海底管道整體屈曲攝動解與Galerkin解的對比分析

吉婷婷，李成鳳，劉 潤

(天津大學 水利工程仿真與安全國家重點實驗室，天津 300350)

*通訊作者：劉潤(1974-)，女，河北省人，教授，博導，主要從事結構物與土的相互作用研究。E-mail: liurun@tju.edu.cn。

20世紀70年代起，管道運輸已經成為世界上大多數國家運輸油氣的主要方式之一[1-2]。隨著人口增加，能源消耗與日俱增，淺海油氣的開發已經無法滿足人們日常生活工作的需求，因此海洋油氣開發亟待走向深海[3]。由于管道內承載著大量油氣，而且考慮到環境的制約，海底管道維修困難，一旦發生屈曲甚至破壞，就會導致油氣泄漏，不僅造成資源的嚴重浪費，而且會對海洋生物及人類的安全構成威脅。因此研究高溫高壓下海底管道的水平向整體屈曲，有著重要的理論意義和工程價值。

Hobbs[4]和Taylor[5]推導的海底管道發生水平向整體屈曲的理論解被認為是經典的理論解，因此被廣泛應用于實際的管道設計中。但該理論解均將土體抗力簡化為庫倫摩擦或線彈性行為，即土體抗力為固定值，因此管道屈曲控制方程均為線性微分方程。而在實際工程中，管道受到的土體抗力是動態變化的，因此上述理論解在一定程度上不能真實反映管道發生水平向整體屈曲時的形態和特點。

本文基于非線性土體抗力模型，運用攝動法和Galerkin法求解理想管道與具有初始缺陷管道水平向整體屈曲，并分析了兩種方法的差異。

1 管道整體屈曲的攝動解

1.1 理想管道水平向整體屈曲的攝動解

高溫高壓作用下，理想管道可能發生多階屈曲模態的水平向整體屈曲，取管道屈曲的微元段受力分析，得到理想管道水平向整體屈曲的控制方程[6]為

(1)

式中：E為楊氏模量；EI為管道的彎曲剛度；w為管道水平向屈曲位移；假設非線性土抗力F的函數表達式為

F=kw-ew2+hw3

(2)

將式(3)代入控制方程(1)，系數ε、ε2……依次設為零，得到關于w1、w2、……的一系列有序的線性微分方程。通過求解各級線性微分方程，得到理想管道水平向整體屈曲w的表達式

w=A1cos(ωx)ε+(A2+A3cos(2ωx))ε2+A4cos(3ωx)ε3

(3)

式中：

(4)

A1由ε3得到的第三個線性微分方程求解

(5)

抑制上式(5)中的長期項，并代入A2和A3的值，得到關于A1(X)的二階非線性微分方程

(6)

1.2 具有初始缺陷管道水平向整體屈曲的攝動解

引進Wang[7]研究中所述的初始缺陷表達式進行分析。

(7)

式中：l01為管道初始缺陷的波長，m；w0m為初始缺陷的幅值，m。

根據理想管道的水平向整體屈曲，得到具有初始缺陷管道水平向整體屈曲的控制方程為

(8)

將式(3)和式(7)帶入式(8)，得到屈曲軸力表達式

(9)

1.3 一階至四階攝動解的差異

基于攝動法求解理想管道水平向整體屈曲，分析一階至四階攝動法解的區別。為便于計算，假設k=1，e=1，h=1，EI=1。運用攝動法求解式(1)，得到理想管道屈曲形態的一階至四階攝動法解(圖1)。

由圖1可知，管道屈曲形態的一階和二階攝動法解相差較大，但管道屈曲形態的二階、三階與四階攝動法解相差較小。因為在求解過程中A1的大小至關重要，在進行三階攝動法的迭代時，得到了求解A1的表達式，在進行四階以后的迭代發現，A1的大小幾乎不影響結果，因此選用三階攝動法解作為管道屈曲的最終形態。

2 管道整體屈曲的Galerkin解

2.1 理想管道水平向整體屈曲的Galerkin解

圖1 管道水平向整體屈曲圖Fig.1 Lateral global buckling of a pipeline

1997年，Whiting[8]運用Galerkin解法，假設結果為關于小參數的泰勒級數，推導出函數形式為F(w)=kw-cw3的非線性土抗力模型下彈性梁的整體屈曲，彈性梁和理想管道發生水平向整體屈曲的控制方程相同。但該方法求解過程繁雜、計算量大。

