海洋吊索碰撞動力學分析

張大朋，白 勇，朱克強

(1.浙江大學 建筑工程學院，杭州 310058；2.寧波大學 海運學院，寧波 315211)

隨著對海洋資源需求的日益增大，各種針對海上結構物的施工作業越來越頻繁，尤其是海上起吊作業。而在海上起吊作業過程中由于各種原因導致的吊纜間的碰撞不可避免。而這種吊纜間的碰撞對海上施工作業是不利的。該過程中產生的高速反彈會對周圍的設備和人員造成極大的傷害[1-4]。

目前國內關于海洋起吊方面的動態分析較多，但關于吊纜之間的碰撞研究較少。相對于單獨研究海洋起吊系統，起吊吊纜間的碰撞涉及到復雜的碰撞接觸之間的設置，并且在碰撞過程中極易出現纜-纜之間的相互纏繞，不能簡單地依據吊纜模型建模，而直接編程工作量過于浩大，且計算過程極難收斂。吊纜的動力學建模方法有集中質量法、有限元法和有限差分法等[5-9]。其中，集中質量法物理意義明確，算法簡單易懂，具有廣泛的適用性及擴展性。本文以大型水動力分析軟件OrcaFlex 軟件為平臺，運用凝集質量參數法建立了吊纜碰撞的動力學分析模型，并對其進行模擬仿真，通過時域耦合動力分析方法分析碰撞過程的非線性動力學特性。結合動力學仿真的計算結果給出了一些指導性的建議，對于保證海上安全作業有重要意義。

1 海洋吊纜動力學模型

本文涉及的吊纜主要結構是海洋吊纜，其可以承受較大的拉力，抗彎能力很弱，具有較大的柔性，為準確地反映索結構的動態特性，本文采用集中質量法構建吊纜動力學模型。

1.1 數學模型的建立

為簡化計算，將吊纜結構視為光滑、圓截面且無任何附連組件的可伸長纜繩。需要注意的是，因本文研究的吊纜在水面以上，由于海上吊放一般都是在風平浪靜時，且本文主要研究的是碰撞對吊纜的影響，因此波浪引起的水動力載荷可忽略。考慮一微段圓截面吊纜受到的外部載荷，據此列出吊纜靜力平衡和彎矩平衡關系式

(1)

(2)

Te=EAε

(3)

(4)

(5)

(6)

1.2 離散的集中質量數值解法

通過離散的集中質量法數值求解纜繩邊界問題。凝集質量法的基本思路就是把纜繩分割成N段微元，并且每段微元的質量集中在一個節點上，這樣就可以有N+1個節點。作用在每微段末端的張力T和剪力V就可以看作集中作用在某一個節點上，任何的外部載荷都視為集中作用在一個節點上。在連續性方程中，質量塊模型通過有限差分法取代空間導數項從而求數值解。

經過必要化簡，式(2)、(4)、(5)還可寫為

(7)

(8)

(9)

通過式(8)、(9)，可將式(7)化解為

(10)

進一步化簡可得

(11)

(12)

(13)

經過數值模擬分析后，易得到第k個節點運動方程表達為

MAk

(14)

其中

(15)

(16)

(17)

故運動方程式(14)里的各個外力之差可表達為

(18)

(19)

由(1)～(19)，方程(14)可以用矩陣形式來表示

(20)

其中Kk表示第k分段剛度矩陣，它由以下五個子矩陣組成。

Kk=[Ak，Bk，Ck，Dk，Ek]

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

則可由方程(14)可知，方程(19)的外力

(28)

式(28)里的節點的速度和加速度項能夠通過使用Newmark-β算法得出

(29)

(30)

故對時間步長(n)時，在慣性坐標系下的運動方程為

[K](n){R}(n)={Fe}(n)

(31)

式中：[K]是3N×3N的慣性剛度矩陣，{R}和{Fe}分別是三維節點位置矢量和外力矢量。通過數值積分對以上推導的單個節點位置矢量和速度矢量求解，能得到節點位移、速度矢量和吊纜外力隨時間響應圖。

1.3 吊纜碰撞力的計算

圖1 纜-纜接觸關系示意圖Fig.1 Schematic diagram of contact relationship for cable-cable

將吊纜等效為圓形截面的柔性體模型，當兩圓柱面相互接觸時，采用基于罰函數的模型計算法向接觸力，該模型將實際中物體的碰撞過程等效為基于穿透深度的非線性彈簧阻尼模型，這也是大多數常用的碰撞模型。且在此碰撞模型中，碰撞力最直接的體現為法向接觸力，為簡化計算過程，主要考慮法向接觸力的影響，切向接觸力暫不考慮。設兩個纜的半徑分別為r1、r2，當兩根纜中軸線之間的距離δr1+r2時兩根纜不會發生碰撞，當兩根纜中軸線之間的距離δ=r1+r2時，兩根纜之間的關系處于發生碰撞與不發生碰撞的邊緣，換句話說，此時兩根纜剛好開始發生相互接觸，但還并未發生力的作用。關于這三種纜-纜之間的接觸關系，如果放在平面中，可以分別描述為兩個圓之間相交、相離、相切的關系如圖1所示。

