AutoCAD環境下漸開線齒形畫法研究

王文革

摘 要：在AutoCAD環境下用Autolisp語言編制程序自動繪制標準直齒圓柱齒輪;本程序解決了AutoCAD軟件不能繪制漸開線齒形曲線的問題，提高了齒輪圖形繪制的效率，并且繪出的齒輪圖形更加形象化。

關鍵詞：漸開線齒形 Autolisp語言 壓力角 展開角

中圖分類號：TH126文獻標識碼：A文章編號：1003-9082（2019）04-0-01

常用的標準直齒圓柱齒輪的齒形曲線為漸開線，不能用幾何作圖法直接畫出，國內有諸多文獻對漸開線的畫法進行了研究，多用三段或多段圓弧代替漸開線，有一定的直觀性，但不夠精確且步驟繁瑣。隨著電腦繪圖的普及，有些軟件已經可以精確畫出漸開線齒形曲線，如CAXA、Pro/E、UG等，但是作為應用最為廣泛的繪圖軟件AutoCAD卻沒有這個功能，給廣大使用者帶來不便。本程序用AutoCAD內嵌的Autolisp語言編制，可以在AutoCAD繪圖界面下自動、精確、快速繪制漸開線齒形曲線。

一、有關參數

根據漸開線的形成原理，漸開線的形狀與基圓的大小有關，所以要繪制出漸開線齒形，還必須由齒數z與模數m計算出基圓半徑大小，根據漸開線形成原理，漸開線極坐標參數方程為：ri=rb/cosαi θi=tanαi-αi其中rb—基圓半徑;ri—漸開線上任意一點的極徑;αi—漸開線上相應點的壓力角;θi—漸開線上相應點的展開角，標準齒輪分度圓上的壓力角α=20°，所以基圓半徑rb=r*cos20°=0.5*m*z*cos20°;對于標準齒輪，齒根圓半徑rf=0.5*m*（z-2.5），基圓半徑rb=0.5*m*z*cos20°，得z=41.45時，rf=rb，所以當齒數z≤41時，齒根圓小于基圓，需在基圓與齒根圓之間添加過渡曲線，漸開線與過渡曲線共同組成齒形曲線;當z≥42時，齒根圓大于基圓，漸開線直接與齒根圓相接，不需要添加過渡曲線，為簡化程序，本程序中用一小段直線段作為過渡曲線。

二、算法設計

1.極徑的確定

如圖1所示：以齒輪中心為原點建立XOY坐標系，讓一個輪齒關于Y軸對稱，C點為漸開線上任意點，設θi、αi分別為該點對應的展開角和壓力角，B點為分度圓與漸開線交點，A點在基圓或齒根圓（兩者中的大者）上，為漸開線的起始點，設A點的極徑為r0，則r0=max（rb rf），由于從A點至齒頂D點，漸開線上任意點的極徑是單調遞增的，把A點到齒頂的高度n等分，可得到漸開線上任意點的極徑ri：ri=r0+（ra-r0）*K ?（K=0～n），等分點越多繪出的曲線越圓滑，本程序中設置n=300*m，把ri代入漸開線極坐標參數方程ri=rb/cosαi，θi=tanαi-αi可計算出任應意點C對應的展開角θi。

2.極角的計算

在圖1所示幾何關系中：∠COC=∠BOB-2∠BOC，因為∠BOB為分度圓齒厚對應圓心角，所以∠BOB=π/z，∠BOC為任意點C對應展開角θi與分度圓上點B展開角θ之差，結合漸開線的極坐標公式可得∠BOC=θi-（tanα-α），得到圓心角∠COC=π/Z-2[θi-（tanα-α）]，把2.1中計算出的任意點展開角θi代入，可計算出輪齒任意齒厚對應的圓心角∠COC。

在圖1所示坐標系中，根據幾何關系可得C點的極角∠XOC=π/2-0.5*∠COC

3.漸開線的繪制

以K為循環控制變量，K=0～n，重復2.1和2.2過程，不斷計算出任意點C的極徑ri和極角∠XOC，用Autolisp語言中的POLAR函數生成C點的極坐標，用COMMAND pline命令順次連接各點，即畫出齒形曲線的漸開線段。

4.齒頂圓、齒根圓、過渡曲線的繪制

在上述過程中當K=n時得到的是齒頂圓上D點的極坐標和圓心角∠DOD，用COMMAND arc命令可繪出齒頂圓弧，當K=0時得到A點坐標和圓心角∠AOA，如果Z≥42A點即為齒根圓上的點，按幾何關系∠AOA1=2π/z-∠AOA，由A點坐標和∠AOA1，用COMMANDarc命令可繪出齒根圓弧AA1，如果Z≤41，由A點坐標和三角形AFO和三角形EGO可計算出E點坐標和∠GOE，用COMMAND line命令畫出渡線段AE，計算出∠XOE1=2π/z-2*∠GOE，結合E點坐標，用COMMAND arc命令畫出齒根圓弧E。

5.全部輪齒的繪制

對于上述過程中繪出的漸開線段和過渡線段用對稱命COMMAND mirror可得到一個完整輪齒曲線，將輪齒曲線、齒頂弧、齒根弧生成一個選擇集S，對選擇集S按齒數z以齒輪中心為圓周中心，進行中心陣列，即可得到全部輪齒的齒形圖。

三、程序使用說明

主程序中定義的函數名為clqx，在AutoCAD界面下由下拉菜單“工具→Autolisp→加載應用程序”將主程序加載到當前內存，在命令行中輸入clqx，即可啟動繪圖程序。

參考文獻

[1]傅桂興，楊林，等.AutoCAD機械繪圖[M].北京：北京理工大學出版社，2012

[2]郭秀娟，等.AutoLISP語言程序設計[M].北京：化學工業出版社，2008

[3]鄭文緯，等.機械原理[M].北京：高等教育出版社，1997