車載移動測量高精度高程異常改正方法

王延存，俞家勇，田茂義，周茂倫，李國玉

(1.山東科技大學 測繪科學與工程學院，山東 青島 266590；2.青島秀山移動測量有限公司，山東 青島 266590)

0 引言

車載移動測量系統[1]由三維激光掃描儀、慣性測量單元(inertial measurement unit，IMU)、全球定位系統(global positioning system，GPS)等傳感器組成，該系統能夠快速獲取高精度點云數據，可廣泛應用于三維建模、大比例尺地形圖、城市部件普查等方面,可以有效降低測量人員的勞動強度，提高工作效率。車載移動測量系統憑借自身的優勢，成為當前研究的熱點。然而點云數據的高程為大地高H，常規工程測量的高程是正常高h，為了能將車載激光點云數據運用于一般工程測量中，必須把大地高H轉化為正常高h；大地高與正常高之間的差值為高程異常ζ，即ζ=H-h。高程異常如圖1所示。因此如何獲取高精度的高程異常改正值，成為點云數據處理的一個研究重點。目前確定高程異常的方法有地球重力場模型法[2-4]和GPS水準法。重力場模型法是通過EGM2008地球重力場模型計算待定點的高程異常值，該方法可以獲取高精度高程異常值，但是重力數據獲取比較困難且成本較高，因此在工程中應用比較少。GPS水準法是在測區內布設一定數量且分布均勻的控制點，進行GPS和水準聯測，得到控制點的高程異常，進而通過曲面擬合獲得該區域的高程異常數學表達式，再內插得到該區域其他點的高程異常值。常用的曲面擬合方法包括多項式曲面擬合法、多面函數法、移動曲面法、最小二乘配置法、薄板樣條函數法(TPS)以及BP神經網絡法等[5-15]。地形變化較大區域，文獻[16-17]通過結合不同的擬合方法來適應不同的地區；針對小區域范圍，文獻[18-19]進行了研究，利用云模型對高程異常進行定性定量分析，形成云形圖，直觀獲得該小區域的高程異常值。以上研究都取得了較好的效果。

圖1 高程異常示意圖

在實際的工程應用中，由于外界條件的影響，組合導航定位精度較差區域會導致點云高程誤差大，此時利用文獻[5-19]所提擬合方法求得的模型參數的可靠性降低，不能滿足高精度測圖要求。對于高程異常值含有粗差的情況，文獻[20-24]進行了研究，但是局限于通過降低粗差的權值來提高模型參數的穩定性，而沒有剔除粗差。且文獻[20-24]都是針對大區域含粗差情況下的高程異常擬合，小區域范圍內的穩健高程異常擬合相關研究較少。針對這一情況，本文提出了一種穩健高程異常改正方法，該方法以薄板樣條函數為基礎，結合RANSAC算法，并以狄克松判別法為準則，獲取高程異常值。通過實驗證明該方法可以有效的剔除粗差，獲得高精度的高程異常改正值。

1 薄板樣條函數原理

薄板樣條函數插值[25-26]是一種二維的插值方法，在具有3個以上非共線點的情況下，薄板樣條函數具有唯一解。假設在空間區域R2內有n個非共線點(t1，t2，…，tn)，每個點的坐標為(xi，yi，zi)(i=1，2，…，n)，其中zi=z(xi，yi)。

(1)

式中：δi和bj為待定系數；‖·‖為歐氏范數，在二維空間即為兩點間的距離。ω是TPS的核函數，ω(r)=r2ln r/16π。當滿足條件ωT=0時，式(1)就是空間區域R2上的自然薄板樣條函數。

2 穩健自然薄板樣條函數法

在小區域范圍內，高程異常可以看成光滑連續曲面，非常適合通過自然薄板樣條函數進行擬合。但當擬合數據中偶然誤差較大或含有粗差時，直接利用自然薄板樣條函數擬合得到的參數δi和bj不是最優解，進行插值時，距離粗差點越近的區域受到的影響越大。在這種情況下，需要引進一種穩健的擬合方法。本文在自然薄板樣條函數的基礎上，結合RANSAC算法，通過狄克松判別法尋找并剔除粗差點，進而得到該區域的高程異常值。

