以簡正波解為初始場的拋物方程算法應用于深海聲傳播預報

肖 瑤，唐 駿，張 鵬，李整林

(1.中國科學院聲學研究所聲場聲信息國家重點實驗室，北京 100190；2.中國科學院大學，北京 100049；3.哈爾濱工程大學水聲技術重點實驗室，黑龍江 哈爾濱 150001；4.哈爾濱工程大學水聲工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

0 引 言

聲波在深海中的傳播規律是深海目標探測的重要基礎。要探索和總結深海聲傳播規律，前提是要對深海聲場進行準確預報。

目前廣泛應用的海洋聲場預報方法主要有簡正波方法[1]，耦合簡正波方法[2]，射線法[3]，拋物方程方法[4-5]，波數積分法[6]等。在深海中，環境參數不僅在深度上起伏變化，在水平方向上也會因內波、渦旋、鋒面、洋流等現象而發生變化。簡正波方法和波數積分法僅適用于水平方向環境參數不變的波導，故不適用于深海聲傳播預報。耦合簡正波方法、拋物方程方法和射線方法適用于深海中環境參數同時隨距離、深度變化的波導。這三種方法各有優缺點。耦合簡正波方法的優點在于具有清晰的物理意義，但缺點是耦合系數的計算較為復雜，且目前公開的耦合簡正波程序COUPLE存在模態階數的限制，對于深海聲傳播這樣具有上千階模態的問題難以保證計算精度。射線法具有清晰的物理意義，由一系列從聲源出發的聲線經過海底、海面反射后到達接收點，而接收點處的總聲場為各條聲線所貢獻的聲場之和；不過射線法的缺陷在于難以計算聲影區內的聲場。拋物方程方法的優點在于能夠便捷地處理與深度、距離有關的聲速、地形等環境，是一種隨距離逐步遞推的數值方法，其缺點是缺乏清晰的物理意義。綜上所述，對于深海聲傳播的預報，如何得到一種物理意義明確、同時又計算簡便的方法，仍是一個值得進一步探討的問題。

McDaniel在分析早期拋物方程法的誤差時曾采用拋物方程法對單階簡正波的聲場進行遞推[7]。Zhou等[8]使用此方法分析過淺海中內波影響下的各階簡正波耦合特點與能量變化。此外，徐傳秀等[9]實現了利用簡正波解為三維拋物方程方法構造初始距離處的聲場(初始場)。受此啟發，本文將此方法應用于深海聲傳播的預報。首先，利用簡正波解構造初始場，然后用拋物方程法對初始場進行遞推，最終得到深海波導全空間中的聲場。若僅采用初始距離處的某一階簡正波作為初始場，還可觀察到該階簡正波的能量在整個遠距離傳播過程中的變化情況。由此可以看出，此方法兼具物理意義明確和計算簡便的優點。

本文首先給出以簡正波解作為初始場的拋物方程法的理論公式，其次對該方法的數值結果進行驗證，然后將該方法應用于渦旋影響下的深海遠程聲傳播問題，并分析了渦旋對單階簡正波能量傳播的影響。

1 理 論

拋物方程法的基本原理是用變量分離方法將聲場分解為水平分量，而垂直分量控制方程采用算子分解的近似方程轉化為拋物方程，再用數值方法直接求解該拋物方程。

1.1 拋物方程Ram模型理論基礎

自Tappert提出拋物方程(Parabolic Equation,PE)標準以來，已經發展出多種PE方法。具有代表性的是COLLINS M D提出寬角PE模型，相應的數值計算軟件稱為Ram[4,10-11]。由于其使用分步Padé近似求解拋物方程，其計算速度和計算精度較以往的PE模型有了很大的提高，因而得到了廣泛應用。下面給出推導過程[11]。從波動方程出發：

其中，k0代表設定初始波數，選取解的形式為

對式(3)進行因式分解，得到廣義算子形式的表達式為

其中：

在n(r,z)與距離的關系足夠弱時，可以忽略換位子項，只選擇輸出波分量，得到

結合式(4)～(6)求解后得到

Δr表示步長，使用Padé近似后給出解的形式如下：

其中，αj,n和βj,n為Padé系數。利用COLLINS M D給出的Galerkin離散公式[11]，對將上述方程離散成矩陣形式，進而根據r處聲場解出r+△r處的聲場。

1.2 簡正波初始條件

Ram里面使用的是自初始條件[10-11]，雖然自初始條件是一種高效且較準確的產生初始場的方法，但是自初始條件產生的是全初始場，缺乏清晰的物理意義，下面構造簡正波初始場。在推導歸一化簡正波初始條件表達式之前，首先將式(1)簡化，將聲壓p(r,z)和包絡函數ψ(r,z)聯系起來：

