隨機訂單干擾下考慮合并決策的供應鏈網絡調度研究

唐 亮，赫 超，靖 可，譚 真，秦緒偉

(1.大連海事大學交通運輸工程學院，遼寧 大連 116026；2.沈陽航空航天大學機電工程學院，遼寧 沈陽 110136；3.大連海事大學航運經濟與管理學院，遼寧 大連 116026；4.寧波諾丁漢大學商學院(中國)，浙江 寧波 315100；5.東北大學工商管理學院，遼寧 沈陽 110819)

1 引言

隨著協同制造、網絡化制造等模式的興起，企業之間越來越多的依托協同生產的方式共同完成產品的生產[1-2]。尤其是一些復雜產品，其關鍵部件的生產極為重要，而關鍵部件的生產工序通常極其復雜，企業往往無法獨立完成，因此部分協同工序需要外包給具備其生產能力的協同企業，從而構成協同生產網絡。顯然這種協同模式可以有效利用不同企業的優勢生產能力提高生產效率和產品質量，同時也使得生產計劃與調度從企業內部擴展到企業外部，形成供應鏈調度，導致調度復雜性和不確定性增加。通常，不確定因素主要來源包括供應鏈調度過程中企業間信息協調不確定性以及突發事件引發的不確定，本文針對不確定訂單可能到達概率情景下的供應鏈調度問題進行研究，其主要研究目的是實現抗干擾調度優化。目前，在生產調度、智能調度優化方面，國內外許多學者已經從多個角度做出了大量有意義的工作并獲取了豐碩的研究成果[3-8]。近年來，研究者不再局限于僅對生產企業內部生產環節進行優化，而是越來越多地從供應鏈的角度綜合考慮包括原料采購、生產、庫存以及物流配送等環節在內的集成優化。這些研究[9-11]從不同的角度對集成調度模型進行了構建，即制造企業的不同分布結構、交貨時間約定、交貨方式、車輛運輸方式等等，并考慮了總成本和客戶服務水平之間的權衡。

基于上述，本文針對供應鏈調度問題進行綜述。總體而言，該領域大部分研究可以歸納為兩階段供應鏈調度和三階段供應鏈調度。在二級供應鏈調度方向上主要研究包括：程八一等[12]提出了一類制造企業制造環節和配送環節的生產、庫存和配送聯合成本優化問題，在生產環節他們考慮了加工作業尺寸存在差異的分批制造模式，并設計了多項式時間的近似算法對模型進行求解。Yeung等[13]考慮了一個銷售短生命周期單產品的二級供應鏈調度問題，他們構建供應鏈調度問題為一個多時間窗約束的flow shop調度問題。通過偽多項式動態算法設計，獲取調度問題優化解。孫靖和林杰[14]為解決信息不完全共享環境下大規模定制供應鏈的動態調度問題，提出了基于蟻群算法的多供應商和單制造商交互調度模型，實現供應鏈動態優化調度。Guo Zhaoxia等[15]調查了MTO供應鏈的集成生產和運輸調度問題，并構建一種基于和諧搜索的模因優化模型。仿真實驗表明所提模型可以有效解決所提問題，其次所提模因優化過程相比遺傳算法呈現出更好的尋優效果。Torabi等[16]考慮了單供應商和單裝配廠之間的生產和配送調度問題，他們構建了混合整數非線性規劃模型，其目標是最小化單位時間的平均庫存成本、準備成本和運輸成本，采用了混合遺傳算法對模型進行求解。Rasti-Barzoki和Hejazi[17]考慮了集成交貨期、生產和批配送調度問題，其目標在于最小化延期訂單的加權數量以及資源分配成本和配送成本，他們提出了偽多項式動態規劃算法對模型求解。Yilmaz和Pardalos[18]考慮了兩階段供應鏈調度問題，第一階段由多個制造商構成，第二階段則由多個車輛構成以實現產品批次從制造商到客戶的配送。他們建立了混合整數線性規劃模型并采用人工蜂群和模擬退火的混合算法進行求解。Liu Xufei和Chung Tsuiping[19]針對半導體生產最終測試環節廠房分布式布置的特點，考慮了客戶訂單在這些分布式廠房的生產問題以及對完工產品的車輛配送問題。他們提出了一種PST啟發式算法以及B-IAIS元啟發式算法，仿真結果表明了他們所提算法的高效性。薛梅和周志平[20]研究了批處理機環境下生產與兩階段運輸的供應鏈協同調度問題，根據問題進行系統建模，并采用改進離散粒子群算法進行求解。韓文民等[21]針對虛擬單元制造系統中新訂單陸續到達的情況，研究了判斷是否以及何時進行重調度的問題。構建重調度非線性整數規劃模型，結合混合離散粒子群算法提出周期-事件混合重調度驅動決策方法。

