基于夾層板理論的圓形孔蜂窩結構隔聲量研究

李志寬，吳錦武，田文昊，李 威

(南昌航空大學飛行器工程學院，江西 南昌 330063)

0 引 言

蜂窩夾層結構主要由上下面板和蜂窩層芯組成，由于該類結構具有高強度比、高剛度比和質輕等優點，廣泛應用于飛行器、船舶、高速列車[1-3]等交通工具。對蜂窩結構的研究，主要集中在芯層為正六邊形結構的蜂窩，而對圓形孔蜂窩結構研究甚少。圓形蜂窩結構有芯材耗量少、強度比高、承載力更高等特點，同時可避免多邊形孔角部的應力集中[4-5]。

對蜂窩夾層板結構的隔聲性能研究，需先分析夾層板結構振動特性，由于蜂窩夾層結構層芯在受力時的離散非均勻性[6]，通常將結構等效為均質正交各向異性板，尤其以三明治夾層板理論精度最高[7]。LIN等[8]基于應變能法得到了圓形孔蜂窩層芯面內彈性參數，但尚未對蜂窩層芯的面內等效剪切彈性參數給出具體公式。BACKSTR?M等[9]基于四階梁理論評估了三明治復合梁的振動，并利用高階三明治梁模型得到了基于頻率的等效伯努利-歐拉模型梁的彎曲剛度與剪切模量。梁森等[10]利用有限元數值模擬建立了密排圓形孔蜂窩層芯結構面內等效彈性參數的模擬模型，該模型獲得的面內等效彈性參數受限于試驗或仿真的計算點。WANG等[11]建立了無限大蜂窩夾層結構板的振動控制方程，并且計算了無限大夾層板的隔聲量，但建模時并未考慮結構板邊界條件的影響。任樹偉等[12]基于Reissner夾層板理論建立了正六邊蜂窩結構板在四邊簡支條件下的聲振耦合模型，并結合流固耦合條件求解了結構的傳聲損失。

綜上所述，為了進一步深入研究圓形孔蜂窩夾層結構的隔聲性能，本文利用能量密度法，根據三明治理論計算了夾層板層芯的等效剪切模量，基于Reissner理論假設建立了蜂窩板在四邊簡支邊界條件下的振動耦合方程，根據流固耦合邊界條件，通過聲振耦合方程求解了結構的隔聲量。應用COMSOL多場耦合軟件對理論計算模型進行了驗證。并討論了蜂窩結構材料和參數對其傳聲損失的影響。

1 理論模型建立

1.1 結構參數等效模型

蜂窩夾層板結構主要由上下面板和蜂窩芯構成，如圖1所示。根據Reissner夾層板理論假設，假定上下面板僅承受面內軸力，蜂窩芯承受橫向剪力。并且考慮到芯層較軟，忽略層芯中平行于x-y平面的應力分量，即在芯層中，σx=σy=τxy=0。同時假定層芯和表層中εz=0，σz=0。圓形孔蜂窩結構上下面板長為a，寬為b，厚度為d，蜂窩芯壁厚為t，芯層高度為h，圓形胞元直徑為R。圖1為圓形孔蜂窩結構示意圖[13]。

圖1 圓形孔蜂窩結構示意圖[13]Fig.1 Sketch diagram of circular honeycomb structure[13]

根據Reissner夾層板理論假設，蜂窩夾層板的彎曲性能主要由上下面板決定，而剪切性能主要由蜂窩芯層決定。因此，對圓形孔蜂窩結構層芯進行三明治夾層板理論等效分析時，僅計算其等效剪切模量。三明治等效理論是將層芯和上下面板分開考慮，忽略上下面板的橫向剪切變形，僅考慮蜂窩層芯具有剪切變形能力和相當的面內剛度，將層芯等效為與原尺寸大小相同的均勻等質正交異性層，如圖2所示，其中t為蜂窩芯壁厚，R為圓形胞元直徑，h為芯層厚度。當蜂窩芯在xy平面內作用剪切力Qxz時，則在蜂窩壁格上產生剪應力τc，蜂窩芯代表單元體上受到剪流作用，壁格上所受的剪力為

根據材料力學，壁格上單位體積變形能為

其中，G為材料剪切模量，代表單元應變能為

圖2 剪應力在蜂窩壁格上的傳遞情況Fig.2 Distribution and transfer of shear stress on the honeycomb lattice

