教學(xué)生具有生長(zhǎng)力的數(shù)學(xué)

孫凱

【關(guān)鍵詞】設(shè)計(jì)意圖;教學(xué)思考;生長(zhǎng)能力

【中圖分類號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號(hào)】1005-6009（2019）19-0040-04

一、問(wèn)題的提出

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱“2011年版課標(biāo)”）指出：數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，要注重知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”，把每堂課教學(xué)的知識(shí)置于整體知識(shí)的體系中，注重知識(shí)的結(jié)構(gòu)和體系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性。因此，在平時(shí)的知識(shí)教學(xué)中，找準(zhǔn)知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，選好生長(zhǎng)路徑，教給學(xué)生具有生長(zhǎng)力的數(shù)學(xué)尤為重要。“圓周角”是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，尤其是圓周角的概念及定理經(jīng)常被選作各級(jí)各類教學(xué)比賽的課題，受到廣大一線教師的普遍關(guān)注。

蘇科版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第二章第四節(jié)“圓周角”共安排了3課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容，分別為“圓周角概念及定理”“圓周角定理的推論”“圓的內(nèi)接四邊形”，其中“圓的內(nèi)接四邊形”作為“圓周角”的第3課時(shí)，主要探究的是內(nèi)角間的數(shù)量關(guān)系。截至2018年12月在中國(guó)知網(wǎng)以“圓周角”為主題，檢索到相關(guān)論文1581篇，在與圓的內(nèi)接四邊形有關(guān)的65篇論文中，只有4篇是談?wù)搱A的內(nèi)接四邊形的教學(xué)，可見教師研究的關(guān)注點(diǎn)一般聚集在圓周角的概念和圓周角定理的教學(xué)上，圓的內(nèi)接四邊形的教學(xué)沒有得到應(yīng)有的關(guān)注。于是，筆者在執(zhí)教這節(jié)課時(shí)做了以下思考：圓的內(nèi)接四邊形作為簡(jiǎn)單的教學(xué)內(nèi)容，如何挖掘其內(nèi)涵與外延，讓其最大化地發(fā)揮教學(xué)價(jià)值;如何使學(xué)生的知識(shí)生成自然流暢，明晰前后知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系;如何在學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

二、教材簡(jiǎn)析與聚焦的問(wèn)題

本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓周角定理及其推論，具備了探索圓的內(nèi)接四邊形的知識(shí)和能力基礎(chǔ)。教材上呈現(xiàn)的教學(xué)內(nèi)容分為四個(gè)板塊，一是圓的內(nèi)接四邊形的定義，二是思考并探索對(duì)角的數(shù)量關(guān)系，三是例題教學(xué)，四是練習(xí)鞏固。顯然，教材是類比圓的內(nèi)接三角形的編排流程，先給出圓的內(nèi)接四邊形的定義，然后引導(dǎo)學(xué)生探索其對(duì)角間的數(shù)量關(guān)系，形成圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理，最后應(yīng)用定理解決問(wèn)題。在此過(guò)程中讓學(xué)生經(jīng)歷由特殊到一般的思考與探索，體會(huì)由特殊到一般，再由一般到特殊的數(shù)學(xué)思想。結(jié)合以上分析，筆者在構(gòu)思教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程中，主要聚焦于以下三個(gè)問(wèn)題：為什么要學(xué)習(xí)圓的內(nèi)接四邊形？（知識(shí)生成的問(wèn)題）怎樣學(xué)習(xí)圓的內(nèi)接四邊形？（學(xué)習(xí)方法的問(wèn)題）學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)會(huì)有哪些收獲？（教學(xué)價(jià)值的問(wèn)題）