關于三級供應鏈調度問題的研究：Kolish和Hess[22]在資源和裝配空間約束下考慮了多種定制產品裝配調度問題，并引入了三種啟發式算法對其進行求解。Sawik[23]考慮了客戶驅動的供應鏈調度模型，集成考慮了原材料生產、原材料供應和生產裝配的全過程，核心問題在于如何協調零部件的采購、制造和產品的裝配使整個供應鏈庫存成本、生產線啟動成本和運輸成本最小化。Selvarajah和Zhang[24]將供應鏈調度優化定義為最小化加權流水時間和批量運輸成本問題，他們分析了一些多項式可解的特殊問題，并提出了啟發式算法求解一般問題。Yimer和Demirli[25]針對訂單拉動的供應鏈系統，構建了一個從原材料采購、部件制造、產品裝配以及配送過程的三級混合整數規劃模型，并采用兩階段排序方法將模型分為兩個子系統，最后基于遺傳算法對問題進行了求解。Sawik[26]針對供應商聯合選擇、生產調度以及配送問題提出了一種雙目標隨機混合整數規劃方法，并考慮了局部和區域中斷風險。雙目標具有沖突性，為最小化成本和最大化服務水平。Hall和Potts[27]綜合考慮了一個三級供應鏈調度、批處理和交貨決策之間的協調問題，其目標是最小化調度和交貨成本。Agnetis等[28]針對制造商和第三方物流兩個agents的供應鏈調度問題進行了研究。制造商需要加工在上游階段和下游階段的訂單集合，第三方物流負責將半成品從上游階段運輸到下游階段，因此制造商目標為最小化完工時間而第三方物流則期望最小化運輸總成本。Wang和Gunasekaran[29]研究了由多個回收商、一個制造商、多個二手市場構成的逆向供應鏈的集成運作調度問題，他們構建了雙目標的混合整數規劃模型：最小化總的運輸和懲罰成本以及最小化交貨延遲，并采用動態規劃算法進行了求解。Chen Zhilong[30]對綜合考慮生產和外部配送的集成供應鏈問題的文獻進行了綜述，并給出了一種對該類集成優化問題統一的模型描述方案。同時他還將現有的模型分為幾個不同的種類，并對各個模型的最優性能、計算柔性、求解算法做了相應概述。唐亮等[31]考慮協同制造模式下的調度問題，通過設計不同類型的協同制造網絡構建生產成本、庫存成本、懲罰成本最小化的混合整數規劃模型，并采用改進蟻群算法進行求解，仿真結果表明算法的有效性。

歸納現有針對供應鏈調度問題的文獻，我們發現結合不確定性因素開展的研究較少。而通常考慮出現機器故障、訂單插入等不確定問題的研究則主要基于企業內部運作開展，進行重調度和預測調度方面的研究[32-35]。然而，需要指出這些研究所提不確定性是到達時間或發生時間的不確定，而并非不確定因素是否發生這種本質的不確定性。此外，鑒于協同生產過程呈現出網絡化特征，因此本文將從網絡角度對不確定訂單到達概率下的供應鏈調度問題開展研究。特別的，本文考慮同類部件訂單合并具有的成本效益，設計合并決策策略，并采用場景的表達方式構建調度決策模型，在此基礎上獲取優化的調度策略。

2 協同制造模式下的供應鏈調度模型

2.1 問題描述

協同制造模式下，企業通常標準化和模塊化運作，具備一種或幾種優勢生產能力。為了充分利用這些協同企業的優勢資源，對產品關鍵部件的協同工序進行分解，不同的協同工序可以交由具備該工序生產能力的協同企業完成。同時，由于具備某種協同工序生產能力的協同企業可能有多個，因而構成一張協同供應鏈有向網絡。此外，一旦出現多種不同類型關鍵部件訂單需求的情況，由于其協同工序的不同，協同企業會發生相應變化，導致部分協同企業處于不同協同供應鏈網絡的現象，因此有必要擴展至多個交互的協同供應鏈網絡進行研究。

