-24]：

(16)

Zr(ω)-Zr(∞)=

(17)

Zr(ω)-Zr(0)=

(18)

4.3 磁學特性參數[25-26]

(19)

(20)

4.4 光學特性參數

4.4.1 復折射率和復介電常數

復折射率從宏觀角度描述了光與物質的相互作用，其實部n與光波的相速度vφ=c/n有關，虛部κ一般是正的，代表光的衰減。

4.4.1.1 均勻薄膜或薄板

厚度為L的均勻薄膜或薄板，κ=-c/(2ωL)，其KK關系[27]為：

(21)

(22)

求和規則為：

(23)

(24)

4.4.1.2 超材料板

厚度為deff、復折射率為Neff的超材料板，其消光系數為κeff=-Re[ln(eiNeffk0deff)]/k0deff，利用式(21)即可確定其有效折射率neff[28]。

4.4.1.3 氣體分子

4.4.1.4 負折射率介質

(25)

(26)

4.4.1.5 增益介質

(27)

4.4.2 光電導率

光照引起材料電導變化的現象稱為光電導效應，是內光電效應的一種，變化的電導率部分稱為光電導率σopt=σ1+iσ2[32]，滿足線性響應中的Kubo-Greenwood理論[33-34]，其KK關系[35]為：

(28)

(29)

4.4.3 X射線的復原子散射因子[36-37]

X射線吸收光譜XAS和近邊X射線吸收精細結構NEXAFS測試中，都涉及到極紫外EUV和X射線光譜，其復折射率定義為：

N(ω)=1-δ+iβ=

(30)

(31)

(32)

其中，Z是每原子的電子數。

4.5 聲學特性參數

4.5.1 絕熱壓縮系數

(33)

(34)

其中，k=ω/cp(ω)+iα(ω)是超聲波的波數，k2=ω2ρ0K(ω)，ρ0是介質的密度，cp(ω)和α(ω)分別是相速度和衰減系數，二者也滿足KK關系[40]：

(35)

4.5.2 聲折射率[41]

聲折射率的KK關系與式(25)的形式完全一樣。

4.5.3 散射函數[41]

當材料中存在許多尺寸相同各向同性的散射體時，聲波的色散關系變為：

(36)

(37)

(38)

5 非線性KK關系

當激發場很強時，必須考慮非線性效應[42-43]，如和頻、差頻、四波混頻、自相位調制、交叉相位調制、多光子吸收、多次諧波產生、光孤子、拉曼散射、布里淵散射等。

5.1 非線性極化率

5.1.1n階非線性極化率

5.1.1.1 單變量積分

非線性介質的n階極化響應為：

(39)

非退化n階非線性極化率的KK關系為：

χ(n)(ω1,…,ωn)=

(40)

5.1.1.2 多變量積分

對式(40)所有剩余的n-1個頻率變量進行同樣的運算并應用對稱關系可得[44-45]：

(41)

(42)

5.1.2 洛倫茲振蕩器模型[46]

5.1.2.1 和頻

(43)

當r≤m，[χ(n)]m和(ω1,…,ωn)r×[χ(n)]m也是全純函數，KK關系為：

(44)

(45)

5.1.2.2 差頻

當差頻產生時，非線性極化率在復頻率平面的上下部分存在極點，為亞純函數，只要乘以一個函數將相關極點消去可以得到一個全純函數，即：

(46)

其中，Ωku是極點，v=1,2,…,V。

5.1.3 非導電介質諧波極化場

(47)

(48)

大頻率下至少隨ω-2減小的諧波極化率，其α階矩(0≤α≤n)極化率的k次方的KK關系為[49]：

(49)

(50)

其中，0≤α≤k(n+1)-1。

5.1.4 導電介質諧波極化場

對于非線性靜態非消失實張量，頻率趨于0時產生的諧波極化率為：

(51)

導電介質諧波產生極化率的非線性KK關系為：

(52)