三、教學(xué)立意

2011年版課標(biāo)指出：“數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，應(yīng)注重學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)。”因此，在教學(xué)引入環(huán)節(jié)，注重知識(shí)的前后聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的生成過(guò)程，體悟圓的內(nèi)接四邊形的來(lái)龍去脈。在探索活動(dòng)環(huán)節(jié)，以開放性的學(xué)習(xí)任務(wù)，驅(qū)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)參與探索活動(dòng)，培養(yǎng)探究能力，幫助學(xué)生自主內(nèi)化知識(shí)結(jié)構(gòu)。在啟發(fā)指導(dǎo)環(huán)節(jié)，以高價(jià)值的問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生自主參與高階思維活動(dòng)，注重學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)與思想的浸潤(rùn)，幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升數(shù)學(xué)思維能力。最終實(shí)現(xiàn)明晰知識(shí)生長(zhǎng)脈絡(luò)，內(nèi)化知識(shí)結(jié)構(gòu)，發(fā)展數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的教學(xué)效果。

四、教學(xué)過(guò)程

1.由點(diǎn)到線，串珠成鏈，生長(zhǎng)知識(shí)。

基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)是課程標(biāo)準(zhǔn)總目標(biāo)的具體體現(xiàn)，是課堂教學(xué)的基本要求。教材是教師實(shí)施教學(xué)的“藍(lán)本”，理解教材是課堂教學(xué)的立足點(diǎn)。研究教材文本不難發(fā)現(xiàn)，本節(jié)課在知識(shí)層面要求學(xué)生了解圓的內(nèi)接四邊形的定義，探索并掌握?qǐng)A的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理。采用開門見山、直奔主題的教學(xué)設(shè)計(jì)，就知識(shí)目標(biāo)而言，是容易達(dá)成的。但遺憾的是學(xué)生并不明白圓的內(nèi)接四邊形的來(lái)龍去脈，也不明白為什么要學(xué)習(xí)它或者它有什么研究?jī)r(jià)值？生長(zhǎng)源于內(nèi)在渴望與外部環(huán)境的作用，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體系也要讓其在一定環(huán)境中自內(nèi)而外地生長(zhǎng)。[1]數(shù)學(xué)教育家弗萊登塔爾反復(fù)強(qiáng)調(diào)：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)唯一正確的方法是實(shí)行“再創(chuàng)造”，也就是中學(xué)生本人把要學(xué)的東西自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來(lái)。[2]

問(wèn)題1：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有哪幾種？哪一種關(guān)系比較特殊？如圖1，點(diǎn)A在圓上，你想到什么？

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)回憶點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生思考兩方面內(nèi)容，一是我們近期學(xué)習(xí)圓的有關(guān)內(nèi)容都是在點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的大背景下完成的，二是研究點(diǎn)在圓上的相關(guān)知識(shí)是因?yàn)槠湎鄬?duì)特殊的位置關(guān)系，進(jìn)一步感悟數(shù)學(xué)研究對(duì)象的特殊化與具體化。

問(wèn)題2：根據(jù)前面圓的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，結(jié)合圖2、圖3分別說(shuō)說(shuō)圓上有兩個(gè)點(diǎn)、三個(gè)點(diǎn)時(shí)，你想到哪些相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)？并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以描述。圓上有4個(gè)點(diǎn)呢？你能想到什么？

設(shè)計(jì)意圖：在問(wèn)題的引導(dǎo)下，學(xué)生結(jié)合圖形自主回憶舊知，自覺整理知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)，明晰本節(jié)課之前所學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在主線，從宏觀上把握所學(xué)內(nèi)容，體會(huì)圓的內(nèi)接四邊形作為學(xué)習(xí)對(duì)象的必然性與必要性。從2個(gè)點(diǎn)到3個(gè)點(diǎn)再到4個(gè)點(diǎn)甚至延伸至5個(gè)點(diǎn)，自然生長(zhǎng)出本節(jié)課探究的主題。在整個(gè)問(wèn)題互動(dòng)過(guò)程中，學(xué)生不僅明晰了知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，更為未來(lái)學(xué)習(xí)指明了方向。

