帶有組合非線性項(xiàng)的一類基爾霍夫方程徑向解的存在性

劉紫玉，韓 偉

(中北大學(xué) 理學(xué)院， 太原 030051)

在本文中，研究了如下基爾霍夫方程：

(1)

其中b>0, 1

①V(x)∈C(RN,R)，并且對(duì)于?x∈RN有V(x)=V(|x|)>0；

⑤Γ定義如下：

則存在l∈(Γ,V∞)，使得

⑥f(x,u)=f(-x,u)。

1883年基爾霍夫在文獻(xiàn)[14]提出了如下數(shù)學(xué)模型：

(2)

Li等[4]利用A.Azzollini’s想法研究了如下非線性基爾霍夫方程徑向解的存在性：

(3)

其主要是利用了一個(gè)截?cái)嗪瘮?shù)獲得有界的(PS)C序列。

文獻(xiàn)[3]研究了非線性項(xiàng)f(u)滿足Berestycki-Lions條件的基爾霍夫方程，得到了至少一個(gè)解的存在性：

(4)

為了便于理解，首先介紹如下基本定義：

(5)

(6)

本文的主要結(jié)論如下：

定理1假設(shè)①～⑥條件都成立，則存在m>0和b*>0使得對(duì)?K(x)當(dāng)|K|2/(2-q)

1 預(yù)備知識(shí)

引理1(Sobolev嵌入定理)有如下連續(xù)嵌入:

(7)

(8)

引理3(Fatou引理)設(shè){fn}是一個(gè)非負(fù)可測(cè)函數(shù)序列，則

(9)

定義1((PS)C條件) 設(shè)E是Banach空間，E-1是其對(duì)偶空間。I∈C1(E,R)以及c∈R，如果{uk}?E滿足

I(uk)→c和I′(uk)→0 (inE-1, ask→∞)

稱序列{uk}是泛函I的(PS)C序列；如果泛函I的任意(PS)C序列在E中有收斂的子列，稱泛函I滿足(PS)C條件。

引理4設(shè)E是Banach空間，E-1是其對(duì)偶空間。假設(shè)I∈C1(E,R)，并且存在α<β，e∈E以及ρ>0，||e||>ρ使得

設(shè)Λ={γ∈C([0,1],E)∶γ(0)=0,γ(1)=e}，表示連接0到e的連續(xù)路徑的集合，并且令c≥β，c作如下定義：

則存在一個(gè)序列uk∈E使得

I(uk)→c和I′(uk)→0 (inE-1, ask→∞)

引理5(嵌入不等式) 設(shè)H1連續(xù)的Sobolev嵌入Ls(RN)(2≤s≤2N/(N-2))空間中，則存在一個(gè)常數(shù)cs使得

||u||s≤cs||u|| ?u∈H1

其中

2 定理的證明

在這部分，將給出定理1的證明過(guò)程。為此，先給出如下：

因此

(10)

根據(jù)H?lder不等式和Sobolev不等式有

(11)

(12)

其中1

引理7泛函I的有界(PS)序列有收斂的子列。

又因?yàn)椤碔′(uk),uk〉=o(1)和〈I′(uk),u〉=o(1)，有

(13)

(14)

令

▽uk·▽(uk-u)+V(x)uk(uk-u))dx=o(1)

(15)

(16)

(17)

(18)

事實(shí)上，根據(jù)H?lder不等式有

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(19)

同樣的，根據(jù)條件④和引理1

(20)

引理8假設(shè)條件①～⑥成立，則

證明：(i) 根據(jù)條件③和④，對(duì)?ε>0，存在一個(gè)常數(shù)Cε>0和p∈(2,6)使得

(21)

并且

(22)

因此結(jié)合式(22)，又有

(23)

令

g(t)=C1-C2||K||2/(2-q)tq-2-C3tp-2,t>0

因?yàn)?0時(shí)，得到g(t)可以在(0,+∞)內(nèi)達(dá)到最大值。此外，存在m>0，使得對(duì)?||K||2/(2-q)

這里令ρ=t0，則(i)得證。

(24)

則

(25)

由Fatou引理和條件⑤，有

(26)