薄膜型聲學超材料的管道消聲特性研究

劉繼賓，呂海峰，王普浩，姬艷露

(中北大學機械工程學院，山西 太原 030051)

0 引 言

噪聲嚴重影響人們的正常生活，干擾儀器和設備的正常運行，并且嚴重降低武器裝備的作戰性能和隱身性能。由于軍事裝備向著更加高速、隱身性能要求更加嚴格的方向發展，輕量級結構和緊湊空間噪聲防護的設計至關重要[1]。

近年來，聲學超材料尤其是薄膜型聲學超材料成為聲學研究的熱點。2008年，YANG等[2]制作了薄膜型聲學超材料，在圓形彈性薄膜上固定質量塊，并將薄膜固定在骨架上，在低頻范圍內實現有效隔聲，并且厚度低于毫米級，實現了輕質低頻。2010年，南加州大學NAIFY等[3]在薄膜上粘結一個圓環，提高了超材料的傳遞損失量，增加了帶隙寬度。2012年，香港科技大學梅軍等[4]在彈性薄膜上粘結兩塊半圓形金屬片，制作了暗聲學超材料，這樣的結構具有多重共振，可以實現低頻寬帶的幾乎百分百吸收。蘭州大學TIAN H等[5]對帶環形結構的薄膜聲學超材料進行了數學模型和分析方法的研究，通過改變環形質量塊的位置和數量來改變聲學超材料的性質。西安交通大學MA F Y等[6]對比了多種形狀的質量塊對于帶隙結構的影響，在頻率為100 Hz以內獲得了超低頻彎曲波帶隙，并提出了共振模態的群體理論。

總體來說，聲學超材料在在低頻隔聲、低頻吸聲、低頻減振領域的超越性能，為低頻減振降噪技術開辟了一條新的途徑。但聲學超材料主要是通過隔聲來進行噪聲控制，在實際管道消聲時需要有氣流通過，并且傳統的消聲器安裝體積較大，不適合緊湊型設計。

本文設計了一種薄膜型聲學超材料的管道消聲裝置，研究了影響聲學超材料性能的控制因素。通過理論計算了薄膜的特征頻率，通過仿真和實驗研究裝置的傳遞損失來反映聲學超材料在低頻范圍內的聲學性能，并進一步研究改變其結構參數對消聲性能的影響。

1 理論分析

薄膜型聲學超材料是由四周固定的彈性薄膜中心附著質量塊組成的，為研究薄膜型聲學超材料的消聲機理，將聲學超材料安裝在管道壁面，如圖1所示。

圖1 研究聲學超材料消聲性能的裝置Fig.1 The device for studying the noise elimination performace of acoustic metamaterial

1.1 薄膜振動方程

當薄膜受到外力時，就會發生變形，然后在張力T作用下產生振動[7]。

圖2 不同坐標系統中薄膜面元的示意圖Fig.2 The schematic diagrams of membrane surface element in (a)rectangular coordinates; (b)polar coordinates

假設一彈性薄膜半徑為a，面密度為σ，受到的張力為T，在管道入射聲波的作用下，彈性薄膜表面產生的聲壓為

其中，pa為聲壓振幅，ω為聲波的圓頻率，那么在dxdy的薄膜面元上受到的外力為

因此，作用在整個面元上的總力為

式中，η為薄膜上一點在垂直方向上的位移。

根據牛頓第二定律得到面元的運動方程：

將求解坐標由直角坐標轉換為極坐標，r為離圓心的徑向距離，θ為r與極軸的夾角。則x=rcosθ，y=rsinθ，由于薄膜為圓形對稱振動，則振動與θ無關。整理可得薄膜的強迫振動方程為

