一類線段最值問題的探究和思考—三角變換類

【摘 要】路徑最短問題是初中數學的重要題型，也是中考中的重點和難點.近年來中考中出現一類由胡不歸問題改編的“PA+kPB”（k>0）型最短路徑問題，普通方法求解可能就會失效，學生普遍感到困難。

【關鍵詞】胡不歸；路徑最短；三角變換

【中圖分類號】G610 【文獻標識碼】A

【文章編號】2095-3089（2019）10-0294-01

一、典型問題

如圖，某人在A地工作，家位于C地（公路AB旁的沙漠里）.某日C地家中父親病危，他急著趕路回家，在公路AB上行進的速度是在沙漠里行進速度的2倍.誰知最終沒能見到父親最后一面，其父離世之時思念兒子，連連問：“胡不歸，胡不歸……！”（怎么還不回來），那么，從A至C怎樣行進才能最快到達？[1]

〖XC70.JPG；%30%30〗

分析：設沙漠里行進的速度為v，則在公路上行進的速度為2v.則所需的時間為1/v（AP/2+CP），要求時間最短即求AP/2+CP最小.由sin30°=1/2，考慮作∠BAE=30°，PE⊥AE，構造Rt△AEP可得PE=AP/2，故AP/2+CP=PE+CE.當C、P、E三點共線時，PE+CE=CE'最小.

步驟總結：

第一步：將所求線段和改寫為PC+kPA的形式（0

第二步：在PA的一側（PC的異側），構造一個角度α，使得sinα=k；

第三步：過C作第二步所構造的角的一邊垂線，該垂線段的長度即為所求最小值；

二、例題解析

例1（2018年江蘇無錫市）如圖，已知∠XOY=60°，點A在邊OX上，OA=2.過點A作AC⊥OY于點C，以AC為一邊在∠XOY內作等邊三角形ABC，點P是△ABC圍成的區域（包括各邊）內的一點，過點P作PD//OY交OX于點D，作PE//OX交OY于點E.設OD=a，OE=b，則a+2b的取值范圍是〖CD#2〗.

〖XC71.JPG；%30%30〗

解：過點P作PQ⊥OY交OY于點Q.

∵PD//OY，PE//OX

∴四邊形EODP是平行四邊形，∠QEP=∠XOY=60°.

∵EP=OD=a

∴在直角三角形PQE中，∠PEQ=60°，EQ=EP/2=a/2.

∴a+2b=2（a/2+b）=2（EQ+EO）=2OQ.

當P在AC邊上時，Q與C重合，此時OQ的最小值=OC=OA/2=1，即a+2b的最小值是2.

當P在B點時，OQ的最大值是1+3/2=5/2，即a+2b的最大值是5.

∴2≤a+2b≤5.

注：本題中所要求的a+2b中k>1，解題之初要將a+2b改寫為2（a/2+b），考慮a/2+b的取值范圍.

例2（2017年徐州二模）二次函數y=ax2-2x+c圖象與x軸交于A、C兩點，點C坐標為（3，0），與y軸交于點B（0，-3）.

（1）求拋物線的解析式.

（2）若P是x軸上一動點，點D（0，1）在y軸上，連接PD，求PD+PC的最小值。

〖XC72.JPG；%30%30〗

解：（1）拋物線解析式為y=x2-2x-3.

（2）作PH⊥BC于H.

∵OB=OC=3，∠BOC=90°

∴∠PCH=45°.

當D、P、H共線時，PD+PH最小，此時，PD+PH為DH'，

例3.如圖，已知AB是⊙O的直徑，F是⊙O上一點，∠BAF的平分線交⊙O于點E，交⊙O的切線BC于點C，過點E作ED⊥AF，交AF的延長線于點D.若DE=3，CE=2，點G為AE上一點，求OG+EG/2最小值.

解：過點E作EH⊥AB于H，過點G作GP//AB交EH于P，過點P作PQ//OG交AB于Q，∴EP⊥PG，四邊形OGPQ是平行四邊形，∴∠EPG=90°，PQ=OG.

∵BC/AE=2/3∴設BC=2x，AE=3x，∴AC=AE+CE=3x+2.

∵∠BEC=∠ABC=90°，∠C=∠C，∴△BEC∽△ABC，∴BC/AC=BE/BC，

∴BC2=AC·CE，即（2x）2=2（3x+2），解得：x1=2，x2=-1/2（舍去）

∴BC=4，AE=6，AC=8，∴sin∠BAC=1/2，∴∠BAC=30°.

∴∠EGP=∠BAC=30°，∴PE=EG/2，∴OG+EG/2=PQ+PE.

∴當E、P、Q在同一直線上（即H、Q重合）時，PQ+PE=EH最短.

∵EH=AE/2=3，∴OG+EG/2的最小值為3.

參考文獻

[1]孫晉芳.也談“胡不歸”問題[J].初中數學教與學，2016（12）：32-33.

作者簡介：趙歡歡（1988-），女，山東濟寧人，主要從事數學教育與初中數學教學研究.