OrcaFlex中吊纜之間的碰撞力Fc可表示為

Fc=k[δ-(r1+r2)]+Fd

(32)

式中：δ為兩根纜中軸線之間的距離，Fd為結構阻尼力，k為與吊纜接觸剛度有關的系數，其表達式為

(33)

k1、k2分別為兩根吊纜的接觸系數，單位為kN/m。

結構阻尼力的表達式為

Fd=cv

(34)

式中：c為結構阻尼系數，v為兩纜法向碰撞時的相對速度，且當相對速度小于零時此時說明兩根纜之間正在遠離因此沒有阻尼力的作用，當相對速度大于零時此時說明兩根纜之間正在靠近，有阻尼力的作用。

2 OrcaFlex中動態仿真模型的建立

圖2 吊纜碰撞模型示意圖Fig.2 Schematic model of the collision for suspended cables

為簡化建模過程，將吊纜一根建為橫纜，一根建為豎纜，以提高碰撞發生的可能性。橫纜兩端從始至終全都鉸接，其兩端點的坐標分別為端點1(x1=-33.2 m,y1=0 m,z1=153.5 m)，端點2(x2=49.2 m,y2=0 m,z2=153.5 m)。豎纜上端始終鉸接于海平面以上180 m(具體坐標為x=9.8 m,y=8.7 m,z=180 m)處，下端在建模靜平衡階段鉸接于海平面以上130.7 m(具體坐標為x=7.4m,y=-64.3 m,z=130.7 m)處，靜平衡結束后豎纜下端解除約束，由于初始狀態豎纜兩端并不在一條垂線上，豎纜將繞上端點開始轉動，并最終與橫纜發生碰撞。兩根纜的材質相同，長度均為100 m，外徑均為0.35 m，線密度均為0.12 t/m，泊松比均為0.5，軸向剛度EA均為6 000 kN，彎曲剛度50 kN·m2，扭轉剛度為0，法向接觸系數為5 000 kN/m。為保證碰撞時節點與節點間能有效接觸，兩根吊纜均分為50段，單個分段長度為2 m。仿真時間為15 s。模型建成后如圖2所示。

3 計算結果

經仿真發現，豎纜的第26個節點將會與橫欄的第27個節點發生碰撞。

3.1 吊纜碰撞力動力學分析結果

圖4 吊纜張力歷時曲線Fig.4 Tension of cables versus time

觀察碰撞力計算結果圖3(圖中左側曲線為豎纜碰撞力時域曲線，右側曲線為橫纜碰撞力時域曲線，用了曲線加不同圖標的繪圖形式，即圖3中左右側的曲線均為一條，不存在不同含義的曲線重疊的情況)發現，對于豎纜而言，其發生的較明顯的碰撞主要是與橫纜的兩次短時間的碰撞(5 s和11 s)，即在豎纜第一次與橫纜碰撞后兩根吊纜迅速彈開，然后再次發生碰撞；除了這兩次較為明顯的碰撞外，豎纜的碰撞力基本維持在0 kN，這說明在整個過程中豎纜自身不同部位之間沒有發生明顯的碰撞。而對于橫纜，計算結果表明，除了與豎纜發生碰撞外，橫纜自身的不同部分之間也會發生碰撞，即隨著豎纜對橫纜的急劇碰撞會改變橫纜的空間形態，造成與橫纜27節點附近相鄰的節點之間會發生輕微幅度地相互碰撞，對比橫纜與豎纜的碰撞力時域圖像不難發現這一點。同時，觀察發現，吊纜在第一次相互碰撞時，豎纜受到的碰撞力(80 kN)要遠遠小于橫纜受到的碰撞力(300 kN)，這說明橫纜受到的沖擊遠遠大于豎纜，造成這種現象的原因為：相對于豎纜，橫纜兩端都被鉸接，而豎纜下端自由無約束，碰撞發生后所產生的沖擊隨著豎纜自由端的擺動被及時釋放，而橫纜由于兩端被鉸接，無法及時釋放碰撞所產生的沖擊故而橫纜第一次受到的碰撞力要比豎纜大，同時也正是因為其兩端被鉸接，使得橫纜自身各部分之間更容易發生碰撞。