2.1 RANSAC算法

RANSAC算法是最有效的穩健估計算法之一，當數據中的粗差數據超過50%時，使用該算法仍然可以得到理想的估計參數。RANSAC算法首先設定一個準則，根據這個準則將數據分為局內點(可以用數學模型表達的數據)和局外點(不可以用數學模型表達的數據)，最后利用保留下來的局內點進行參數計算，從而得到最優參數估值。最小迭代數k通過公式(2)計算得到。

(2)

式中：m為計算模型需要的最小數據量；ε為數據錯誤率。通常情況下，ε、P和k是根據實際情況動態確定的。

2.2 狄克松判別法

狄克松判別法采用極差比的思想，可以快速有效檢測粗差的存在。RANSAC算法中，判定條件的選取直接決定最終結果的精度，因此在本文中，利用狄克松判別法作為局內點和局外點的判定條件。

通過RANSAC算法隨機選取待擬合點，利用自然薄板樣條函數進行擬合，得到每個待擬合點的高程異常殘差Δξi，將殘差Δξi按照從小到大的順序排列。

Δξ1≤Δξ2≤…≤Δξn

(3)

(4)

2.3 穩健擬合方法

利用自然薄板樣條函數進行曲面擬合至少需要4個非共線點，根據RANCAC算法的思想，即需要在待擬合點中隨機選取4個點作為種子點，根據式(2)計算最小迭代次數k，并計算自然薄板樣條函數模型參數δi和bj的初始值，利用該初始值計算其余待擬合點的高程異常值，并與已知高程異常值做差得到高程異常值差值Δξi，利用狄克松判別法判定尋找該組擬合點對應的粗差值。將粗差值判定為局外點，其余的作為局內點，并統計局內點的數量。迭代統計最大局內點數量，將該組數據作為最終的待擬合點。該穩健擬合方法的流程如圖2所示。

①利用ε、P、m根據式(2)計算出最小迭代次數k，本文中m=4。

②隨機選取m個點，計算出模型參數δi和bj的初始值，并利用自然薄板樣條函數的特性檢核參數是否正確。

③根據②得到的參數計算Δξi，根據公式(3)、公式(4)，進行自殘序列兩端逐點判別，如果小于臨界值，將其判定為局內點，反之為局外點。

④重復②至③k次，統計每次迭代的局內點數量及局內點點號。

⑤選取最大局內點，根據公式(1)計算出參數δi和bj的最優解。

⑥通過最優解計算檢核點殘差。

圖2 穩健擬合方法流程圖

3 實驗及結果分析

本文采用的數據為南方某地的車載移動測量系統獲取的點云數據，該地區為丘陵地區。高程變化比較平緩。在測區內通過隨機抽取，共選擇了26個均勻分布的地面點，根據某勘測院1∶500水準精化模型獲得對應的正常高，在該區域選擇7個高程不同的地面點作為檢核點，檢核點高程分布在32～43 m范圍內。高程異常擬合點點位分布如圖3所示。

圖3 待擬合點點位分布

針對移動測量作業過程中，組合導航系統定位精度受環境影響較大，采集前需要對作業區域進行規劃，確保系統精度能夠滿足地籍測量要求。但在實際作業過程中，依然會存在局部小范圍區域GPS定位精度較差情況，一般此區域高程誤差在5～10 cm。一般誤差較大區域占總的采集范圍大約在5%～10%。在選擇地面觀測數據過程中，為保證擬合點均勻分布，采樣擬合點難免會有少數部分在誤差較大區域，需要在擬合方法中考慮粗差剔除，因此粗差取值范圍在5～10 cm。本文考慮粗差點在擬合點數據中所占比例較小(考慮極端條件10%，擬合點數為26)，故分別取1個、3個粗差點進行分析，闡述本文方法的穩健性。

