基于“智慧學伴”的數學學科能力診斷及提升研究

綦春霞　何聲清

關鍵詞：智慧學伴;數學學科能力;單元微測;教學資源

中圖分類號：G434 文獻標識碼：A

大數據日漸成為當今社會的重要研究領域和應用領域。在教育領域，教育大數據也日漸成為教育、教學改革的重要媒介。在“互聯網+教育”環境下，構建基于大數據的生態環境，實現以數據為中介的溝通與交互，促進教育最深層次的變革。

從數據形態而言，學校教育教學過程中采集的數據一般包括“輸入數據”（Input Data）、“過程數據”（Process Data）、“結果數據”（Outcome Data）三類基本形式，其中輸入數據是指學生的基本信息，過程數據是指學生學習過程中的動態表現，結果數據是指學生學習的最終結果（測試成績）?；谝陨蠑祿?，教師可以了解學生的學習方式及評估其學習表現，優化教學方式及提高教學效率，反思教學干預的合理性和有效性，評估及調整教學管理策略;學校教育管理者可以評估年級、班級的教學優勢與劣勢，并據此在學校宏觀決策方面（如年度教學計劃、備考活動組織、階段教學重點等）作出針對性調控，在教師教學管理方面（如學科組工作設想、新任教師專業發展規劃等）作出適切性規劃。

在數學教育領域，隨著教育改革的深入，數學課程目標已然從以往的知識技能培養轉向核心素養及學科能力的發展。例如，新近頒布的《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《高中課標》）明確提出，高中數學課程要以學生的發展為本，要落實立德樹人這一根本任務，要培育科學精神和創新意識，以及提升學生的數學學科素養?！读x務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《義務課標》）中提到了十個核心詞，與高中的數學核心素養相呼應。在落實學科素養的具體操作上，《高中課標》指出：數學學科素養是學生通過數學學習而達成的正確價值觀念、必備品格和關鍵能力，而這其中的關鍵能力即是數學學科領域內處于核心地位的、統攝數學學習的能力。例如，徐斌艷認為數學學科核心能力主要可以概括為數學地提出問題、數學表征與變換、數學推理論證、數學建模、數學地問題解決和數學交流六個維度?；跀祵W學科能力的維度劃分，新近研究已然在學生數學學科能力表現方面陸續開展了系列大規模測評。值得提及的是，當前有關學生數學學科能力的研究大都聚焦于學業表現現狀的調研，多以終結性的評價為主，在數學學科能力的發展及培養方面缺乏過程性、常態化的持續追蹤研究。

智慧學伴自2016年起通過追蹤北京市130萬中小學生學習過程數據，為其構建自我診斷的“體檢中心”，并據此提供精準的能力評估、資源推送等教學服務，其目標在于數學學科能力的個性化診斷，實現學生學科問題的發現與改進、學科優勢的發掘與增強。

一、數學學科能力診斷及其提升模型的頂層設計

（一）基本理念

1.追蹤診斷：數學學科能力層級進階

數學學科能力診斷的目標在于對學生數學學習過程數據的追蹤考察，刻畫其數學學習的動態過程和個性化特征，并為后續的精準教學干預提供真實資料。如前所述，當前的數學學科能力測評多以終結性評價方式進行，并且該類測評大都聚焦于學生數學學業成績表現的一般規律，因此其對于學生數學學科能力的個性化診斷及針對性的教學干預的參考價值十分有限。此外，上述終結性大規模測評對于學生的學習反饋相對滯后，在操作性上也存在較大局限。鑒于以上考量，研究者希望構建一套層級化、進階化的數學學科能力發展模型，并以此為理論基礎開發常態化的測試工具和教學資源，一方面實現了數學學科能力發展的可觀測性，一方面則實現了學習過程診斷的即時性、客觀性和持續性。

2.靶向提升：數學學科問題精準干預

數學學科能力的跟蹤診斷呈現了學生數學學習過程中能力發展的動態圖景，而學生在教學學科能力層級之間的進階則需要數學教學的精準干預。在當前的數學課堂中，教師對于學生數學學習的教學干預在較大程度上尚存在諸多局限：一方面教師往往難以把握學生知識學習和能力發展的障礙所在，從而在教學干預時一味地采取“大水漫灌”的做法，另一方面教師常常難以把握教學干預的合理途徑，從而在教學干預時陷入了“低效迷航”的困境。鑒于以上考量，研究者希望構建一套匹配于數學學科能力發展模型的資源精準推薦系統，以實現診斷與干預的精準對接，真正做到使學生在精準干預下實現數學學科能力的持續進階。