3.2 吊纜張力及彎曲動力學分析結果

圖5 吊纜張力沿纜長方向分布Fig.5 Tension of cables along the length

觀察吊纜張力時域圖4發現：對于豎纜，在下端解除約束后，下端不再承受牽拉的作用，因而張力圖像在結束平衡階段進入動態仿真階段后豎纜下端始終保持在0 kN；豎纜上端的張力和26節點處的張力值隨著時間的推移不斷波動變化，且豎纜上端的張力始終大于碰撞點26節點處的張力，但26節點處的張力大于豎纜下端的張力，這是由于碰撞造成的劇烈抖動使得碰撞點以下對26節點造成較大牽拉引起的；而對于橫纜而言，碰撞點27節點并不是在碰撞過程中張力值的最大點，反而是水平鉸接端點1、2的張力值比較大，這同樣是由于兩端鉸接使得碰撞產生的沖擊得不到及時釋放而造成的。同時，豎纜的張力最大值(225 kN)要大于橫纜受到的張力最大值(150 kN)。也就是說，對于豎纜，張力最大值發生在上端位置，碰撞點處張力也較大，自由端為0；對與橫纜來說，碰撞發生位置的張力是最小的，兩端張力值基本相同。圖5的張力沿纜長方向的分布情況證明了這一點。觀察圖5發現，沿纜長方向豎纜張力依次遞減，橫纜張力以碰撞點為界大體呈對稱分布。

圖6 吊纜曲率分布Fig.6 Distribution curvature of cables

觀察吊纜曲率沿纜長方向的分布圖6發現，不論是橫纜還是豎纜，在碰撞處都會發生曲率沿纜長方向的突變，使得曲率沿纜長方向的分布在碰撞部位變得不光順；同時發現，對于豎纜而言，碰撞會使上端0～10 m區域和26節點前后10 m的區域(40～60 m)發生比較明顯的彎曲情況，而其余部位彎曲情況并不十分明顯；對于橫纜而言，由碰撞部位27節點處至兩端吊纜彎曲程度依次降低。觀察吊纜碰撞處曲率變化情況發現，碰撞使兩根纜接觸部位產生了反復的彎曲變化，且橫纜在碰撞部位的彎曲變化程度要大于豎纜在碰撞部位的彎曲變化程度。對比觀察圖6和圖7發現，沿纜長方向的曲率與彎矩圖像形態呈現一定程度的相似性，這一定程度上驗證了曲率與彎矩的對應關系。

3.3 吊纜運動分析

觀察圖8發現，在豎纜由靜止到碰撞發生前這一段時間內豎纜始終處于速度不斷增大而加速度不斷減小的過程中，但橫纜基本處于靜止狀態；當兩根纜發生碰撞后，豎纜26節點瞬間速度變為0，然后開始發生碰撞，產生的碰撞力開始對豎纜的26節點反向加速，當速度達到最大后兩根纜脫離接觸，豎纜26節點在達到最大速度后再次開始減速；而橫纜在碰撞發生前處于靜止狀態，在碰撞瞬間其速度加速到極大值，而后開始減速，速度減速到0后反向加速，加速到一最大值后再次減速。值得一提的是，在整個過程中，在碰撞的瞬間橫纜27節點、豎纜26節點加速度達到最大，且橫纜的最大加速度要大于豎纜的最大加速度。

觀察圖9沿纜長方向速度及加速度曲線發現，橫纜速度的最大值出現在兩纜碰撞部位，而豎纜速度最大值卻出現在下端，而兩纜加速度最大的區域均位于發生相互碰撞的部位：豎纜沿纜長方向速度逐漸遞增，而橫纜沿纜長方向，速度自碰撞點到兩端依次降低，其分布形態近似呈倒拋物線形態。

圖7 吊纜彎矩分布Fig.7 Bending moment of cables圖8 碰撞節點速度及加速度曲線Fig.8 Curves of velocities and accelerations for impact position

圖9 沿纜長方向速度及加速度曲線Fig.9 Curves of velocities and accelerations along the length direction

4 結論

豎纜本身不同部位之間發生碰撞的可能性不大，橫纜本身不同部位之間、橫纜與豎纜之間都會發生碰撞。

橫纜與豎纜由于約束形式的不同，導致碰撞沖擊的釋放有所不同，由此可見，吊纜兩端的約束形式會對碰撞沖擊的劇烈程度造成影響。

碰撞處會發生曲率沿纜長方向的突變，碰撞會使兩根纜接觸部位產生反復的彎曲變化。

約束形式的不同導致橫纜與豎纜的最大速度出現部位不同，橫纜速度的最大值出現在兩纜碰撞部位，而豎纜速度最大值卻出現在下端，兩纜加速度最大值均出現在相互碰撞的部位。