目前最常用的高程異常擬合方法是多項式曲面法，本文采用三次曲面法進行擬合作為對比實驗。三次曲面法是把高程異常值構成的曲面看作標準的三次曲面，而在地形變化較大的地區，高程異常值構成的曲面比較復雜，三次曲面法不能真實地描述該曲面，所得參數誤差較大。因此該方法適用于高程異常變化比較平緩，且變化趨勢近似于三次曲面的平原、低矮丘陵地區。使用該方法時，擬合點位要分布均勻且不含有粗差，否則局部地區可能會有較大誤差。利用三次曲面法進行高程異常擬合，只需求解10個待定系數，計算效率較高，且方程中最高次項為三階，有效避免了“龍格”現象。本文實驗數據所在區域為丘陵地區，高程異常值變化比較平緩，適合使用三次曲面法進行擬合。

在實驗中，分別利用三次曲面法、自然薄板樣條函數法、穩健自然薄板樣條函數法進行高程異常擬合，統計3種方法的檢核點高程異常值的殘差Δξi，結果如圖4所示。

圖4 3種方法各檢核點殘差比較

根據圖4有以下分析結果：

①從圖4(a)可以看出，在數據不包含粗差的情況下，其中三次曲面擬合的殘差最大值為3.4 cm，而通過薄板樣條函數進行擬合時，殘差在2.5 cm以下，說明在該區域薄板樣條函數法的擬合精度優于三次曲面法。實驗表明，2種方法在擬合點不含有粗差的情況下，其精度都可以滿足1∶500地形圖要求。

②從圖4(b)、圖4(c)可以看出，在數據中通過數值模擬加入一個粗差點時，用薄板樣條函數法擬合得到參數，求得的第3檢核點的殘差較大。加入3個粗差點時，薄板樣條函數法對應的第3、4、6檢核點的殘差較大，最大值達到了5.2 cm，且只有一個檢核點超過了1：500地形圖的高程精度要求；利用三次曲面進行擬合得到的檢核點的殘差較大，最大值達到了6.8 cm，且在粗差較多的情況下，50%以上的檢核點的高程精度都不能滿足1∶500地形圖的要求。因此，三次曲面法在該區域進行高程異常擬合的抗差性要低于薄板樣條函數法。

③利用本文提出的方法，雖然隨著待擬合點中粗差的增多，各檢核點的殘差增大，但是各檢核點的殘差都控制在3 cm以下，即在模擬的極端條件下(含有10%粗差)，本文提出的方法在該區域依然滿足1∶500地形圖的精度要求。導致這一現象的原因是，傳統的自然薄板樣條函數法是將所有的數據不加區分地全部用于擬合中，這導致求解得到的模型參數不能反映真實的高程異常值，根據自然薄板樣條函數的特性可知，距離粗差點越近的檢核點，其殘差值越大；而穩健薄板樣條函數法對應的殘差較小且穩定，是因為穩健法并使用RANSAC思想，并根據狄克松準則將粗差點剔除，尋找到最大局內點，最后利用保留下來的待擬合點(局內點)進行擬合，體現出該方法具有較強的穩健性。

4 結束語

在點云數據含有粗差的情況下，利用傳統的擬合方法得到的模型參數是不可靠的。針對這一情況，本文在自然薄板樣條函數的基礎上，提出了一種穩健高程異常改正方法。該方法的核心思想是結合RANSAC算法，并根據狄克松判別法剔除粗差點，從而達到穩健的效果。實驗結果表明，本文提出的方法可以在保證效率的前提下，有效地消除粗差點帶來的影響，提高高程異常改正精度，解決了傳統方法的不足。同時排除的粗差點還可以作為測圖誤差較大區域的標志，有助于車載激光點云數據質量把控，提高整體作圖精度；該方法不僅可以應用于點云數據的高程異常擬合，還可以應用于其他的包含粗差的曲面擬合和制作DEM。需要指出的是，由于自然薄板樣條函數擬合得到的曲面具有連續、光滑的特性，因此本方法在分區域擬合中也具有一定的優勢。