若等效均質單元體所受剪應力為τxz，則有

等效均質體單元體變形能為

其中，Gcxz為xz面內的等效剪切模量。如圖2所示，結構在x軸上的剪力Qxz為

根據應變能等效原理，即Uc=U，可解得xz面內的等效剪切模量為

同理可得yz面內的等效剪切模量，與xz面內的等效剪切模量相同，即有

引入廣義位移φx、φy，分別表示夾層板變形前垂直于中面的直線段在變形后的轉角，w表示中面撓度。建立以廣義位移φx、φy和w表示的平衡方程[13]：

其中：D為結構的抗彎剛度，fν分別為蜂窩上下面板材料彈性模量和泊松比；C為蜂窩層芯剪切剛度。x方向和y方向結構的等效剪切模量相同，即為夾層板單位面積的質量，有為面板的密度，ρe為層芯等效密度，對于圓形孔蜂窩結構為芯層材料密度。引入位移函數?和f，廣義位移可表示為

將式(12)～(14)代入式(9)～(11)，可得結構板振動控制方程

對于面板x方向長度為a，y方向長度為b的蜂窩結構，其四邊簡支的邊界條件需滿足

最后可解得蜂窩板結構的振動固有頻率為

1.2 聲振耦合理論模型

對于上面板的入射聲壓可表示為

式中，p0為入射波聲壓，ω為聲波圓頻率，kx、ky、kz分別為波數在坐標軸上的分量，并且kx=k0sin?cosθ，ky=k0sin?sinθ，kz=k0cos?，其中k0=ω/c為空氣中聲波波數，c為聲波在空氣中的傳播速度。?為仰角，即入射波方向與z軸的夾角。θ為方位角，即入射波在xy平面上的投影與x軸的夾角。對入射波進行傅里葉變換，即有

反射聲壓用簡支模態級數可表示為

透射聲壓用簡支模態級數可表示為

式(19)、(20)中，βmn為第mn階反射聲壓的幅值，εmn為第mn階透射聲壓的幅值。在聲波激勵的作用下，蜂窩板振動控制方程可表示為

這里取z=0的坐標面為夾層板的中面，結合流固耦合條件有

式中，ρ0為空氣密度。定義結構傳聲損失STL為

式中，iW、Wt分別為入射聲功率與透射聲功率，總聲功率W表示為

式中，Re代表取復數實部，A為波陣面截面積，*代表復數共軛標志。v=p/(ρ0c)為當地流體質點速度。將聲功率的比值表示為雙級數中各項系數模的平方和之比，可得結構板傳聲損失為[12]

其中，Imn和εmn分別為入射聲壓、透射聲壓第mn階的幅值。

2 數值仿真分析

COMSOL軟件具有高效的計算性能和獨特的全耦合分析能力，其聲學模塊的數值仿真分析也具有高度的精確性和可靠性[14]。為驗證理論模型的正確性，利用COMSOL軟件對圓形孔蜂窩結構板進行建模，計算其在簡支邊界條件下的隔聲量。模型尺寸參數如表1所示。

在對蜂窩夾層結構建模時，首先，有限元模型最大單元尺寸小于最高計算頻率對應波長的1/6。其次，驗證模型中最高計算頻率選取為6 kHz。另外對蜂窩上下面板及芯層單元都設為殼單元。COMSOL軟件分析時，物理場選取為三維空間里頻域下的聲-殼相互作用。有限元仿真模型如圖3所示。

表1 模型尺寸參數Table 1 Dimension parameters of the model

圖3 有限元仿真模型圖Fig.3 Diagram of the finite element simulation model

針對四邊簡支的蜂窩夾層結構，利用COMSOL軟件仿真數值結果與由式(16)計算得到的各階固有頻率理論解的對比情況如表2所示。

表2 固有頻率的理論解與數值解對比Table 2 The theoretical solution versus the numerical solution of inherent frequency

由表2可知，蜂窩夾層結構的固有頻率仿真結果與理論結果基本一致，除第一階固有頻率誤差為6.68%外，其余誤差基本在2%以下。由此可認為理論模型是準確的。

為了驗證理論模型對蜂窩夾層結構傳聲損失計算的影響，以四邊簡支蜂窩夾層結構為例，對于式(25)中的傳聲損失計算，在此取m=n=100時，能保證結算結果的收斂與準確[12]。利用COMSOL軟件仿真數值結果與式(25)計算得到的蜂窩夾層結構的傳聲損失的對比情況如圖4所示。

由圖4可知，蜂窩夾層結構的傳聲損失的仿真結果與計算結果基本一致。在一階傳聲損失波谷對應的頻率與蜂窩夾層結構第一階固有頻率一一對應，這是因為在固有頻率附近結構產生共振，聲輻射能量增大，傳聲損失相應減小。圖4結果也說明利用本文的等效模型來求解蜂窩夾層結構的傳聲損失是可行的。

圖4 隔聲量理論計算與仿真結果對比Fig.4 The theoretical calculation versus the numerical simulation of sound transmission loss

3 結構參數對隔聲量影響

假設四邊簡支條件下的圓形蜂窩夾層結構參數如表3所示。

表3 四邊簡支圓形蜂窩夾層結構參數Table 3 Structural parameters of circular honeycomb sandwich with simply supported four sides

