高中數學選擇題精選

■河南省淮陽中學 朱華偉

1.已知集合{b}={x∈R|ax2-4x+1=0}，a，b∈R，則a+b=( )。

分析：由集合{b}={x∈R|ax2-4x+1=0}，a，b∈R，得a=0，或Δ=16-4a=0。由此進行分類討論，即可求出a+b 的值。

解：因為集合{b}為單元素集，所以集合{x∈R|ax2-4x+1=0}也只有一個元素b，所以方程ax2-4x+1=0只有一個解。

②當a≠0 時，則Δ=16-4a=0，解得a=4，方程只有一個解x=，滿足題意，此時a+b=4+。

點評：本題主要考查集合中元素的性質，屬于基礎題。解題時要認真審題，仔細解答，注意不要遺漏a=0的情況。

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

分析：復數的分子、分母同乘分母的共軛復數，虛數單位i的冪運算性質，化簡復數到最簡形式為a+bi(a，b∈R)的形式，分析實部和虛部的大小關系即可。

解：z =，此復數的實部為m-1，虛部為m+1，虛部大于實部，故復數的對應點不可能位于第四象限。

點評：本題主要考查復數的實部和虛部的定義，兩個復數代數形式的乘除法，虛數單位i的冪運算性質。

圖1

3.某流程圖如圖1 所示，現輸入如下四個函數，則可以輸出的函數是( )。

A.f(x)=x2

分析：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據流程圖所示的順序，可知該程序的作用是輸出滿足條件：①f(x)+f(-x)=0，即函數f(x)為奇函數；②函數f(x)存在零點，即函數圖像與x 軸有交點。逐一分析四個答案中給出的函數的性質，不難得到正確答案。

解：因為函數f(x)=x2和f(x)=不是奇函數，故不滿足條件①；函數f(x)=的圖像與x 軸沒有交點，故不滿足條件②；函數f(x)=既是奇函數，而且函數圖像與x 也有交點，滿足條件①②。

點評：根據流程圖(或偽代碼)寫出程序的運行結果，是算法這一模塊最重要的題型，其處理方法是：①分析流程圖(或偽代碼)，從流程圖(或偽代碼)中，既要分析出計算的類型，又要分析出參與計算的數據(如果參與運算的數據比較多，也可使用表格對數據進行分析管理)；②建立數學模型，根據第一步分析的結果，選擇恰當的數學模型；③解模。