使用簡正波求解聲壓表達為

krm和Ψm(z)分別表示第m階簡正波的水平波數和本征函數，采用漢克爾函數的漸近式為

自由空間中點源的聲壓為

由式(11)和式(12)求得歸一化簡正波場為

將式(13)代入式(9)中，即可得出ψ在r=Δr處的歸一化初始場。

2 模型驗證

圖1 水平不變環境下海洋環境示意圖Fig.1 Range-Independent Ocean Environments

圖2 水平不變情況下1號簡正波聲傳播損失Fig.2 The first normal mode transmission loss under rangeindependent environment

第1節中給出了理論推導，首先利用Kraken求出簡正波解來構造初始場，然后使用拋物方程法Ram對初始場進行遞推，最終得到深海波導全空間中的聲場。本節在水平環境不變的條件下驗證模型的可行性與準確性。海洋環境如圖1所示，海水密度為1 000 kg·m-3，水深為4 500 m。海底為半無限空間，聲速為1 650 m·s-1，密度為1 800 kg·m-3，海底衰減系數為0.175 dB·λ-1。聲源頻率為50 Hz，聲源深度為800 m，當接收器深度為800 m時，Kraken計算的第1號簡正波的傳播損失曲線和Ram計算結果一致，如圖2所示。圖3(a)和圖3(b)分別為Kraken和Ram計算1號簡正波的二維傳播損失彩圖。由此可知，使用簡正波初始條件結合Ram拋物模型計算各階簡正波的能量傳播情況是有效且準確的。

圖3 水平不變情況下1號簡正波聲傳播損失二維彩圖Fig.3 The first normal mode transmission loss under rangeindependent environment

3 中尺度渦影響下深海聲傳播問題

由第2節中的結果表明，以簡正波解作為初始場的拋物方程法，對于計算深海中某一階或某幾階簡正波的能量傳播過程是有效的。本節將該方法應用于渦旋等復雜海洋情況下的深海遠程聲傳播問題，并分析了渦旋對單階簡正波能量傳播的影響。

假設在圖1所示的海洋環境中，在150 km處存在一個半徑為150 km、影響深度為1 600 m的冷渦旋。由于渦旋的影響，聲速產生擾動，圖4為存在渦旋時的等聲速圖。設聲源頻率為50 Hz，聲源深度為1 000 m。

圖5為接收深度為1 000 m時，當存在渦旋時的傳播損失與沒有渦旋時的對比，圖6為此環境下第1號簡正波的傳播損失二維彩圖。由圖5和圖6可知，此種方法非常直觀地展示了各號簡正波能量傳播路徑的變化。這里由于渦旋對海洋環境的擾動，使第1號簡正波的能量傳播路徑逐漸向上移動了幾百米，能量耦合到了其他號簡正波上。能量傳播路徑的變化與相應位置的簡正波特征函數曲線對應，如圖7所示。圖8中選擇前10號簡正波作為初始場進行了計算，由結果可知，這10個簡正波的總和同樣受到了渦旋的強烈影響，能量傳播路徑整體向上偏移，傳播路徑彎曲度最大的地方發生在冷渦旋中心位置附近。經過分析可知，在深度為400～2 100 m的接收深度范圍內，前10號簡正波占了絕大部分能量，簡正波號數越大，所受到渦旋的影響越小，所以使用此方法可以更加深入具體地分析渦旋等復雜海洋環境中的能量傳播與耦合情況。

圖4 存在渦旋時的等聲速圖Fig.4 Numerically computed isospeed curves for a mesoscale eddy

圖5 無渦旋與有渦旋海洋環境下第1號簡正波傳播損失Fig.5 Comparison of 1 000 m transmission loss between the environments with eddy and without eddy

圖6 無渦旋與有渦旋情況下1號簡正波聲傳播損失二維彩圖對比Fig.6 The first normal mode transmission loss under the environment with eddy or without eddy

圖7 有渦旋時與沒有渦旋時1號簡正波對比Fig.7 Comparison of the first normal mode between the environments with eddy and without eddy

圖8 無渦旋與有渦旋情況下1～10號簡正波聲傳播損失二維彩圖對比Fig.8 The first ten normal mode transmission losses under the environments with and without eddy

4 結 論

本文首先推導以簡正波解作為拋物方程法的初始場的理論公式，然后通過數值仿真證明了該方法的有效性，最后再將此方法應用于分析渦旋等復雜海洋環境下的遠程聲傳播預報，并分析了渦旋對單階簡正波傳播的影響。結果表明，本方法可以應用于求解水平不變以及復雜的海洋變化環境下的聲傳播問題，不僅可以獲得比較高的準確度，而且有比較高的計算效率。更重要的是，相對于拋物方程法，本方法具有非常清晰的物理意義。同時，使用本方法計算某階或某幾階簡正波的能量傳播，再結合射線理論進行分析，對深入研究中尺度渦旋等復雜海洋環境下的聲傳播特點與能量變化關系具有重要作用。