本文供應鏈網絡調度問題給出如下假設：

(1)每個協同企業可完成某一項協同工序或幾項協同工序的加工；

(2)關鍵部件訂單分確定型和隨機型兩類，確定型訂單在初始時刻即已確定到達，隨機訂單則在協同生產過程中以概率到達；

(3)各個訂單的每個協同工序只能由一個協同企業完成，且同一個協同企業不能并行處理不同訂單的生產任務；

(4)一旦同類型關鍵部件的不同訂單在同一協同企業處連續生產則視為訂單合并生產，且合并狀態下的訂單生產成本比不合并狀態下的訂單生產成本小；

(5)各個訂單按照先到達先加工規則，加工結束立即運輸，且訂單在協同企業之間的運輸只考慮時間問題，不考慮成本問題；

(6)不同訂單具有各自固定的交貨時間點，提前交貨和延期交貨均會產生相關費用，其中提前完工會產生成品庫存費用，延期交貨則產生懲罰費用。

2.2 多層協同供應鏈網絡調度模型

(1)模型構建要素設計

為構建不同類型訂單下多層交互供應鏈網絡調度模型，首先定義模型參數及變量。

參數：

K—確定訂單總數

M—協同企業總數

k—訂單索引，k=1, 2, …,K

u—隨機訂單

m—協同企業索引，m=1, 2, …,M

Qk—k訂單數量

Cw1(k,m,Qk)—訂單k在協同企業m處的生產成本(非合并狀態下)

Cw2(k,m,Qk) —訂單k在協同企業m處的生產成本(合并狀態下)

tkm—訂單k在協同企業m處的單件生產時間

tr(k,m,m’)—訂單k在協同企業m和m’間協同工序路徑連接關系，存在連接為1，否則為0

tt(k,m,m’)—訂單k在協同企業m和m’間運輸時間

dk—訂單k約定交貨時間

Mks—訂單k初始協同工序企業集合

Mke—訂單k完工協同工序企業集合

pk—訂單k產品類型

Mk—訂單k所屬協同供應鏈網絡中協同企業集合

Mk’—訂單k’所屬協同供應鏈網絡中協同企業集合

變量：

Cw(k,m,Qk)—k訂單在協同企業m的實際生產成本

Cc(k,Qk)—訂單k庫存成本

Cd(k,Qk)—訂單k等待成本

Cp(k,Qk)—訂單k懲罰成本

tkms—訂單k在協同企業m實際生產開始時間

tkme—訂單k在協同企業m實際生產完工時間

tke—訂單k實際生產結束時間

tks—訂單k實際生產開始時間

λk—0-1變量，訂單k超期加工為1，否則為0

ykm—0-1變量，若存在與訂單k類型相同的訂單在協同企業m處合并生產為1，否則為0

bkm—0-1變量，訂單k在協同企業m處生產為1，否則為0

lkmm’—0-1變量，訂單k實際生產中經過協同工序路徑m到m’時為1，否則為0

xkk’m—0-1變量，訂單k和訂單k’均在協同企業m處生產且k訂單先于k’加工為1，否則為0

本文針對生產成本、庫存成本、等待成本、懲罰成本四類成本要素進行供應鏈調度優化，因而需要對這四類成本要素進行分析。

①生產成本要素

在實際生產過程中，協同企業在生產線啟動的一段時間內，其訂單生產的成本可近似認定為固定成本。連續生產加工一定數量以上的訂單后企業才會進入穩定生產階段，我們將協同企業進入穩定加工階段的訂單數量定義為該企業的穩態加工量(不同企業穩態加工量不同)，相應的成本則定義為基本生產成本。一旦訂單數量超過穩態加工量，則企業進入穩態生產階段，生產成本隨訂單數量呈線性增長。基于上述，構建如下分段生產成本函數：

(1)

式(1)中，nm為協同企業m的穩態加工量，f1m為協同企業m的基本生產成本，a1m和b1m為協同企業m在穩態階段的生產系數。

此外，相同類型訂單在同一協同企業會出現生產時間連續相鄰的情況，此時訂單視為合并生產。而如果同類型訂單一旦出現合并生產現象，則會分別提高各訂單在該協同企業的調整效率，從而降低各自的生產成本。因此，設計訂單合并狀態下的生產成本函數：

(2)