5.2 折射率及消光系數的變化

5.2.1 泵浦-探測系統

當兩個單色平面波入射到非線性介質時，由于頻率ωb處光場的存在引起的頻率ωa處折射率的改變Δn(ωa;ωb)和吸收系數的改變Δα(ωa;ωb)為：

(53)

(54)

其中，Ib是頻率ωb處的光輻照度。na和nb分別是頻率ωa和ωb處的線性折射率。假定線性吸收足夠小，α(ωa)c/ωa<

(55)

上式等價于用頻率ωb處固定的強光泵浦和頻率ωa處的弱光探測的泵浦-探測光譜。

5.2.2 自作用系統

用光子能量?ω、強度為I的入射輻射泵浦半導體，折射率改變的KK關系為[51-53]：

(56)

上式與(55)具有相同的形式，但泵浦或擾動為入射光場自身，因此可以看作一個自作用系統。

5.3 響應函數

5.3.1 三階

(57)

(58)

5.3.2n階

將其推廣到任意維度為[55]：

(59)

(60)

其中，Ω0=ω1+…+ωn，Ω1=ω1-ω2，…，Ωn-1=ωn-1-ωn。

5.4 χ(2)晶體泵浦倒空導致的衰減與基波相移[56]

(61)

將δω(θ)代入上式并考慮其對稱性得：

(62)

5.5 非線性復導電率

(63)

(64)

表1列出了幾種非線性效應的名稱和對應復電導率張量的數學表達式，以及在上半/下半頻率平面，對哪個變量(ω、ω1或ω2)解析。

表1 非線性效應及數學形式

6 KK關系的截斷誤差及減小方法

KK關系在應用中最大的局限性在于，復變量僅僅在有限的區間而非整個積分限(0,∞)上已知或可測量，比如光譜相對于整個電磁波譜來說幾乎是微不足道的，運用介質的吸收光譜來計算KK積分必然帶來很大的誤差，如何減小截斷誤差成為重要環節。

6.1 截斷誤差

(65)

(66)

Myhre等人[59]研究了硫酸溶液，發現5 000 cm-1的高波數截止對KK計算的吸收和折射率影響很小，而低波數截止如1 600 cm-1以下時，吸收系數誤差為3%～50%，折射率誤差整個頻段小于5%。

Herbina等人[60]研究了石英粒子，發現其消光譜在紫外可見波段(10 000 cm-1, 50 000 cm-1)特別對n敏感，在熱紅外波段(550 cm-1, 2 000 cm-1)對n和κ同時敏感，如圖2所示。

圖2 κ(黑點)和n(灰線)的雅克比譜分布[60]Fig.2 Jacobian spectrum distribution of theκ(black dot) andn(grey line)[60]

6.2 積分限的外推方法

為了減小KK截斷誤差，需要對積分限以外的數值進行合理的估算，主要有以下方法。

6.2.1 常數外推法

Gottlieb等人[61]研究了氟化鋰的光學特性，將(0,150 cm-1)的反射率設為常數0.24，(3 000 cm-1,∞)的反射率設為常數0.03，該方法雖然簡單但會得到負值，并且在一些頻率吸收系數嚴重失真。

6.2.2 多項式外推法

Thomas等人[62]在分析CdS的激子光譜中，用多項式A+Bv+Cv2進行外推，其中A、B和C可由計算機調整以在能量低于吸收邊的地方產生零吸收。Spitzer等人[63]研究了石英的紅外晶格帶，計算了波長5～37 μm共160個點的數據，相角的校正項為Δθ(λ)=-0.022 4-0.018 8(λ/5)+0.061(λ/5)2。κ>0.1時 KK誤差在消光峰的短波邊較小，在長波邊較大，而κ<0.1時誤差非常大，如圖3所示。

圖3 消光譜：×為理論值；○為KK計算值[63]Fig.3 Extinction spectrum:× is theoretical value; ○ is KK calculation value[63]