其中：

令解為

代入方程(5)可得對于徑向變量r的方程為

式中，k為聲波波數。

式(7)為二階非齊次常微分方程。該方程的解一般包括一個特解Q1和一個通解Q2。觀察式(7)，當取Q1為常數，可得特解為

因此，方程的一般解可表示為

式中，A為常數，J0為零階柱貝塞爾函數。

將式(9)代入式(6)，可得薄膜在聲壓作用下的位移表達式為

利用邊界條件，在r=a處有η(r=a)=0，代入式(10)便可定得

由此得

薄膜在聲壓的作用下，平均位移振幅為

其中，J2(ka)為二階柱貝塞爾函數。

可得薄膜特征頻率為

式中，μmn(μ10=2.4048,μ11=3.8317,μ12=5.1356,μ20=5.5201???)為柱貝塞爾函數的一系列根值。

1.2 薄膜振動的等效集中參數

當薄膜振動時，在同一時刻，不同徑向位置的位移是不均勻的，因此可以采用等效集中參數的方法，將薄膜的振動等效為圓心一點的振動。

假設把薄膜的振動等效為圓心處有一個等效的集中質量Me在等效集中彈簧Ke作用下振動，那么對于集中參數系統，振動的特征頻率可以表示為

當在圓心處附加一個質量塊Mm時，等效總質量變為Me+Mm，則得到系統的特征頻率

當在薄膜中心附加質量時，整個薄膜系統的特征頻率減小。

2 超材料聲學性能影響因素分析

2.1 有限元模型建立

采用COMSOL軟件聲固耦合模塊對圓形彈性薄膜進行消聲特性分析研究。圖3為將消聲裝置模型導入COMSOL后的網格劃分示意圖。模型為截面積50 mm×50 mm，長度200 mm的長方形管道,管道側壁上裝有圓形彈性薄膜，薄膜半徑為25 mm，厚度為0.2 mm，預應力為4 N·m-1，邊緣固定約束，薄膜的密度為1 300 kg·m-3，楊氏模量和泊松比分別為7×105Pa和0.49。與管道內空氣和外界大氣形成聲固耦合邊界。定義管道的一端為入口，另一端為出口，進行頻域分析，求得傳遞損失。

圖3 COMSOL有限元仿真模型Fig.3 The COMSOL finite element simulation model

2.2 仿真結果與分析

2.2.1 超材料的聲學性能

圖4 消聲裝置的傳遞損失曲線Fig.4 Transmission loss curve of silencer device

圖5 傳遞損失5個峰值頻率處的薄膜位移云圖Fig.5 Membrane displacement nephograms at five peak frequencies of transmission loss

圖4所示為該裝置的傳遞損失曲線圖。可以看出在0～700 Hz范圍內，該裝置在頻率為60、135、215、300、380 Hz處出現了5個傳遞損失峰值。圖5為各個峰值頻率處對應的薄膜位移云圖，各階振型均為中心對稱振動，最大振幅位于薄膜圓心處。由式(14)可得，圓形彈性薄膜的前五階共振頻率為60.05、137.84、216.09、294.40、372.81 Hz，由此可知，薄膜的共振頻率即為其消聲工作頻率，當入射聲波頻率與薄膜的共振頻率相同時，系統發生共振，聲能轉換為薄膜的動能，傳遞損失達到最大，此時消聲效果最好。薄膜的傳遞損失與其振幅有關，薄膜的振幅越大，傳遞損失值越高。薄膜在第一階共振頻率處振幅最大，傳遞損失峰值達到了最大，為54.53 dB。

2.2.2 預應力對超材料聲學性能的影響

薄膜的共振頻率與預應力以及面密度有關，面密度又與薄膜的厚度有關。當薄膜厚度為0.2 mm時，改變加載在薄膜上的預應力，觀察其對傳遞損失的影響，如圖6所示。圖6中預應力分別取4、20、37 N·m-1。

圖6 薄膜預應力對傳遞損失的影響Fig.6 The influence of membrane prestress on transmission loss

從圖6可以看出，當隨著預應力的增加，該裝置的傳遞損失峰值頻率整體向高頻偏移。由式(14)可知，薄膜的特征頻率，當預應力增加時，系統剛度增加，從而使得系統的共振頻率增加，傳遞損失峰值頻率隨之往高頻偏移。在預應力為4 N·m-1時，薄膜的第一階頻率處振幅最大，傳遞損失最高。

2.2.3 面密度對超材料聲學性能的影響

保持預應力為37 N·m-1不變，改變薄膜的厚度，從而改變薄膜的面密度，圖7為薄膜厚度分別取0.2、0.4、0.6 mm時的傳遞損失曲線。

由圖7可知，當薄膜厚度增加時，面密度增大，薄膜的特征頻率降低，系統的傳遞損失峰值頻率整體向低頻偏移。

2.2.4 附著質量塊對超材料聲學性能的影響

在厚度為0.2 mm，預應力為37 N·m-1的薄膜圓心處增加半徑為2 mm的質量塊，得到不同質量的質量塊下的傳遞損失曲線，如圖8所示。

圖7 薄膜厚度對傳遞損失的影響Fig.7 The influence of membrane thickness on transmission loss

圖8 附加不同質量塊的傳遞損失曲線Fig.8 The transmission loss curves for different attached mass blocks

從圖8中可以看出，隨著質量塊質量的增加，第一階頻率降低，對應的傳遞損失也隨之減小，由式(16)可知，等效質量的增加導致系統的共振頻率減小，所以第一階頻率向低頻偏移；第二階和第三階頻率基本無變化。薄膜在質量塊為400 mg時，第二階頻率處的振幅最大，傳遞損失達到了54 dB。從圖9薄膜剖面在各階峰值頻率處的位移云圖可以看出，在第一階頻率處，主要是薄膜中心的質量塊振動，因此，質量塊質量的改變對一階峰值頻率有較大的影響；在第二、三階頻率處，主要是質量塊周圍的薄膜振動，而質量塊靜止，因此質量的改變對于系統的消聲峰值頻率基本無影響。

圖9 傳遞損失峰值頻率處薄膜剖面位移云圖Fig.9 Membrane displacement nephograms at the peak frequencies of transmission loss