式(2)中，f2m為訂單合并狀態下協同企業m的基本生產成本，而a2m和b2m為訂單合并狀態下協同企業m在穩態階段的生產系數。

②庫存成本要素

當訂單于交貨期之前完成則產生庫存成本，每個訂單的庫存成本由訂單庫存費用系數Sk，訂單數量Qk，以及訂單儲存時間t構成，且同類型訂單的庫存費用系數相同，庫存成本函數表述如下：

Cc(k,Qk)=SkQkt

(3)

③等待成本要素

考慮訂單在各協同企業處發生等待現象時產生的等待成本，與庫存成本類似，其值與訂單數量Qk以及訂單等待時間t成正比，且訂單等待費用系數與庫存費用系數相同，均為Sk，等待成本函數表達式為：

Cd(k,Qk)=SkQkt

(4)

④懲罰成本要素

根據每個訂單重要程度不同，設置相應的延期交貨懲罰成本系數ak、bk，作為延期交貨處罰費用的計算參數，延期交貨懲罰成本與訂單量Qk和延期時長t乘積成線性關系，延期懲罰成本函數表述如下：

Cp(k,Qk)=akQkt+bk

(5)

(2)綜合調度決策目標函數

考慮隨機訂單在區間時間段[t1,tn]到達概率，將區間時間段時間點離散化，并設定不確定訂單在離散時間點tu到達概率為p(tu)。為解決初始時刻點隨機訂單可能到達概率下的協同供應鏈網絡調度決策問題，本文依據訂單是否實際到達以及是否考慮提前安排該隨機訂單生產，設計四類場景并構建相應的子調度模型：F1-不考慮隨機訂單到達而訂單實際未到達場景、F2-不考慮隨機訂單到達而訂單實際到達場景、F3-考慮隨機訂單到達而訂單實際到達場景、F4-考慮隨機訂單到達而訂單實際未到達場景。基于四個子模型，構建主決策模型f(F)：在訂單實際到達場景下提前安排不確定訂單生產與不提前安排不確定訂單生產所節省的成本(F2-F3)，與訂單實際未到達場景下提前安排不確定訂單生產與不提前安排不確定訂單生產所產生的增加成本(F4-F1)進行比較分析，并基于此確定協同供應鏈網絡調度方案。

f(F)=(F2-F3)p(tu)-(F4-F1)(1-p(tu))

(6)

1)F1子模型構建

為求解該模型，需要對四個子模型分別構建并求解，其中F1子模型構建如下：

minF1=∑k∈K∑m∈MkCw(k,m,Qk)

+∑k∈KCd(k,Qk)+∑k∈KCp(k,Qk)λk

+∑k∈KCc(k,Qk)(1-λk)

(7)

目標函數中，Cw(k,m,Qk)、Cd(k,Qk)、Cp(k,Qk)、Cc(k,Qk)表達式如下

Cw(k,m,Qk)=[(1-ykm)Cw1(k,m,Qk)+ykmCw2(k,m,Qk)]bkm?k∈K,m∈Mk

(8)

Cd(k,Qk)=SkQk[tke-tks-∑m∈MkbkmtkmQk-∑m∈Mk∑m'∈Mktt(k,m,m′)lkmm′]

?k∈K,m∈Mk,m′∈Mk

(9)

Cp(k,Qk)=ak(tke-dk)Qk+bk?k∈K

(10)

Cc(k,Qk)=SkQk(dk?tke) ?k∈K

(11)

構建模型相關約束如下：

lkmm′=bkmbkm′?k∈K,m∈Mk,m′∈Mk

lkmm′=bkmbkm′tr(k,m,m′) ?k∈K,m∈Mk,m′∈Mk

(12)

tkme+tt(k,m,m′)+tkm′Qk≤tkm′e+G(2-bkm′-bkm)

?k∈K,m∈Mk,m′∈Mk

(13)

∑m∈Mks∑m′∈Mklkmm′=1

?k∈K,m∈Mks,m′∈Mk

(14)

∑m′∈Mklkmm′=∑m″∈Mklkm″m

?k∈K,m∈Mks,m∈(Mks∪Mke

(15)

tks=maxm∈Mks{tkmsbkm} ?k∈K

(16)

tke=maxm∈Mke{(tkms+tkmQk)bkm} ?k∈K

(17)

tkeλk≥dkλk?k∈K

(18)

tke(1-λk)≤dk(1-λk) ?k∈K

(19)

tkms+tkmQk≤tk′ms+G(1-xkk′m)+G(2-bkm-bk′m)

?k∈K,k′∈K,m∈Mk∩Mk′

(20)

tk′ms+tk′mQk′≤tkms+Gxkk′m+G(2-bkm-bk′m)