A.y＜x＜z B.z＜y＜x

C.y＜z＜x D.x＜y＜z

分析：利用對數函數和指數函數的單調性即可得出。

解：因為a＞b＞0，a+b=1，所以＞1，所以y=，a＞z=即y＞z。

所以x＞y。

所以z＜y＜x。

點評：本題主要考查對數函數和指數函數的單調性，屬于難題。

A.-192 B.192

C.-6 D.6

分析：由(sin x+cos x)dx ，可求得a 的值，再利用二項式定理的通項公式結合待定系數法即可求得含x2項的系數。

解：a=(sin x+cos x)dx=(-cos x+sin x)=2。

令3-r=2，得r=1，故展開式中含x2項的系數是(-1)1=-192。

點評：本小題設計巧妙，綜合考查定積分和二項式定理，是一道以小見大的中檔題，不可小視。

6.已知函數f(x)=ex-1-aln x+(a-1)x+a(a＞0)的值域與函數f(f(x))的值域相同，則a 的取值范圍為( )。

分析：求出f(x)的單調區間和值域，得出f(x)的最大值與單調區間端點的關系，從而得出a 的范圍。

解：因為f(x)的定義域為(0，+∞)，所以f'(x)=ex-1-+a-1，f″(x)=ex-1+，故f'(x)在(0，+∞)上遞增。

又f'(1)=e0-a+a-1=0，當x＞1時，f'(x)＞0；當0＜x＜1時，f'(x)＜0。

所以f(x)在(0，1)上遞減，在(1，+∞)上遞增。所以f(x)min=f(1)=2a。

對閥門材質的選擇則應滿足緊急切斷閥的防火設計要求，密封面采用硬密封，耐火設計應符合API 6FA，主要部件材質選型見表1所列。

所以f(x)的值域為[2a，+∞)。

要使y=f(f(x))與y=f(x)的值域相同，只需2a≤1，又a＞0，所以0＜a≤。

點評：本題主要考查利用導數研究函數的單調性、極值與最值、等價轉化方法、方程與不等式的解法，考查同學們的推理能力與計算能力，屬于難題。

7.已知函數y=f(x-1)的圖像關于點(1，0)對稱，且當x∈(-∞，0)時，f(x)+xf'(x)＜0成立(其中f'(x)是f(x)的導函數)，若a=(30.3)·f(30.3)，b=(logπ3)·，則a，b，c 的大小關系是( )。

A.a＞b＞c B.c＞b＞a

C.c＞a＞b D.a＞c＞b

分析：由“當x∈(-∞，0)時，不等式f(x)+xf'(x)＜0 成立”，知xf(x)是減函數，想要得到a，b，c 的大小關系，只要比較30.3，logπ3，的大小即可。

解：因 為 當x ∈(- ∞，0)時，不 等 式f(x)+xf'(x)＜0成立，即(xf(x))'＜0，所以xf(x)在(-∞，0)上是減函數。

又因為函數y=f(x-1)的圖像關于點(1，0)對稱，所以函數y=f(x)的圖像關于點(0，0)對稱，所以函數y=f(x)是定義在R上的奇函數。

所以xf(x)是定義在R 上的偶函數。

所以xf(x)在(0，+∞)上是增函數。

又因為30.3＞1＞logπ3＞0＞=-2，2=-＞30.3＞1＞logπ3＞0，所以＞(logπ3)·f (logπ3)，即＞30.3 ·f(30.3)＞(logπ 3)·f(logπ3)，即c＞a＞b。

點評：本題主要考查函數的奇偶性及函數的單調性，同時考查同學們的分析問題能力和運算求解能力，屬于中檔題。

8.數列{an}滿足：a1=，且a1a2+a2a3+…+anan+1=na1an+1對任何的正整數n 都成立，則的值為( )。

A.5 032 B.5 044

C.5 048 D.5 050

分 析：a1a2+a2a3+ … +anan+1=na1an+1，a1a2+a2a3+…+anan+1+an+1an+2=(n+1)a1an+2，兩式相減得-an+1an+2=na1an+1-(n+1)a1an+2，即同理，得=4，整理得+是等差數列。由此能求出的值。

解：a1a2+a2a3+…+anan+1=na1an+1，a1a2+a2a3+…+anan+1+an+1an+2=(n+1)·a1an+2，兩式相減得-an+1an+2=na1an+1-(n+1)a1an+2，所以

點評：本題主要考查數列的綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化。

A.2 B.3 C.5 D.8

分析：畫出函數f(x)的圖像，利用一元二次不等式的解法可得解集，再利用數形結合即可得出。

解：畫出函數f(x)的圖像，如圖2所示。

圖2

若[f(x)]2+af(x)＜0。

當a＞0 時，-a＜f(x)＜0，因為關于x 的不等式[f(x)]2+af(x)＜0 恰有1個整數解，因此其整數解為3。又f(3)=-9+6=-3，所以-a＜-3＜0，-a≥f(4)=-8，則8≥a＞3。a≤0不必考慮。

點評：本題主要考查一元二次不等式的解法、二次函數的圖像，考查分類討論思想、數形結合思想與計算能力，屬于中檔題。

10.已知△ABC 中，內角A，B，C 所對的邊分別為a，b，c，若，則sin的取值范圍是( )。

分析：將已知的等式變形，能夠得到A

解：因為，由正弦定理得到，所以sin Ccos A =sin(A+C)(1+cos C)，展開整理得cos C·(sin A+sin B)=0。

因為sin A+sin B ≠0，所以cos C=0，所以。所以A+B=，所以0＜A＜，所以，所 以 -＜≤1。

點評：本題主要考查正弦定理的運用及三角函數值域的求法，關鍵是由已知求出A的范圍。

11.已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)（其中A＞0，|φ|＜）的圖像如圖3 所示，為了得到g(x)=的圖像，只需將f(x)的圖像( )。