3 超材料聲學性能測試

3.1 傳遞損失測量原理

本實驗采用聲學超材料系統的傳遞損失來驗證消聲效果。傳遞損失測量選用雙負載法，其測量原理如圖10所示：聲源揚聲器發出的平面波A向下游傳播，遇到消聲器時有一部分B被反射回來，另一部分透過消聲器，這樣消聲器下游有前進波C和反射波D。利用阻抗管中的四支傳聲器測量得到的聲壓進行運算得到消聲裝置的傳遞損失值。

圖10 傳遞損失測試原理圖Fig.10 Schematic diagram of testing transmission loss

3.2 超材料制作與實驗平臺搭建

利用勻膠機(圖11(a))制作實驗所需薄膜，按照100 : 3的比例將硅膠與固化劑混合，利用勻膠機的離心力制備厚度分別為0.2、0.4、0.6 mm的薄膜，薄膜樣品如圖11(b)所示。

圖11 薄膜制作Fig.11 Membrane preparation (a)spin coater;(b)membrane sample

將制作的薄膜通過兩塊外徑為80 mm、內徑為50 mm的剛性板，夾持安裝在截面積50 mm×50 mm、長度為200 mm、側壁開有直徑為50 mm孔的長方形管道上，組成消聲裝置，并將消聲裝置放入實驗平臺中，研究其消聲性能。

測試裝置如圖12所示，傳遞損失測量系統主要由功率放大器、揚聲器、傳聲管道、AWA14425型ICP(IEPE)傳感器、NI USB-DAQ9234四通道IEPE數據采集卡、Lab-VIEW采集系統等組成。將采集到的信號進行處理得到消聲系統的傳遞損失曲線。測試中聲音信號采用正弦信號，頻率范圍為30～700 Hz，步長為10 Hz。

圖12 消聲性能測試實驗平臺Fig.12 Experimental platform for testing noise elimination performance

3.3 實驗結果

3.3.1 薄膜預應力對傳遞損失的影響

圖13為薄膜厚度為0.2 mm，預應力分別為4、20、37 N·m-1時，實驗測得的消聲裝置的傳遞損失曲線(實線)和仿真的傳遞損失曲線(虛線)。

圖13 薄膜預應力對傳遞損失的影響Fig.13 The effect of membrane prestress on transmission loss

從圖13中可以看出，實驗結果與仿真結果基本保持一致。隨著預應力的增加，系統剛度增加，消聲裝置的傳遞損失峰值頻率向高頻偏移，當預應力由4 N·m-1增加為37 N·m-1時，第一階頻率偏移了120 Hz。

3.3.2 薄膜厚度對傳遞損失的影響

圖14為保持預應力為37 N·m-1，分別取薄膜厚度為0.2、0.4、0.6 mm時的實驗結果。

薄膜厚度的增加導致面密度的增加，超材料的共振頻率隨之降低，往低頻偏移了110 Hz。

3.3.3 附著質量對傳遞損失的影響

圖14 薄膜厚度對傳遞損失的影響Fig.14 The effect of membrane thickness on transmission loss

圖15是不同質量塊對傳遞損失的影響結果圖。通過硅橡膠將質量塊固定在薄膜中心，薄膜保持預應力為37 N·m-1，厚度為0.2 mm，研究質量塊分別為100、200、400、600 mg時對裝置消聲性能的影響。

由圖15可知，增加質量塊，且隨著質量塊質量的增加,第一階頻率向低頻偏移，共偏移了50 Hz，并且實現了100 Hz及以下超低頻消聲，第二和第三階頻率基本無影響。

圖15 不同質量塊對傳遞損失的影響Fig.15 The effect of attached mass blocks on transmission loss

實驗結果與仿真存在誤差的主要原因是由于薄膜樣品制作時的工藝誤差以及實驗環境對實驗結果的影響。

4 結 論

本文首先從理論分析了薄膜的振動特性，接著通過仿真和實驗研究了薄膜型聲學超材料的聲學性能，得出結論如下：

(1)薄膜在低頻范圍內具有良好的消聲性能，其消聲工作頻率為薄膜的共振頻率，且薄膜振幅對于傳遞損失有重要影響，薄膜的振幅越大，傳遞損失值越高。

(2)通過增加施加在薄膜上的預應力可以使消聲峰值頻率往高頻偏移，當薄膜預應力由4 N·m-1增加為37 N·m-1時，頻率偏移了120 Hz。

(3)增加薄膜厚度可以使頻率往低頻偏移， 當薄膜厚度由0.2 mm變為0.6 mm時，頻率共偏移了110 Hz。

(4)在薄膜上添加質量塊實現了100 Hz及以下超低頻范圍內的消聲，并且隨著質量塊質量的增加，第一階峰值頻率往低頻偏移，但第二三階頻率無影響。

本文的研究將為主動聲學超材料以及緊湊型管道消聲器的設計提供依據。