?k∈K,k′∈K,m∈Mk∩Mk′

(21)

ykm∏k′-K[(tk′ms-tkms-tkmQkbkm)(tk′ms+tk′mQk′bk′m-tkms)+(2-bk′m-bkm)] ≤(1-ykm)

?k∈K,k′∈K,m∈Mk,pk≡pk′

(22)

∏k′-K[(tk′ms-tkms-tkmQkbkm)(tk′ms+tk′mQk′bk′m-tkms)+(2-bk′m-bkm)] ≥1-ykm

?k∈K,k′∈K,m∈Mk,pk≡pk′

(23)

①F1子模型目標函數說明

F1模型目標函數包括生產成本Cw(k, m, Qk)、等待成本Cd(k, Qk)、懲罰成本Cp(k,Qk)和庫存成本Cc(k,Qk)四部分。其中，生產成本需要依據合并決策變量ykm對采用合并生產成本函數Cw1(k,m,Qk)或非合并生產成本函數Cw2(k,m,Qk)進行決策，并依此統計實際生產成本。等待成本則需要統計訂單在協同工序生產路徑包含的所有協同企業處發生的等待時間，基于此統計等待成本。懲罰成本和庫存成本是對立存在，需依據λk加以判斷。

②F1子模型約束條件說明

約束條件(12)表示k訂單生產的路徑段約束，表示只有訂單k被同時指派到具有前后協同工序順序關系的協同企業m和m′時，路徑段變量lkmm′才存在。一旦訂單k僅被指派到某一個協同企業m或m′，或沒有被指派到協同企業m或m′，則路徑段變量lkmm’不存在。約束條件(13)在考慮協同企業間運輸時間的前提下，對相同訂單在不同協同企業處的完工時間進行約束。約束條件(14)限制了起始協同企業節點只能有一個，約束條件(15)則對訂單k在協同供應鏈網絡中每一個協同企業節點m處的流平衡進行約束，表示節點訂單流入等于流出，顯然約束(14)、(15)也同時約束了終止協同企業節點只能有一個。約束條件(16)、(17)給出了訂單k的實際開始時間和結束時間，約束(18)、(19)則利用超期判斷變量λk限制訂單k完工時間與交貨期之間的關系，超期或提前完工只能存在一種情況。約束條件(20)、(21)對不同訂單k和k′在同一協同企業處的開始加工時間進行了約束，需要指出的是k和k′可能不是同類訂單，因此可能屬于不同的協同供應鏈網絡，由此其協同供應鏈網絡中的協同企業可能不同。因而，約束(20)和(21)中的協同企業m在不同的協同供應鏈網絡均存在，屬于多網絡交互的關聯協同企業節點，可表示為集合Mk∩Mk′。為表示同類型訂單的合并策略，本文采用了合并決策判斷變量ykm判斷訂單k合并與否，約束(22)限制了一旦訂單k合并，不等式左側連乘部分必須為0，則必有k′訂單與其相鄰；而約束(23)限制了一旦訂單k沒有合并，則左側部分必須大于等于1，使訂單k′肯定與其不相鄰。

2)其它子模型構建

在子模型F1的基礎上，需要對其余子模型進一步構建。其中，F2子模型目標函數為

minF2=∑k∈K∪u∑m∈MkCw(k,m,Qk)+∑k∈K∪uCd(k,Qk)+∑k∈K∪uCp(k,Qk)λk+∑k∈K∪uCc(k,Qk)(1-λk)

(24)

并在F1模型的基礎上增加以下約束：

tus≥tu

(25)

tkms(F2)=tkms(F1) ?tkms(F1)

(26)

lkmm′(F2)=lkmm′(F1) ?tkms(F1)

(27)

約束(25)表示隨機訂單在到達場景下其實際開始生產時間tus必須大于隨機訂單到達時間tu；約束(26)、(27)表示子模型F2在隨機訂單到達時刻tu之前的協同生產計劃與子模型F1相同。

子模型F3與F2子模型類似，但不存在約束(26)、(27)，僅在F1子模型基礎上添加了約束(25)，顯然子模型F3目標函數值將比F2更優。

子模型F4在F3基礎上，在tu時刻點之后針對隨機訂單不到達的場景進行協同生產調度策略重新安排。顯然，子模型F4在tu時刻點之前的協同生產計劃與F3相同(tkms(F4) = tkms(F3), lkmm′(F4)=lkmm′(F3), ?tkms(F3)