理想管道水平向整體屈曲的控制方程為

(10)

根據線性微分方程特征值的定義，可知式(10)中屈曲軸力的臨界值為

(11)

Galerkin解法與非線性攝動法求解式(10)方法類似，但其不采用逐級帶入的方式，而是采用等高線積分和殘差演算的方式得到方程(10)的漸進解。

根據Galerkin解法，方程(10)的解為

w=A11cos(ωx)ε+B12sin(ωx)ε2+(A13cos(ωx)+A33cos(3ωx))ε3
+(B14sin(ωx)+B34sin(3ωx))ε4

(12)

式(12)中：

(13)

2.2 具有初始缺陷管道水平向整體屈曲的Galerkin解

基于理想管道水平向整體屈曲控制方程，得到含初始缺陷管道水平向整體屈曲的控制方程為

(14)

采用Galerkin解法求解方程(14)，假設含初始缺陷管道的屈曲形態與理想管道屈曲形態相同，得到管道屈曲軸力為

(15)

3 攝動解與Galerkin解的對比

3.1 理想管道整體屈曲解的對比

Galerkin解法中非線性土體抗力模型的函數形式為F(w)=kw-cw3。為了對比的合理性，運用攝動法求解理想管道水平向整體屈曲控制方程時，土抗力模型的函數形式應該是相同的。選取k=1，c=1時的土抗力模型，如圖2所示。

基于圖2的土抗力模型，分別運用Galerkin解法和攝動法求解理想管道水平向屈曲的控制方程，得到管道水平向屈曲形態(圖3)，管道屈曲軸力與屈曲幅值的關系(圖4)。

圖2 土體抗力模型Fig.2 Soil resistance model圖3 管道水平向整體屈曲形態Fig.3 Lateral global buckling of a pipeline

由圖3可知，Galerkin解法和攝動法得到管道正向水平向位移與屈曲波長幾乎一致，但兩者的負向水平向位移略有不同，相差較小。

圖4 管道屈曲軸力與屈曲幅值關系圖Fig.4 Buckling axial force and lateral buckling amplitude of a pipeline圖5 管道水平向整體屈曲形態Fig.5 Lateral global buckling of a pipeline

圖6 管道屈曲軸力與屈曲幅值關系圖Fig.6 Buckling axial force and lateral buckling amplitude of a pipeline

由圖4可知，Galerkin解法和攝動法求解得到的管道屈曲軸力隨屈曲幅值的增大逐漸減小，開始時減小的幅度一致，但當屈曲幅值大于1 m時，Galerkin解法中管道屈曲軸力下降的速度略高于攝動法。

3.2 含初始缺陷管道整體屈曲解的對比

Galerkin解法求解理想管道水平向整體屈曲的土抗力模型(圖2)，假設管道初始缺陷幅值為0.05 m，管道屈曲波長為2 m。運用Galerkin解法求解含初始缺陷管道水平向整體屈曲，將得到的結果與攝動法進行對比(圖5和圖6)。

由圖5可知，運用Galerkin解法和攝動法求解得到管道正向水平向位移和管道屈曲波長幾乎一致，但管道負向水平向位移有較小的偏差，但偏差較小。攝動法解的管道負向水平向位移為0.2 m，Galerkin解法中管道的負向水平向位移為0.1 m。

由圖6可知，運用Galerkin解法和攝動法求解得到的管道屈曲軸力均隨屈曲幅值的增大而減小，當管道屈曲幅值在0.05～0.9 m時，Galerkin解法和攝動法得到的管道屈曲軸力幾乎相同。但當管道屈曲幅值繼續增大時，攝動法求解得到的管道屈曲軸力略高于Galerkin解法得到的屈曲軸力。

4 結論

本文以非線性土體抗力模型為基礎，運用攝動法和Galerkin法求解了海底管道水平向整體屈曲的解析解，通過對比發現，兩者得到的管道整體屈曲結果相差較小，攝動法求解過程簡單且易于理解，土抗力的函數表達式可以多元化，而Galerkin法的土抗力函數表達式較為單一，不能反映土抗力變化過程的復雜性。