李群李代數在數據融合算法中的應用分析

袁治晴

摘要：數據融合是提升機器人、無人駕駛、無人機等應用能力的重要手段，一直是前沿技術中研究的一個熱點，關于數據融合算法的分析設計，學術界和工程界對此方面進行了長期的研究與討論，而數據融合算法結合李群李代數一直是此領域研究的一個熱點，本文將對李群李代數應用于數據融合的算法進行分析，展開對基于李群李代數的擴展卡爾曼濾波系統模型的分析，并實驗對比得出將李群李代數應用于數據融合算法在提升精度方面起著的重要一環。

關鍵詞：數據融合；李群李代數；擴展卡爾曼濾波

中圖分類號：TP311 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2019）08-0192-02

1 引言

數據融合一直是研究領域的一個熱點，是針對一個系統使用多種傳感器這一特定問題而展開的一種關于數據處理的研究。數據融合技術是多學科交叉的新技術，涉及概率統計、信息論、人工智能、模糊數學等理論。

提升精度是數據融合設計中的關鍵一環，而李群李代數理論正好提供了這樣的工具，隨著數據融合技術廣泛應用于機器人、自動駕駛等計算機視覺領域，李群李代數對數據融合優化改進在越來越重要。本文的研究方向是對數據融合中濾波算法優化改進進行分析，研究基于李群李代數擴展卡爾曼濾波算法并進行試驗對比，進一步證明李群李代數在提升數據融合算法的精度占據重要地位。

2 李群李代數在數據融合系統模型中研究

2.1 引言

由于該系統模型算法步驟推導過程復雜，受篇幅限制，只給出具體的算法步驟來分析。首先分析經典的擴展卡爾曼濾波EKF，接著介紹李群李代數基本知識，著重分析李群李代數在數據融合擴展卡爾曼濾波EKF算法的應用分析，為后續進行試驗驗證對比證明結論奠定了基礎。

2.2 擴展卡爾曼濾波

卡爾曼濾波算法的核心是動態調整權值，本質是通過預測結合測量來估計當前系統的狀態，Kalman Filter用預測和測量進行狀態估計，并根據卡爾曼增益K來決定用哪個來估計，當系統為線性高斯模型時，濾波器能給出最優的估計，實際系統存在不同程度的非線性，通過線性化方法將非線性系統轉換為近似的線性系統，即為擴展卡爾曼濾波EKF，核心思想是圍繞濾波值將非線性函數展開成泰勒級數并略去二階及以上項，得到一個近似的線性化模型，然后應用卡爾曼濾波完成狀態估計。

2.3 李群李代數

李代數的一大目的是用來優化，由于在空間點到觀測數據的轉換時，會有噪音的存在，優化運動狀態的位姿使得噪聲最小。這個優化的過程是通過對轉換矩陣 T 的求導，得到整體誤差的最小化：[minJ（T）=i=1N||zi-Tpi||]，其中攝像機的位姿為T，觀察到了點 p，得到了觀測數據z，那么有： [z=Tp+w]z，其中w為觀測誤差。引入兩個剛體運動數學概念，SO（3）是三維旋轉群，剛體僅作空間轉動的姿態幾何，SE（3）是三維歐式群，包括轉動和平動。

2.4李群李代數的擴展卡爾曼濾波系統模型

設[Xk-1]是第k-1時刻的狀態，[uk-1]是外界輸入，[nk-1]是噪聲，則下一個狀態的預測為，，[nk-1～N（0p×1，Rk-1）]，其中[Ω（Xk-1，uk-1）]表示輸入所造成的位姿變換的李代數。由于[Xk-1]和[uk-1]都是已知的，假設只在[uk-1]的作用下，[Xk-1]狀態變成了[X′k]。則：

[X′k=Xk-1exp（（ξuk-1）^）=Xk-1Tuk-1][?][X-1k-1X′k=exp（（ξuk-1）^）=Tuk-1]

由于[Ω（Xk-1，uk-1）]表示為[ξuk-1]，即[Ω（Xk-1，uk-1）]=[ξuk-1]=[log（X-1k-1X'k）∨=log（Tuk-1）∨]，[Xk-1]和[uk-1]都是已知的，即可求得[Ω（Xk-1，uk-1）]。濾波系統分為傳播預測和更新，傳統融合是對預測出來的擾動和實際測量出來的擾動進行融合，預測出來的測量值與實際的測量值進行融合，然后再反饋給狀態，而本論文中，將測量值的處理轉換成李代數的形式，以上一步的姿態為初值，優化姿態，使得通過姿態計算出來的測量值與實際測量值相接近。總體流程圖如下，其中第k時刻位姿的真實值為[uk]，預測的位姿[uk|k-1]，其協方差[Pk|k-1]，設輸入：[m-k|k]，[Pk|k-1]，[uk-1]，[zk]

3 實驗驗證對比

本系統采用MATLAB作為開發語言環境，完成基于李群的擴展卡爾曼濾波的系統模型設計，代碼編寫，系統試驗測試驗證。為了便于比較，整個軌跡使用性能指標為RMS（root-mean-square，均方根）來評估，對改進前后算法針對姿態和位置進行了對比，如下圖1，并將實驗的姿態和位置的RMS結果值列于下表1中。根據性能指標進行分析，證明李群李代數在數據融合中提升精度的重要手段。

在這組實驗中，圖1中清晰對比了系統姿態和位置的均方根RMS，分析得出基于李群李代數在數據融合擴展卡爾曼濾波算法LG-EKF相對于傳統的融合EKF的性能要好，針對表1 統計結果可以看出，LG-EKF在提升數據融合的精度方面取得了較好的效果

4 結束語

本文通過介紹理論知識，包括李群李代數，擴展卡爾曼濾波基本知識，設計基于李群李代數的擴展卡爾曼濾波系統模型，并完成系統模型代碼的編寫，通過實驗驗證對比的方式，證明了李群李代數對數據融合的精度提升占據重要地位，在這組實驗中，我們看到，基于李群李代數在數據融合算法LG-EKF相對于傳統數據融合算法EKF取得了較好的成績。

參考文獻：

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[2] A. Barrau and S. Bonnabel， “The Invariant Extended Kalman Filter as a Stable Observer，” IEEE Transactions on Automatic Control， vol. 62， no. 4， pp. 436–449， 2017.

[3] A. Barrau and S. Bonnabel， “Intrinsic Filtering on Lie Groups with Applications to Attitude Estimation，” IEEE Transactions on Automatic Control， vol. 60， no. 2， pp. 436–449， 2015.

【通聯編輯：梁書】