3 仿真算例及分析

3.1 參數設計

(1)協同供應鏈網絡設計

本文以航空發動機的核心部件—壓氣機的協同生產制造為行業背景，對其制造工藝進行分解：外協工藝和自制工藝，其中外協工藝尋找具有相應生產能力的協同企業完成。為使本文研究更具普適性，設計四種類型訂單的協同供應鏈網絡仿真算例：平衡型、瓶頸型、跳躍型、混合型(如圖1-4所示)，每類網絡由不同的協同企業節點構成，部分協同企業節點處于不同的協同供應鏈網絡中。

圖1 平衡型協同供應鏈網絡

圖2 瓶頸型協同供應鏈網絡

圖3 跳躍型協同供應鏈網絡

圖4 混合型協同供應鏈網絡

(2)訂單參數

本文設計9個訂單，其中1-8訂單為確定型訂單，訂單9為隨機訂單。訂單1、2、9采用平衡型協同供應鏈網絡；訂單3、4采用瓶頸型協同供應鏈網絡；訂單5、6采用跳躍型協同供應鏈網絡；訂單7、8采用綜合型協同供應鏈網絡。每個訂單含有5個參數，分別為訂單數量(Qk)，訂單庫存成本系數(Sk)，懲罰成本系數(ak,bk)，訂單交貨期(dk)，具體數據如表1所示。

表1 訂單參數

(3)協同企業參數

在已知四類協同供應鏈網絡中共有12個協同企業，主要參數包括穩態階段生產系數(a1m,a2m,b1m,b2m),基本生產成本(f1m,f2m),穩態加工量(nm),單件訂單生產時間(tkm),具體數據如表2所示，協同企業間距離如表3所示。

表2 各機器相關參數

表3 協同企業間距離

3.2 仿真結果描述

對隨機訂單在到達時間區間段[16, 30]中每個時間點的F1、F2、F3、F4子模型調度策略進行求解，總計15組數據，具體結果如表4所示。

根據表4結果可知，無論隨機訂單在何時到達，其子模型F1目標函數值始終最小，而F2在四個子模型中值最大，這是因為初始未考慮隨機訂單的情景下一旦隨機訂單到達，需要進行重新的協同調度策略調整，其調整成本很大。子模型F3由于提前考慮了隨機訂單的到達，因而在訂單實際到達的場景下其目標函數值比子模型F2要小。子模型F4在tu時間點之后進行了隨機訂單未到達場景下的調度策略重新調整，因此其目標函數值相較F3要小。

表4 隨機訂單不同時間點到達概率下各子模型目標值

限于篇幅，僅以tu=19為例給出F1、F2、F3、F4求解方法和過程描述。4個子模型的目標函數及各項約束經過線性化處理后均使用opl語言編寫并利用cplex求解器求解，根據各個場景的不同含義，場景F2和F4中部分調度方案要與F1與F3相同，以下是4個子模型的詳細求解過程：

步驟1：對子模型F1進行求解，其數學模型的目標函數為(7)，約束條件(12)-(23)，具體求解結果如表5所示(表中方括號內數據為訂單在相應協同企業的開始加工時間和完工時間)。

表5 子模型F1求解結果

步驟2：對子模型F2進行求解，其數學模型在子模型F1的基礎上，添加約束(25)-(27)，具體求解結果如表6所示。從表6中可以看出，隨機訂單9的開始加工時間為24，大于隨機訂單到達時間19，滿足約束(25)。此外，表5中開工時間小于19的工序，其協同企業的選擇與具體加工時間區間均與表6中完全相同，而開工時間點在19之后的工序則出現相應的偏差。這表明了約束(25)-(27)對子模型F2的有效性以及子模型F1和F2之間的關系。

表6 子模型F2求解結果

步驟3：對子模型F3進行求解，其數學模型中包括約束(12)-(23)以外，還包含約束(25)，即對隨機訂單的開工時間進行約束，具體求解結果如表7所示。

表7 子模型F3求解結果

步驟4：對子模型F4進行求解，其數學模型中包括約束(12)-(23)以外，還包含約束(25)，以及tkms(F4)=tkms(F3),lkmm′(F4)=lkmm′(F3), ?tkms(F3)