6.2.3 冪指數外推法

Herbin等人[60]根據色散理論，采用冪指數外推法：

(67)

文章結合單減KK關系及最佳估計法進行迭代計算，在紫外-可見波段誤差小于1%，在紅外振動帶附近誤差為2%，如圖4所示。

圖4 (a)和(b)分別是先驗和重建的κ和n[60]Fig.4 (a) and (b) are priori and retrieved values ofκandn, respectively[60]

6.2.4 無阻尼諧振子外推法

6.3 積分限選擇法

考慮一個簡單的如圖5所示的色散曲線，高低頻截斷誤差在A-B和C-D部分有相互抵消的傾向，精心選擇可以減小截斷誤差，當ω/ωmin≈ωmax/ω時，抵消的效果最好。

6.4 微KK關系法

微分KK關系如(8)式所示[13-15]，它引入了一個權重因子，其在極點ω′=ω處有一個尖峰，而遠離該點則變得很平很小，使得反射譜強度在每個頻點貢獻不一樣，大大減小了需要積分的范圍，極點兩邊對稱的部分也傾向于相互抵消，因此可以有效降低截斷誤差的影響。常用的復介電常數和復折射率的微分KK關系也可以改寫為：

圖5 色散曲線[58]Fig.5 Dispersion curve[58]

(68)

(69)

(70)

7 KK關系的修正

相比于上述的外推方法，基于錨點的減法KK關系顯得更為有效一些。

7.1 單減KK關系

7.1.1 折射率與消光系數

Bachrach等人[65]在分析法拉第旋光數據的文章中首次提出了單減KK關系[60]：

(71)

其中，n(ω0)是錨點ω0處的折射率，為已知值。SKK的優點在于收斂速度快，可以在有限的波段獲得相對準確的結果。

7.1.2 反射率與相位

Ahrenkiel[66]提出了反射率和相位的SKK關系：

(72)

采用常數外推法，并將ω1處的反射峰用δ函數替代，文章分析了引入未知峰對SKK與KK兩種方法計算誤差的影響：

(73)

當ω～ω0，ω1>ω0時，ΔSKK<ΔKK，并且當反射數據在小范圍可知時，SKK比KK收斂更快。

7.1.3 3次及n次諧波非線性極化率

n次諧波的SKK關系為：

(74)

(75)

如圖6所示，Lucarini等人[67]比較了聚硅烷三次諧波非線性極化率的實驗測量曲線(實線和延長的點畫線)、KK(點)和SKK(線段)計算曲線，可以看出，SKK關系具有較好的重建精度，而KK關系由于截斷誤差而有較大偏離。

圖6 χ(3)(3ω;ω,ω,ω)實部(a)和虛部(b)的測量值，KK和SKK計算值[67]Fig.6 Measured, KK and SKK values ofχ(3)(3ω;ω,ω,ω):(a)the real part; (b)the imaginary part[67]

7.2 多減KK關系

7.2.1 反射率與相位

Palmer等人[68]1998年在SKK的基礎上推導了多減KK(MSKK)公式：

(76)

采用常數外推法，假設在波數ωp>ωmax時，存在一個近似為狄拉克δ函數尖銳吸收帶，N階和N-1階MSKK、KK關系的截斷誤差分別為ΔN、ΔN-1和Δ0，并有如下關系：

(77)

(78)

上式說明MSKK比KK關系截斷誤差小，而且錨點越多理論上截斷誤差越小。

7.2.2n次諧波非線性極化率

Lucarini等人[67]同樣也推導了n次諧波非線性極化率的MSKK關系：

(79)

(80)

7.3 差分多減KK關系[69-70]

對傳遞函數ln[H(ω)]=ln[H(ω)]+idθ兩邊求導，得：dln[H(ω)]/dω=dln[H(ω)]/dω+idθ/dω，求導不改變其因果性，因此也滿足KK關系：