（二）宏觀設計

以數學素養為“綱”，針對7-9年級數學學科體系構建了核心概念知識圖譜;以數學學科能力為“本”，建立了知識和素養發展的進階模型;基于數學學科能力模型，針對具體核心概念分別設計了其層級細目表;基于核心概念層級細目表，進行相應的診斷工具設計和干預資源開發;基于核心概念細目表，實現了診斷工具和干預資源的精準匹配。診斷工具的目的在于學科問題的診斷及學科優勢的發掘，干預資源的目的在于學科問題的干預及學科優勢的增強。數學學科能力診斷及其提升模型的頂層設計如圖1所示。

1.以數學核心素養為“綱”，構建縱貫的數學知識樹

在梳理國際大規模測評框架的基礎上，結合《高中課標》和《義務課標》關于數學素養的刻畫，厘清了數學核心素養的五個基本維度：運算素養、直觀素養、數據處理素養、推理素養及建模素養。具體內容如下：

運算素養：是指根據規則進行運算的意識、品質和能力。這其中的“運算”包括：明確運算的對象，掌握運算的法則，合理選擇運算的方法等。

直觀素養：是指借助幾何直觀和空間想象解決數學問題的意識、品質和能力。這其中的“直觀”包括：基于幾何直觀和空間想象認識位置、形狀、變化等。

數據處理素養：是指通過收集數據、分析數據并據此作出合理推斷的意識、品質和能力。這其中的“分析數據”主要包括：整理數據、計算統計量、繪制統計圖等。

推理素養：是指在掌握基本事實、命題的基礎上，依據邏輯規則進行科學推理的意識、品質和能力。這其中的“推理”包括：歸納、類比、演繹等。

建模素養：是指將實際問題數學化，借助數學語言、符號、定理等構建模型并據此解決現實問題的意識、品質和能力。這其中的“建?！敝饕ǎ簩嶋H問題進行數學抽象，對數量關系和變化規律等進行符號表征等。初中生數學核心素養維度框架如圖2所示。

有了數學核心素養這個“綱”，我們針對7-9年級數學學科“數與代數”“圖形與幾何”及“統計與概率”三大內容領域具體厘清了43個核心概念，構建了一套系統的知識圖譜。核心概念是指在數學知識體系中占有核心地位的“大概念”（BigIdea），它通常統攝了若干密切相關的子概念群，并且核心概念之間通常具備知識鏈接的邏輯關系。7-9年級的核心概念知識圖譜如表1所示。

2.以數學學科能力的層級進階為“本”，為知識和素養的發展建模

數學核心概念知識圖譜為診斷學生的數學素養提供了載體，然而這尚且不能刻畫學生在一段時間內數學學習的動態過程。為此，從數學學科能力的視角將知識和素養層級化、進階化，構建了學生數學學科能力發展的3x3要素模型。該模型的劃分依據是：學科的認識活動可以概括為三個層面，第一個層面從屬于知識、經驗的輸入過程，這其中涉及觀察記憶、信息提取、關聯整合等活動，這屬于學習理解層面的數學活動;第二個層面從屬于知識、經驗的輸出過程，這其中涉及分析解釋，推理論證，問題解決等活動，這屬于應用實踐層面的數學活動;第三個層面從屬于知識、經驗的高級輸出過程，這其中涉及遷移創新、復雜推理、探究建模等活動，這屬于遷移創新層面的活動。鑒于上述分析，提出學習理解能力、應用實踐能力和遷移創新能力三維數學學科能力框架，每個能力層級還包含3個子層級。數學學科能能力層級模型如圖3所示，其內涵界定如表2所示。