圖3

分析：根據圖像求出φ 的值，再由“左加右減”法則判斷出函數圖像平移的方向和單位長度。

解：由函數圖像可得A=1，周期T=4×

點評：本題主要考查三角函數的函數圖像，根據函數圖像求解析式，函數y =Asin(ωx+φ)的圖像變換規律，注意應用正弦函數圖像的關鍵點進行求解，考查了讀圖能力和圖像變換法則，屬于中檔題。

12.△ABC 的內角A，B，C 的對邊分別為a，b，c，若2bcos B=acos C+ccos A，b=2，則△ABC 面積的最大值是( )。

分析：由正弦定理及兩角和的正弦函數公式化簡已知等式可得2sin Bcos B=sin B，結合sin B≠0，可求cos B 的值，進而可求B的值。由余弦定理及基本不等式可得ac≤4，進而利用三角形面積公式即可求得△ABC面積的最大值。

解：(1)因為2bcos B=acos C+ccos A，由正弦定理得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin B。

由余弦定理可得ac=a2+c2-4。

由基本不等式可得ac=a2+c2-4≥2ac-4，即ac≤4，當且僅當a=c 時，“=”成立。

點評：本題主要考查正弦定理、余弦定理、基本不等式、三角形面積公式在解三角形中的應用，考查轉化思想，屬于中檔題。

13.某柱體的三視圖如圖4 所示(單位：cm)，則該柱體的側面積為( )。

圖4

A.40 cm2B.56 cm2

C.60 cm2D.76 cm2

分析：由三視圖還原原幾何體，該幾何體為直四棱柱，底面四邊形ABCD 為直角梯形，且AB=AD=AE=4，CD=1，則BC=5，則該柱體的側面積可求。

解：由三視圖還原原幾何體，如圖5，該幾何體為直四棱柱，底面四邊形ABCD 為直角梯形，且AB=AD=AE=4，CD=1，則BC=5。

圖5

所以該柱體的側面積為(4+4+1+5)×4=56(cm2)。

點評：本題主要考查由三視圖求面積、體積，關鍵是由三視圖還原原幾何體，屬于中檔題。

14.已知四棱錐P-ABCD 中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD 是邊長為2 的正方形，PA=，E 為PC 的中點，則異面直線BE與PD 所成角的余弦值為()。

分析：以A 為原點，AB 為x 軸，AD 為y軸，AP 為z 軸，建立空間直角坐標系，利用向量法可求出異面直線BE 與PD 所成角的余弦值。

解：在四棱錐P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD，底面ABCD 是邊長為2 的正方形，所以以A 為原點，AB 為x 軸，AD 為y 軸，AP 為z 軸，建立如圖6 所示的空間直角坐標系。因為PA=，E 為PC 的中點，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，D(0，2，0)，所 以(0，2，-)。

圖6

點評：本題主要考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想，屬于基礎題。

15.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面α與棱AB，AC，A1C1，A1B1分別交于點E，F，G，H，且直線AA1∥平面α。有下列三個命題：①四邊形EFGH 是平行四邊形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE。其中，正確的命題是( )。

A.①② B.②③

C.①③ D.①②③

分析：在①中，由AA1EHGF，知四邊形EFGH 是平行四邊形；在②中，平面α與平面BCC1B1平行或相交；在③中，EH ⊥平面BCEF，從而平面α⊥平面BCFE。

解：如圖7，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面α 與棱AB，AC，A1C1，A1B1分別交于點E，F，G，H，且直線AA1∥平面α，所以AA1EHGF，所以四邊形EFGH 是平行四邊形，故①正確。

圖7

因為EF 與BC 不一定平行，所以平面α與平面BCC1B1平行或相交，故②錯誤。

因 為AA1EHGF，且AA1⊥平 面BCEF，所以EH ⊥平面BCEF。因為EH?平面α，所以平面α⊥平面BCFE，故③正確。

點評：本題主要考查命題真假的判斷，解題時要認真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關系的合理運用，屬于中檔題。