(81)

差分多減KK關系可以表示為：

(82)

dθ/dω是時間延遲，因此差分多減KK關系實際上是傳遞函數幅度的導數與其時間延遲之間的關系。

圖7 一維周期介質散射譜相位差重建[69]：實驗測量SPEBI方法(實線)，KK關系(點畫線)，DSSKK關系(點)，DMSKK(線段)Fig.7 Phase difference reconstruction of one-dimensional periodic dielectric scattering spectrum[69]:experimental measurement SPEBI method(solid line); KK relationship(dash dot); DSSKK relationship(dot); DMSKK relationship(line segment)

從圖7可以看出，僅用了兩個錨點(1 542.55 nm和1 563.55 nm)的DMSKK方法精度最高，與用相位差光譜測量方法SPEBI實驗得到的曲線最逼近，DSSKK(錨點1542.55 nm)次之，而KK方法則無法正確重建相差。

8 KK關系的新發展

8.1 空間KK關系

8.1.1 單向無反射空間KK介質

最近Horsley等人提出了一種空域上的KK關系，如果平面介質的非均勻介電常數的空間分布函數ε(x)=εb+α(x)在上或下復空間平面解析，則滿足式(83)和式(84)的空間KK關系[71]，其中εb>0是假定的背景值，當x→±∞時，其空間變化部分α(x)=0。

(83)

(84)

適當選取α(x)，可以構建一個無源無反射的電磁吸波介質，這在電磁隱身領域具有重要意義。

無反射介電常數ε的空間函數可以表示為：

(85)

(86)

(87)

其中，ξ設置了介電常數輪廓的空間尺度，A是幅度，式(87)表示一個光滑的三角函數，erf是誤差函數，h和L分別是高度和長度，ζ表征角的平滑度。

Longhi指出[72]在考慮空KK介質的散射問題時，需增加一個取消條件[73]：

(88)

8.1.2 雙向隱身空間KK介質[74]

介質是TM極化波雙向隱身的，若滿足以下條件之一：

(1)α(x)=β(x)exp(iΘx)，β(x)在上半復平面全純，且當|x|→∞時，β(x)→0；

(2)ε(x)=εb+α(x)在上半復平面沒有零點。

圖8 雙向隱身KK平面介質[74]：(a)復介電常數ε(x)的譜，(b)和(c)分別是TE和TM極化波傳輸及反射系數譜Fig.8 Bi-directional stealth KK plane medium[74]: (a) is the spectrum of the complex permittivityε(x); (b) and (c) are TE and TM polarized wave propagation and reflection coefficient spectra, respectively

8.1.3 全頻率無反射空間KK介質[75]

如果介電常數ε(x,ω)滿足：在上半復平面解析，ε(x,-ω)=ε*(x,ω)，虛部為正，ω→0時，ε(x,ω)～a(x)+b(x)ωn，n≥-1，ω→∞時，ε(x,ω)～1+c(x)/ω2，則介質在任何頻率都沒有反射，例如：

(89)

其中，P(x,ω)=1+f(x)/(γ-iω)2，γ>0，f(x)=Ω2/2[1+tanh(-x/a)]，a>0。

8.1.4 無反射及透射的空間KK介質[76]

(90)

(91)

8.1.5 空間-頻率洛倫茲KK介質

圖9 一維非均勻空間KK介質[77]。(a)印制卷繞金屬絲制成的二維人工介質及幾何參數；(b)具有91個單元的沿x方向的周期性條形結構；(c)利用全方位單極探針測量電場的實驗系統；(d)測量及(e)仿真得到的2.4 GHz的電場分布；(f)y=0時，沿x方向的電場|Ez|的分布曲線Fig.9 1-dimensional non-uniform space KK medium[77]: (a)2-dimensional artificial medium made of printed rolled-up wire and its geometric parameters; (b)a periodic bar structure with 91 units along thexdirection; (c)an experimental system for measuring electric field by omnidirectional monopole probe; (d) and (e) are the electric field distributions of 2.4 GHz for measurement and simulation, respectively; (f)the distribution curve of electric field |Ez| along thexdirection asy=0