3.以核心概念細目表為操作依據，落實數學學科能力發展的層級化設計

數學學科能力層級模型為刻畫學生數學學習過程及概念進階提供了參考框架，但關于學生具體核心概念的發展研究尚待更加精細化的參考標準，并且測查學生關于具體核心概念學習表現的工具設計也有賴于更加具體化的參考依據。鑒于以上考量，針對知識圖譜中不同的核心概念分別編制了核心概念細目表。該細目表是數學學科能力層級模型的具體化，依據《義務課標》、教材要求等詳細刻畫了該概念在在各個能力層級上的學習表現指標，使得后續的工具編制及資源設計有據可循，更加具有可操作性。數學核心概念細目表示如表3所示。

二、基于“智慧學伴”診斷和提升數學學科能力的技術路徑

（一）對數學學科能力診斷與提升的技術支撐

1.學習過程的持續追蹤

在“智慧學伴”平臺上，學生的學習歷程均被記錄存檔：學生的單元微測實行“闖關”模式的運行機制，一旦學生在某個核心概念的某個能力層級不過關，系統將在后續的學習過程中著重推薦該層級的微測試題。當學生突破該層級后，向該生推薦同級為測試題的幾率將相應降低?？v觀來看，學生在某個核心概念的學習過程被持續記載，其中關涉的動態數據對于分析學生概念學習中的障礙具有十分重要的參考價值。

2.學習問題的即時反饋

在“智慧學伴”平臺上，學生的作答反饋是即時性的：學生在客戶端或網頁完成習題練習后，平臺會即時為其推送作答反饋。從反饋內容上看，主要涉及學生的測驗成績、能力表現、知識漏洞等信息。相對于教師批改等傳統反饋形式，“智慧學伴”平臺對學生測驗的即時反饋一方面有效減輕了教師的批改負擔，一方面也突破了上述傳統方式的延時性等局限。

3.學習資源的精準推薦

“智慧學伴”平臺在其診斷系統緊密匹配了一套資源推薦系統，該系統的目的在于為學生的數學學習提供適切、精準的學習資源，以實現學生在數學學科能力診斷之后有機會針對自己的薄弱環節進行及時高效的提升。與傳統的課堂干預不同，“智慧學伴”平臺的學習資源推薦系統是以科學算法為依托的，這有效克服了日常課堂教學中盲目指導的弊端。

（二）數學學科能力追蹤診斷機制

概言之，基于“智慧學伴”的數學學科能力追蹤診斷機制是：以學期總測和單元微測為測查工具，診斷學生數學學科能力的進階過程。以數學核心概念細目表為依據，編制了學生數學學習表現的測查工具。具體而言，該工具包括學期總測和單元維度兩個類別。

1.學期總測

學期總測的目標在于對學生的知識學習、學科能力、素養發展等進行整體測評。學期總測每學期開展兩次，第一次測查在學期伊始進行，第二次測查的在學期尾聲進行。具體而言，學期總測的試題設計在內容維度上覆蓋了“數與代數”“圖形與幾何”及“統計與概率”三大內容領域;在能力維度上覆蓋了“學習理解”“實踐應用”及“創造遷移”三大能力層級及A-1至C-3九個具體能力維度;在素養維度上覆蓋了“運算”“直觀”“推理”“建模”及“數據處理”五大素養。學期伊始的總測旨在了解學生的學習現狀，并據此為其提供個性化“學業成績體檢報告及學期發展建議”;學期尾聲的總測旨在測查學生在新學期的學習表現，并與學期伊始的總測形成對照，考察學生在新學期內知識、能力及素養的發展狀況，為學生提供客觀的診斷反饋及未來發展建議。

2.單元微測

單元微測是針對每個核心概念而具體設計的，根據核心概念細目表，每個核心概念均設計了27道微測試題。具體而言，針對A-1至C-3九個能力層級，分別設計3道匹配的測試項目。

在工具編制時，還將問題情境作為一個重要變量納入考量。具體而言，研究者有意識地從內容屬性、熟悉度、間接度三個維度把同一層級的測試項目進行再度細分，確保了學生在每個層級的微測中都能盡可能多地接觸不同問題情境下的題目。以核心素養的編碼為例如表4所示。