問(wèn)題3：圓的內(nèi)接四邊形作為探索對(duì)象，我們探索什么？

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}的提出意在引發(fā)學(xué)生思考并確定探索方向與策略。教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生首先回憶探索“四邊形”的經(jīng)歷，思考有沒有可借鑒的經(jīng)驗(yàn)或方法，“內(nèi)接四邊形”又該如何探索？驅(qū)動(dòng)學(xué)生積極參與思考，更為學(xué)有余力的學(xué)生指明進(jìn)一步探索的方向，比如相交弦定理、托勒密定理等。

圓的內(nèi)接四邊形源于圓上任意4點(diǎn)，“由點(diǎn)到弦”是本節(jié)課知識(shí)教學(xué)的“生長(zhǎng)路徑”，因此，圓上的點(diǎn)是本節(jié)課學(xué)生學(xué)習(xí)的起點(diǎn)。從圓上的任意點(diǎn)的視角，讓學(xué)生經(jīng)歷由點(diǎn)到弦的“創(chuàng)造”與生長(zhǎng)過(guò)程，經(jīng)歷一點(diǎn)到多點(diǎn)和一弦到多弦的生成過(guò)程，體悟圓的平行弦、相交弦、垂直弦和內(nèi)接四邊形等知識(shí)的來(lái)龍去脈，也為后續(xù)圓的內(nèi)接多邊形、內(nèi)接正多邊形等知識(shí)指明生長(zhǎng)路徑。以“圓上的點(diǎn)”作為教學(xué)的“生長(zhǎng)源”，形成知識(shí)的“生長(zhǎng)鏈”，能幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)知識(shí)間的橫向和縱向聯(lián)系，進(jìn)一步深化對(duì)新知識(shí)的理解。

2.猜想探索，推理歸納，生長(zhǎng)脈絡(luò)。

學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的習(xí)得包含兩個(gè)基本過(guò)程：其一是知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展與形成的過(guò)程，其二是學(xué)生對(duì)知識(shí)的認(rèn)知過(guò)程。生長(zhǎng)數(shù)學(xué)提倡學(xué)為中心的課堂設(shè)計(jì)理念，教學(xué)設(shè)計(jì)要求尊重學(xué)生的認(rèn)知水平，緊貼最近發(fā)展區(qū)，遵循知識(shí)的生長(zhǎng)規(guī)律。學(xué)為中心的課堂教學(xué)是指基于學(xué)情分析，聚焦學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，關(guān)注達(dá)成教學(xué)目標(biāo)的教學(xué)方式、教學(xué)方法和教學(xué)路徑，圍繞學(xué)生實(shí)施教學(xué)組織的教學(xué)形式。因此，在探索性質(zhì)定理的活動(dòng)中，應(yīng)準(zhǔn)確把握學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，啟發(fā)學(xué)生利用好特殊的圓周角（特殊的弦），使知識(shí)的生成、生長(zhǎng)符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

問(wèn)題4：如圖4，圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角存在什么關(guān)系？你是如何說(shuō)明的？

設(shè)計(jì)意圖：教師明確本節(jié)課探索主題為“角”，逐步明晰探索對(duì)象為“對(duì)角”，即圓周角，隨之引導(dǎo)學(xué)生從圓周角特殊化的視角逐步確立由特殊到一般的探索路徑。根據(jù)課堂的生成情況，適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生從弦特殊化的視角完成探索與說(shuō)明，體會(huì)化歸的數(shù)學(xué)思想方法，經(jīng)歷合情推理與演繹推理等活動(dòng)過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力。

問(wèn)題5：如圖4，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A、∠B、∠C和∠D還有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生感悟在四邊形內(nèi)角和為360°的背景下，引入圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)的性質(zhì)定理，此時(shí)四邊形的四個(gè)內(nèi)角關(guān)系形成新的特征，比如比例關(guān)系等，以實(shí)現(xiàn)新知識(shí)再生長(zhǎng)的目的。