16.如圖8，矩形ABCD 中，AB=2AD，E 為邊AB 的中點，將△ADE 沿直線DE 翻轉成△A1DE(A1?平面ABCD)，若M，O分別為線段A1C，DE 的中點，則在△ADE翻轉過程中，下列說法錯誤的是( )。

圖8

A.與平面A1DE 垂直的直線必與直線BM 垂直

B.異面直線BM 與A1E 所成角是定值

C.一定存在某個位置，使DE⊥MO

D.三棱錐A1-ADE 外接球的半徑與棱AD 的長之比為定值

分析：對于A，延長CB，DE 交于H，連接A1H，運用中位線定理和線面平行的判定定理，可得BM ∥平面A1DE，即可判斷A；對于B，運用平行線的性質和解三角形的余弦定理，以及異面直線所成角的定義，即可判斷B；對于C，連接A1O，運用線面垂直的判定定理和性質定理，可得AC與DE 垂直，即可判斷C；對于D，由直角三角形的性質，可得三棱錐A1-ADE 外接球球心為O，即可判斷D。

解：對于A，如圖9，延長CB，DE 交于H，連接A1H，由E 為AB 的中點。可得B為CH 的中點，又M 為A1C 的中點，可得BM∥A1H，又BM ?平面A1DE，A1H ?平面A1DE，則BM ∥平面A1DE，故與平面A1DE 垂直的直線必與直線BM 垂直，則A正確。

圖9

對于B，設AB=2AD=2a，過E 作EG∥BM，G∈平面A1DC，則∠A1EG=∠EA1H。在△EA1H 中，EA1=a，EH =DE=A1H ==，則∠EA1H 為定值，即∠A1EG 為定值，則B正確。

對于C，連接A1O，可得DE⊥A1O，若DE⊥MO，即有DE⊥平面A1MO，即有DE⊥A1C。由A1C 在平面ABCD 中的射影為AC，可得AC 與DE 垂直，但AC 與DE 不垂直，則不存在某個位置，使DE⊥MO，則C 不正確。

對于D，連接OA，由直角三角形斜邊的中線長為斜邊的一半，可得三棱錐A1-ADE外接球的球心為O，半徑為a，即有三棱錐A1-ADE 外接球的半徑與棱AD 的長之比為定值，則D 正確。

點評：本題主要考查命題的真假判斷與應用，考查線面、面面平行與垂直的判定和性質定理，考查同學們的空間想象能力和推理能力，屬于中檔題。

分析：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB

解：設A(x1，y1)，B(x2，y2)。

所以y1+y2=

因為△PFB 的面積是△PFM 的面積的2倍，所以y2=-2yM=-(y1+y2)，可得2y2=-y1，所以4a2=9c2，則橢圓的離心率

點評：本題主要考查橢圓的標準方程及其性質、直線與圓錐曲線的位置關系、一元二次方程的根與系數的關系、三角形面積計算公式等基礎知識，考查同學們的推理能力與計算能力，屬于難題。

18.已知拋物線y2=8x 的準線與雙曲線=1(a＞0，b＞0)相交于A，B 兩點，雙曲線的一條漸近線方程是，F 是拋物線的焦點，且△FAB 是等邊三角形，則該雙曲線的標準方程是( )。

分析：由圓錐曲線的對稱性和等邊三角形的性質可求得A，B 的坐標分別為，將點的坐標代入雙曲線方程，得到a，b 的一個方程，再由漸近線方程，又得到a，b 的一個方程，聯立即可求得a，b 的值，從而得到雙曲線的標準方程。

解：由題意可得拋物線y2=8x 的準線為x=-2，焦點坐標是(2，0)。又拋物線y2=8x 的準線與雙曲線=1相交于A，B兩點，△FAB 是等邊三角形，則有A，B 兩點關于x 軸對稱，橫坐標是-2，縱坐標是4tan 30°與-4tan 30°，將坐標代入雙曲線方程得

點評：本題主要考查圓錐曲線的綜合，解題的關鍵是根據兩個圓錐曲線本身的對稱性及拋物線y2=8x 的性質求出A，B 的坐標，得到關于參數a，b 的方程，做題時一定要注意從條件中挖掘出有價值的線索來。