表8 子模型F4求解結果

具體來說，所得F1、F2、F3、F4子模型各部分成本如表9所示。

表9 tu=19時不同子模型各部分成本

從表9結果可知，F1子模型等待成本為60.05，在四個子模型中其值最大，且訂單3、4均在交貨時間點完工。對于F2子模型，一旦隨機訂單在時間點tu實際到達，而在初始時刻并未考慮其協同生產計劃，則會導致懲罰成本大幅增加(53.2)，其中訂單2、3、4、7、8均出現延期。一旦在初始時刻考慮隨機訂單在tu時間點到達而訂單實際到達，則子模型F3產生較小的懲罰成本7.2。基于上述，子模型F3相較于F2節省成本為30.85。此外，隨機訂單在tu時間點實際未到達場景下，一旦在初始時刻考慮隨機訂單的協同生產，則懲罰成本相較F2子模型小，而總成本較F1子模型增加17.75。

步驟5：依據4個不同子模型的目標函數值及隨機訂單到達概率求解綜合調度決策主模型目標函數(6)，得出相應的目標函數值。在時間區間[16, 30]的各個不同tu到達時間點的f(F)值如圖5所示。

圖5 不同時間點f(F)目標值

圖5顯示了訂單在不同時間點到達概率下的決策模型目標值，當隨機訂單到達時間點tu∈[16, 24]時其目標值f(F)均大于0，這表示訂單實際到達場景下提前考慮隨機訂單生產所帶來的成本節省，比訂單實際未到達場景下提前考慮隨機訂單生產所引發的成本增加要大。由此在該時間區間段，在初始時刻應考慮tu時刻點隨機訂單的供應鏈協同生產調度計劃。當隨機訂單到達時間點tu∈[25, 30]時其目標值f(F)均小于0，則在初始時刻不考慮隨機訂單的供應鏈協同生產調度計劃，而僅需考慮確定訂單的生產調度策略。特別地，觀察圖5可知，時間點24與時間點25差異較大，分析原因如下：隨機訂單9與訂單1、2為同類型訂單，與其合并生產可以減少生產成本。從表5中數據可以看出，訂單1和訂單2首工序加工時間段分別為[11,18]和[18,24]，當隨機訂單到達時間點為24或更早時，均有可能與訂單1、2合并加工。當隨機訂單在時間點25到達時，即使提前考慮隨機訂單的到達，也無法與原先確定訂單合并生產。同時綜合考量隨機訂單產品數量、到達概率等諸多因素，導致隨機訂單在時間點25到達時，是否提前考慮隨機訂單的生產其成本變化并不大(即節省成本F2-F3很小)，從而使得時間點24和25的f(F)值差異較大。由此我們可以知道，在考慮合并生產效益的前提下，若隨機訂單到達時間點對隨機訂單的合并情況產生影響，則很可能導致綜合調度決策目標值的突變。

此外，綜合考慮所有區間時間點，其期望節省成本與增加成本之差的總和為∑tu[(F2-F3)p(tu)-(F4-F1)(1-p(tu))]，即30.4658。由此，一旦考慮總體時間區間[16, 30]，則合理的決策為在初始時刻即安排tu時刻點隨機訂單的生產計劃。

為研究相關系數和參數變化對研究結果的影響，我們進行了相關仿真分析。通過調整部分生產數據以及延期懲罰費用數據，對綜合調度決策結果變化進行分析：1)合并費用整體增加10%(M1)；2)合并費用整體降低10%(M2)；3)訂單延期費用整體增長10%(M3，其中隨機訂單不變)。三種情況下模型的綜合調度決策目標值分別為f(M1)、f(M2)、f(M3)，具體結果如表10所示，仿真對比結果如圖6所示。