為幫助學(xué)生理清知識(shí)的生長(zhǎng)脈絡(luò)，經(jīng)歷知識(shí)的“再創(chuàng)造”過(guò)程，整體把握?qǐng)A各章節(jié)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，落實(shí)生長(zhǎng)的教學(xué)理念，筆者以“圓上的點(diǎn)”作為教學(xué)的主線，抓住知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”與“生長(zhǎng)路徑”，設(shè)計(jì)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生以“生成、生長(zhǎng)”的視角整體把握知識(shí)，內(nèi)化知識(shí)結(jié)構(gòu)，明晰知識(shí)的生長(zhǎng)脈絡(luò)，形成系統(tǒng)化的知識(shí)體系（如圖5）。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，有利于學(xué)生在生長(zhǎng)知識(shí)的過(guò)程中，既解決為什么學(xué)、學(xué)什么的低階問(wèn)題，又體悟怎么學(xué)的高階問(wèn)題。

3.學(xué)以致用，浸潤(rùn)思想，生長(zhǎng)能力。

數(shù)學(xué)能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分。北京師范大學(xué)曹一鳴教授指出：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在一定程度上表現(xiàn)為某些數(shù)學(xué)學(xué)科能力。數(shù)學(xué)教學(xué)中，注重“探索發(fā)現(xiàn)”和“演繹證明”的有機(jī)結(jié)合，有利于實(shí)現(xiàn)“增強(qiáng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力”的課程總目標(biāo)。[3]

問(wèn)題6：如圖6，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=AD，∠C=110°。若點(diǎn)E在AD上，求∠AED的度數(shù)。

追問(wèn)1：∠DEF=______，你有什么猜想或發(fā)現(xiàn)？

追問(wèn)2：∠BOD=______，你又有什么發(fā)現(xiàn)？

試用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述你的發(fā)現(xiàn)。

設(shè)計(jì)意圖：在圓的內(nèi)接四邊形中設(shè)計(jì)求角的問(wèn)題，有利于驅(qū)動(dòng)學(xué)生自覺使用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理，學(xué)以致用，感受性質(zhì)定理的優(yōu)越性。圖形中的內(nèi)接四邊形既有顯性的，也有隱性的，需要學(xué)生自主建模，以此體會(huì)化歸的數(shù)學(xué)思想方法。通過(guò)追問(wèn)，引領(lǐng)學(xué)生自主探索獲得新發(fā)現(xiàn)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)之美，使數(shù)學(xué)思想的浸潤(rùn)達(dá)到潤(rùn)物無(wú)聲的效果。

若把知識(shí)的教學(xué)看作一堂課的起點(diǎn)，那么能力的發(fā)展就是一堂課的終點(diǎn)，更是一堂課的應(yīng)然追求。在教學(xué)中，給學(xué)生提供充分的探索空間與時(shí)間，使其經(jīng)歷獨(dú)立思考、探索發(fā)現(xiàn)、合情推理、演繹證明等高階思維活動(dòng)，在掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的同時(shí)，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

例如在問(wèn)題6的教學(xué)中，滲透化歸、特殊到一般等思想方法，使知識(shí)與思想方法的教學(xué)相融合，發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的能力。又如在問(wèn)題3的教學(xué)中，在確立探索“角”的主題方向時(shí)，為了充分挖掘“生長(zhǎng)源”的潛在教學(xué)價(jià)值，可適度引導(dǎo)學(xué)生提出一些有關(guān)“邊”“對(duì)角線”的數(shù)學(xué)問(wèn)題或數(shù)學(xué)猜想，供學(xué)有余力的學(xué)生課后探索之用，增強(qiáng)學(xué)生的探究意識(shí)和探究能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力。

總之，一節(jié)有正確價(jià)值取向的數(shù)學(xué)課，必須以課標(biāo)為依據(jù)，以對(duì)教材的理解為基礎(chǔ)，以學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律為指導(dǎo)，在師生積極參與的探索活動(dòng)中理性思考，不斷發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

【參考文獻(xiàn)】

[1]卜以樓.“生長(zhǎng)數(shù)學(xué)”：數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的愿景[J].江蘇教育：中學(xué)教學(xué)，2017（2）：33-35.

[2]曹一鳴，等.基于學(xué)生核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)學(xué)科能力研究[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2017：9，14.

[3]教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家委員會(huì).義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：203.