3.1 芯層胞元半徑

蜂窩芯胞元半徑對傳聲損失的影響主要來自于其對蜂窩夾層板結構的等效面密度和剪切剛度的影響。為了討論蜂窩芯胞元半徑對蜂窩夾層結構傳聲損失的影響，在其他蜂窩夾層結構參數保持不變的情況下，蜂窩芯胞元半徑分別取4、8 mm和15 mm，利用式(25)得到三種蜂窩芯胞元半徑對結構傳聲損失的影響，如圖5所示。

由圖5可知，隨著蜂窩夾層結構的層芯胞元半徑的增大，蜂窩夾層結構的隔聲量下降，但隔聲波谷向高頻偏移。這主要是由于胞元半徑的增大導致蜂窩夾層結構的等效面密度減小，剪切剛度減小，使得蜂窩夾層結構的固有頻率增大。頻率越低，蜂窩夾層結構的層芯胞元半徑對結構的傳聲損失影響越小。高頻內蜂窩夾層結構的層芯胞元半徑對結構的傳聲損失影響較大。因此，通過減小層芯胞元半徑可在一定程度提高結構的隔聲性能，但過小的層芯半徑會明顯增加結構質量，從而增加結構材料成本。

圖5 蜂窩層芯胞元半徑對結構傳聲損失隨頻率變化的影響Fig.5 The effect of the core radius of circular honeycombon the change of STL with frequency

3.2 蜂窩層芯壁厚

蜂窩層芯壁厚對蜂窩層芯的剪切剛度和等效密度有一定影響，從而影響蜂窩結構的傳聲損失。保持蜂窩夾層結構的其他參數不變，分別選取0.05、0.3、1 mm的三種壁厚，分析每種情況下蜂窩夾層結構的傳聲損失變化，具體如圖6所示。

圖6 蜂窩層芯壁厚對結構傳聲損失隨頻率變化的影響Fig.6 The effect of the wall thickness of circular honeycomb on the change of STL with frequency

由圖6可知，隨著蜂窩層芯壁厚的增大，蜂窩夾層板的傳聲損失增大，對應一階隔聲波谷向低頻移動，高階隔聲波谷也向低頻移動，這是由于壁厚的增大，結構的剪切剛度增大，結構板固有頻率向低頻偏移，蜂窩層芯的等效密度增大，隔聲量增大。層芯壁厚為1 mm的結構板隔聲量比壁厚0.05 mm的結構板隔聲量平均大15 dB左右。結構板的模態密度都隨頻率的增大而增大，但在低頻段，結構層芯壁厚對隔聲量的影響不明顯。上述結果表明，層芯壁厚的改變明顯影響結構板的隔聲性能[13]。

3.3 結構材料

不同的材料，密度、彈性模量、泊松比不同，導致結構板的隔聲效果也不同。分別研究鋁、鐵、銅三種材料對夾層板的隔聲性能影響。三種材料的結構參數和層芯剪切剛度，以及第一階固有頻率如表4所示。蜂窩夾層結構參數同表3中一致。

表4 不同材料夾層板物理參數及對應剪切剛度與一階固有頻率Table 4 Physical parameters and corresponding shear stiffness and first-order natural frequencies of sandwich plates with different materials

利用式(25)可計算得到蜂窩夾層板結構的傳聲損失隨頻率變化曲線如圖7所示。

圖7 不同結構材料對結構隔聲量隨頻率變化的影響Fig.7 The effect of the structure material of circular honeycomb on the change of STL with frequency

由圖7可知，蜂窩夾層結構的材料不同，在相同條件下的傳聲損失也不盡相同，其中銅材板的隔聲效果最好。在小于510 Hz低頻范圍內，鐵材板的隔聲效果最好。對尺寸參數相同的鋁材與鐵材結構，鐵材結構板整體隔聲性能明顯優于鋁材結構板。不同材料、相同尺寸的結構板，銅材和鐵材結構板的平均隔聲量比鋁材板高10 dB左右，這主要是由于鋁的密度小、彈性模量小，導致結構板的面密度小、整體剛度低、隔聲效果相對較差。

4 結 論

本文通過計算等效剪切模量求解了圓形孔蜂窩板結構的傳聲損失，應用COMSOL有限元軟件驗證了理論模型，并分析了影響圓形孔蜂窩結構傳聲損失的參數。

(1)利用本文等效參數計算圓形蜂窩夾層結構的傳聲損失是可行的。

(2)對于四邊簡支的圓形孔蜂窩夾層板結構而言，隨著圓形孔蜂窩層芯胞元半徑的增大，傳聲損失下降，但蜂窩層芯胞元半徑對低頻段隔聲性能影響并不明顯；同時隨著蜂窩芯層壁厚增大，蜂窩板的傳聲損失也隨之提高；蜂窩結構材料不同，其傳聲損失也有所差異。