從光學極值思想到最速降線問題

馬文東

(江蘇省淮北中學 223900)

1 幾何光學的發展

光的反射的研究，最早可以追溯到古希臘學者歐幾里得(Euclid of Alexandria ，前330年～前275年)，在一本主要研究平面鏡、凹面鏡和凸面鏡反射問題的《鏡面反射》著作中，記錄了入射光線和鏡面的夾角等于反射光線與鏡面的夾角[1].約在公元100年，亞歷山大里亞的希羅為了解釋光的直線傳播和反射定律,曾經提出過光在兩點之間走最短路程的看法.

對光的折射現象的研究要稍晚一些，古希臘人托勒密(Claudius Ptolemaeus，約90年～168年)首先通過實驗研究了光的折射現象，根據正確的測量數據，得出一個只有在入射角很小的情況下才近似成立的結論：折射角和入射角是成正比關系.

德國人開普勒(Johannes Kepler， 1571～1630)在托勒密實驗的基礎上，經過分析當時所知道的光學成果，發現了托勒密關于折射規律結論的局限性，得出了他的折射規律是：折射角由兩部分組成，一部分正比于入射角，另一部分正比于入射角的正割,只有在入射角小于30°時，入射角和折射角成正比的關系才成立.

荷蘭數學家斯涅耳(Willebrord Snell，1580～1626)于1620年前后，通過實驗確立了開普勒想發現而沒有能夠發現的折射定律： 在不同的介質里，入射角和折射角的余割之比總是保持相同的值.后經法國人笛卡爾(Rene Descartes，1596～1650年)，給出了折射定律的現代表述形式.

1650年法國數學家費馬(Pierre de Fermat，1601～1665)，把光的直線傳播、反射和折射定律等光學的基本實驗定律，總結成為一個原理：光由空間一點傳播到另一點，將沿著光程(作用量)為極值的路徑傳播.

2 幾何光學中的極值問題(Fermat原理)

2.1 光的反射

光的反射取光程極小(同種介質中也是時間最短)的路徑.

例1平面鏡的反射,光程取極小值的情況：

如圖1所示，光從A點發出，在O點反射經過B點，光程LAOB取極小值，作AO的鏡像A′O，容易看到A′B為一條直線段，兩點之間線段最短.如果從A到B的光路不經過O點，而是經過O′點，那么A′B變為折線，此時光路LAO′B，很明顯，光程LAO′B>LAOB.

2.2 光的折射

折射光線也有光程取極值路徑的性質.

圖2

因此，只需證明

n1·LAC+n2·LCB為最小值即可.

根據數學中求極值的方法，令上式對x的微分等于零可得

3 最速降線問題

3.1 問題的表述

圖3

伽利略在1630年提出的問題：如圖3所示，一個質點在重力作用下，從一個給定點到不在它垂直下方的另一點，如果不計摩擦力，問沿著什么曲線滑下所需時間最短.

伽利略猜測這曲線是圓，可是這個答案只比直線要接近真實，還不是所要求的正確答案.

3.2 問題的解答

瑞士數學家約翰·伯努利(Johann Bernoulli)在1696年6月號的《教師學報》上重新提出了這個最速降線的問題并征求解答.到第二年有幾位數學家得到了正確答案，其中包括牛頓、萊布尼茲、洛必達和伯努利家族的成員.

約翰·伯努利和牛頓的解答思路[2]：

下面根據約翰·伯努利和牛頓的解答思路，較詳細介紹一下問題的解答過程：

圖4

(1)

(2)

由(1)和(2)可以得出，運動小球所經過的時間為

(3)

從T的表達式可以看出，T是依賴于函數y=y(x)的函數，y=y(x)取不同的函數，T也就有不同的值與之對應.

對式(3)中y=y(x)的求解方法，文獻[3,4]多采用Euler方程的求解方法，而Euler方程的推導過程比較復雜，這里我們用一個相對較簡單的方法得出問題的解.

(4)

把(1)式代入(4)式，整理后得

令y′=cotθ，

又因為

積分得

由邊界條件y(0)=0，得c1=0.

令t=2θ,則

圖5

伯努利和牛頓的解答,將引力場中的力學問題與光學問題進行的類比，帶給人們以極大的啟發性，該問題本身導致了變分法的創立，從而為泛函極值的求解提供了普遍方法.