Dexin Ye等[77]提出了空間頻率洛倫茲色散理論，如圖9(a)和9(b)所示，通過將卷繞金屬絲印制在電介質基底上制作了x方向周期性的空間KK人工色散介質，并在實驗上觀察到了2～3 GHz波段全方位無反射吸收，如圖9(d)和9(e)。所設計的介電常數(92)式在空域和頻域都滿足KK關系。

(92)

其中，諧振頻率ω0-qx與空間坐標x有關，q決定了其隨x的改變率。

8.2 KK光通信器件

8.2.1 時域KK關系

單邊帶信號u(t)=ur(t)+iui(t)的時域KK關系為[78]：

(93)

(94)

8.2.2 單探測器、單偏振KK接收機[78-80]

入射到光探測器上的單邊帶信號可表示為E(t)exp(-iπBt)=E0+Es(t)exp(-iπBt)，E0是連續本征光信號幅度，Es(t)是頻譜在±B/2之間的復載波信號，當E0>Es(t)時是最小相位信號，其相位φE(t)能夠從光電流強度I(t)=log|E0+Es(t)|2中唯一地提取出來，二者之間的KK關系為：

(95)

由此可得：

(96)

圖10 (a)220 Gb/s單波長、單偏振、單探測器的基于KK關系的直接探測系統；(b)測量結果[80]Fig.10 (a)220 Gb/s direct detection system based on KK relationship with single wavelength, single polarization and single detector and (b)detection results[80]

Xi Chen等人[80]實現了220-Gb/s的基于KK接收機的光通信系統(圖10(a))，用KK關系計算光電流就能得到光場參數，單模光纖傳輸100 km無需色散管理，并降低了信號-信號拍頻干擾(SSBI)5 dB，如圖10(b)所示，但其只用到一個偏振態并且信號和載波之間的保護帶太大。

8.2.3 偏振復用KK收發機[79-80]

Xi Chen等人[80]搭建了基于圖11(a)所示的偏振復用(PDM)收發機的4×240-Gb/s WDM PDM100 km的光通信系統，每一通道用KK算法獨立地恢復出光場的兩個偏振態分量，誤碼率BER明顯降低(如圖11(b)所示)。

圖11 偏振復用KK收發機[79]：(a)原理圖；(b)實驗結果Fig.11 (a)Schematic diagram and (b)experimental results for polarization multiplexing KK transceiver[79]

8.2.4 斯托克斯向量KK收發機[81]

(97)

(98)

圖12 斯托克斯向量KK收發機[80]Fig.12 Stokes vector KK transceiver[80]

9 討論及結論

法國數學家哈達瑪有一句名言：在實數域中,連接兩個真理的最短路徑是通過復數域，著名的KK關系也許是對這句名言的最佳闡釋。KK關系雖然是一個可以不依賴于任何實際模型而存在的純數學關系，但其應用卻涵蓋了也許人類現在都無法想象的廣大領域。

KK關系反映的是一個復變量看似具有不同涵義的實部和虛部之間的深刻聯系，即實部在某點(頻率、時間、空間等等，也可以是多個自變量，如N階非線性KK關系的多角頻率)的值由虛部所有點的值共同決定，反之亦然。比如介質的復折射率，其實部折射率表示光在介質中和在真空中傳輸速度之比，而虛部的消光系數則表示介質對光的吸收。入射光子在介質中會產生電子能級、振動能級和轉動能級躍遷并消耗自身能量形成分子吸收光譜，同時使光速變慢。介質對某一頻率單色光子的吸收以及使該光子的傳輸速度變慢，本質上是該頻率的光子與所有頻率處相應能級共同作用的結果，這正是KK關系對于介質復折射率所表達的物理涵義。