表10 三種情況下模型綜合調度決策值

續表10 三種情況下模型綜合調度決策值

圖6 不同參數調整情況對比結果

綜合考慮所有區間時間點，f(M1)、f(M2)、f(M3)綜合決策值分別為23.91725、420.19275 、220.04345。f(M1)各時間點構成紅色曲線，f(M2)各時間點構成藍色曲線，f(M3)各時間點構成紫色曲線，原始曲線為黑色曲線。比較這些曲線與原曲線，其中1)藍色曲線與黑色曲線表現關系分析如下：期望主模型目標函數，即是否提前考慮隨機訂單產生的成本差值受到多種因素的影響，其中包括隨機訂單的合并情況。本例中隨機訂單的類型與訂單1、2相同。當提前考慮隨機訂單制定調度方案時，結合隨機訂單中產品數量少，工序所需加工時間短等特點，可能會更多地安排隨機訂單的各個工序與訂單1、2合并生產。當不提前考慮隨機訂單生產制定調度方案時，可能受隨機訂單交貨期緊、生產資源被其它訂單占用等因素影響，不能與訂單1、2在多處工序處合并生產。由于合并后生產成本進一步降低且相較于等待費用較大，故導致藍色在隨機訂單到達概率較低時，期望主模型目標函數依然大于0，并且整體高于黑色曲線。2)紅色曲線與黑色曲線表現關系分析如下：由于訂單合并成本的提升，合并與否生產成本的差值減小，這使得合并生產的收益減少，而這種收益是提前考慮隨機訂單生產相較于不提前考慮隨機訂單成本降低的影響因素之一。故訂單合并成本提升的變化會導致綜合調度決策目標函數中的正收益和負收益均減少，故曲線趨于平緩，且在時間軸前半部分紅線處于黑線下方，后半部分處于黑線上方。3)紫色曲線與黑色曲線表現關系分析如下：由于隨機訂單交貨期較短且延期費用遠大于原來的確定訂單，不提前考慮隨機訂單生產時，當隨機訂單意外到達很可能導致確定訂單產生延期現象，當延期費用逐漸增大時，會使提前考慮隨機訂單與不考慮隨機訂單生產的差值逐漸增大，故紫色曲線整體高于黑色曲線。

3.3 仿真結果討論及分析

通過上述仿真結果描述，我們進一步對仿真結果討論和分析：首先，本文模型具有合理性和創新性，考慮了訂單合并生產的判斷決策，由于合并生產帶來的成本優勢，導致生產過程更傾向于合并的方式進行生產。仿真結果表明隨機訂單不同tu時刻點到達概率下，協同供應鏈生產調度方案中均出現了合并生產的情況，也導致出現相應的延期交貨現象。需要指出，一旦延期交貨懲罰成本系數變大，則調度策略可能出現為保障準時交貨而使得合并生產減少的現象，以降低懲罰成本急劇增加帶來的影響。此外，通過對合并費用提高或降低，以及訂單延期費用提高等三種情況，分析了其帶來的綜合調度決策值變化，仿真結果表明了合并費用增加相較其它兩種情況使得綜合調度決策值的變化更具平穩性。其次，為使研究更具普適性和通用性特點，對協同生產網絡的結構進行了設計，考慮了多個起點和終點、跳躍節點、瓶頸節點等網絡結構特點，仿真結果表明具有網絡結構特征的協同供應鏈網絡調度壓力較小，延期懲罰成本較小；且平衡型網絡在隨機訂單實際到達場景下的庫存成本和懲罰成本之和相較其它網絡要小，而瓶頸型網絡則相對較大，說明不同類型的網絡結構在應對隨機訂單時的抗風險性存在差異，也為實際生產運作中協同供應鏈網絡的設計提供了思路和參考。此外，由于多個協同供應鏈網絡具有交互的特點，不同供應鏈網絡存在多個相同的協同企業，這導致即便不同類型訂單在走不同供應鏈生產路徑時也可能在相同的協同企業處沖突，從而影響供應鏈調度策略。

4 結語

本文基于協同制造背景建立了多種不同類型訂單的協同調度數學模型，模型綜合考慮了協同企業的同類訂單合并生產問題并考慮了協同企業間的運輸問題。為使研究具有通用性，本文設計了四類協同供應鏈網絡，并考慮了多供應鏈網絡間的交互，構建不同類型訂單在不同供應鏈網絡的相同協同企業處的開始時間約束。此外，考慮隨機訂單因素的干擾，在隨機訂單區間時間段內任意時間點到達概率下，設計了四種隨機訂單到達場景下的子調度模型，在此基礎上構建協同供應鏈調度主決策模型，獲取隨機訂單各時間點到達場景下的協同調度策略。本文研究成果對于實際生產中存在隨機訂單現象的協同供應鏈調度方案設計具有較好的參考價值。同時需要指出，在本文目前的研究工作中，主要是通過模型構建和計算多組仿真數據的結果，分析和比較綜合調度決策目標值，獲取相應優化的調度策略。因此，尚未深入探究實際企業各項生產系數與隨機訂單各項數據之間的關系，并進行數學理論推導，獲取更加智能的優化決策，使調度效果更具柔性。未來，我們還可以進一步考慮一些風險因素在協同供應鏈網絡中的傳播問題，并分析不同傳播特性對協同調度優化決策影響。