（三）數學學科能力靶向提升機制

概言之，基于“智慧學伴”的數學學科能力靶向提升機制是：以教學資源為干預工具，對學生在某概念的數學學科能力進行精準推薦。通過單元微測試的大數據分析，學生的學習特征（知識盲點、固有錯誤、策略習慣等）能夠被個性化地甄別出來。在此基礎上，“智慧平臺”跟進了精準的在線個性化學習模式：針對學生的學習特征，匹配相應的教學資源對其進行精準干預和指導，在此過程中，學生的學習時間、地點等不受其他條件制約。事實上，這種精準干預的個性化學習模式有效規避了“學習迷航”“認知過載”“低效學習”等問題，學習者能夠在科學的推薦機制中獲得符合其自身學習需求的優勢學習路徑，有效解決了“為了學好某知識，需要先學習某知識”的問題。研究表明，如若教學干預能夠通過識別學生的學習、學習特征并為其匹配精準、適切的個性化學習序列，學生的知識建構則更加流暢，其學習的效果也會得以有效提升。

基于單元微測大數據，“智慧平臺”開發了一套教學資源智能推薦系統，該系統采用了直接推薦和關聯推薦兩種路徑協同推薦機制。直接推薦是指為某核心概念的某能力層級推薦相應的教學資源。以核心概念“分式”為例，如果學生在A3-1“能舉例說明分數與分式的區別”對應的微測試上未通過，系統則為其推薦該條目的對應資源，即A3-1“分數與分式辨析”。關聯推薦是指為某核心概念的某能力層級推薦相關概念的某能力層級的資源。以核心概念“特殊平行四邊形”為例，如果學生在B1-1“能類比一般平行四邊形概括出矩形、菱形、正方形的性質”對應的微測試上未通過，系統除了為其推薦該條目的對應資源以外，還將為其推薦核心概念“平行四邊形”中B1-1的對應資源“概括出平行四邊形的邊、角和對角線的性質”。兩種推薦路徑的示意圖如圖4所示。

三、基于“智慧學伴”診斷和提升數學學科能力的效果案例分析

如前所述，學生每學期在“智慧學伴”平臺上需接受兩次學期總測（分別是學期前總測和學期后總測）;在學期內還將持續接受各個單元內核心概念的微測試;針對學習過程中表現出來的問題，學生還將持續接受平臺推薦的教學資源予以改進。為了考察“智慧學伴”平臺在診斷和提升學生數學學科能力方面的效果，我們以北京市通州區的C同學為例進行個案分析。我們統計了該同學在八年級上學期的學期前總測和學期后總測表現，如表5所示。從該表可以看出，該生的評分等級盡管自學期前就已然是“優秀”水平，但在學區排名、學校排名及班級排名方面均有較大幅度的提升。從學科能力的表現來看，該生在各個層級能力上的表現均有了較好發展，在“學習理解”能力層級的作答正確率高達100%，尤其在“遷移創新”能力層級的表現與通州區的平均水平之差被進一步拉大。從主題能力及核心素養的表現來看，該生在各個內容維度上的表現均有了較大發展，在“數與代數”及“統計與概率”維度上的作答正確率高達100%，在各個素養維度上的表現也均保持領先水平?？傮w而言，該生在數學學科能力上的表現穩中有進，“智慧學伴”在數學學習過程的持續診斷和靶向提升方面初見成效。值得提及是，盡管該生的數學學科能力表現已然處于優秀水平，“智慧平臺”還是結合該生的總體表現為其推薦了針對性的教學資源。例如，該生的兩次測試中在“三角形”有關的內容方面表現欠佳，平臺在兩次總測后都相應地為其推薦了該核心概念的教學資源。

四、結語

“智慧學伴”通過構建一套層級化、進階化的數學學科能力發展模型，并以此為理論基礎開發常態化的測試工具和教學資源，一方面實現了數學學科能力發展的可觀測性，一方面則實現了學習過程診斷的即時性、客觀性和持續性。通過構建一套匹配于數學學科能力發展模型的資源精準推薦系統，以實現診斷與干預的精準對接，真正做到使學生在精準干預下實現數學學科能力的持續進階。總體而言，“智慧學伴”在數學學科能力診斷及提升的一體化層面發揮了較好的技術優勢，未來將進一步基于該平臺探索更加多樣的教學應用模式。

作者簡介：

綦春霞：教授，博士生導師，研究方向為數學教育（qichxia@126.com）。

何聲清：在讀博士，研究方向為數學教育（hesqmath@mail.bnu.edu.cn）。