雖然KK關系的導出不需要借助任何物理模型，但它確實是物理實在的高度數學概括。KK關系本質上是希爾伯特變換的一個特例，而希爾伯特變換的最初定義是輸入信號與物理上不可實現的沖擊響應1/πt的卷積，因此廣義的希爾伯特變換至少從現在來看僅僅是純數學上的。

具有因果關系的平方可積函數，是希爾伯特變換到KK關系的一座橋梁。平方可積函數代表了一個連續的物理過程，而不具有因果關系的物理量是不存在的。因果關系從哲學上來說，就是有原因才會產生結果，結果不能發生在原因之前。對于光學響應函數而言，連接兩個不同時空點的是光，因此信號傳播速度不能超過光速的相對論條件成為了因果關系的一個推論。可以看出，因果關系在不同的物理實在中具有不同的表現形式，如果對于聲信號，那因果關系就會變成信號到達之前不會產生聲響應之類的語言，而對于量子糾纏系統，至少在現在看來聯系兩個好像具有超距作用的糾纏粒子之間的并非光子，因果關系的具體形式還不得而知。

由于因果性條件的保證，KK關系理論上可以應用到任何的物理實在中，比如已知的反射和透射響應函數、復介電常數、復折射率、復電導率、電阻抗、復磁導率、復原子散射因子、絕熱壓縮系數、聲折射率、單邊帶時域信號、空間KK介質、各種非線性介質以及船舶動力學[82]等等，可以想象這只是KK關系應用領域的冰山一角，所以人們對它的研究至今仍如火如荼。KK關系的獨特魅力除了它優美的數學形式和普遍的物理內涵外，它還帶給了人們物理參數測量上的極大方便。比如為了得到響應函數的相位需要相對復雜的技術和系統，但根據KK關系只需要簡單測量消光譜就可以方便地計算出來。

KK關系在應用中也有固有的不足，一般KK積分都是在0到∞之間，但實際能夠測量的物理模型或已知的變量范圍(比如光譜的帶寬)總是有限的，這無疑會給計算結果帶來截斷誤差，因而就有了各種積分范圍的外推方法。一類方法是用一定的函數來逼近和代替積分范圍之外的參數，比如常數、冪指數或多項式等；另一類方法是根據色散曲線的特點選擇合適的積分限以使上下界的截斷誤差相互抵消；還有一種方法是用微分的形式，使得響應函數的消光譜在每個頻點具有不同的權重，在吸收峰處最大，而在上下界以外可以忽略。另外，由于是特定頻率的激發場引起了非線性吸收的改變，因此其頻譜比線性吸收譜窄的多，在截斷誤差上具有天然的優勢。

除了對積分限進行外推外，人們還發展了單減和多減KK關系，其核心思想是引入參數已知的所謂錨點，錨點使得KK積分的收斂速度加快，并有效地減小了截斷誤差，而且選取的錨點越多，理論上截斷誤差越小。另外，還發展了響應函數對頻率微分的差分多減KK關系，相位對頻率的微分正好是時間延遲，而時延的測量要比相位的測量方便的多。

總之，KK關系簡單形式背后蘊藏無限可能，近百年來一直激勵著人們不斷地研究與探索，其應用領域的不斷擴展，截斷誤差的精心修正，錨點方法的顯著功效，大量實例的成功實施，好像它已經不再有新意了，但其最新進展使人們重新認識到，原來時域和空域也有KK關系，KK關系也可以通過構建空間色散介質來實現電磁隱身，也可以用來構建光通信的重要器件和系統以簡單的結構實現更低誤碼率的信號傳輸。KK關系的這兩個全新發展方向，在為人們提供全新思路的同時，也賦予了人們無比的信心，KK關系全新的概念和應用正等待著我們去探索和發現。