數學問題解答

2019年3月號問題解答

(解答由問題提供人給出)

2471設n是一個大于1的奇數,數a1,a2,…,aφ(n)是1,2,…,n中與n互素的所有正整數.

(浙江省富陽二中 許康華 311400)

證明對每一個j∈1，2，…，φ(n),

因n是大于1的奇數,而a1,a2,…,aφ(n)是模n的一個縮剩余系,因此對每一個aj而言，aja1,aja2,…,ajaφ(n)以及2aja1,2aja2,…,2ajaφ(n)也都是模n的一個縮剩余系,

2472設△ABC的三邊長、相應的旁切圓半徑、外接圓半徑、內切圓半徑、半周長和面積分別為a、b、c、ra、rb、rc、R、r、p和Δ, 則有

等號當且僅當△ABC為正三角形時成立.

(安徽省太和縣第二小學 任迪慧 236630)

(1)

同理

(2)

(3)

(1)+(2)+(3)整理得

(4)

首先證明左邊不等式

△ABC中，有R≥2r,于是可證

其次證明右邊不等式

從而可證

從而可證

等號當且僅當△ABC為正三角形時成立.

綜上所述，所證不等式成立.

(山東省泰安市寧陽第一中學 劉才華 271400)

問題的證明：設∠F1PF2=θ，

由橢圓的定義得三角形PF1F2的周長為

PF1+F1F2+PF2=2a+2c，

由熟悉的橢圓焦點三角形面積公式

2474已知a,b,c>0，且abc=1，求證：

(廣東省廣州市廣東廣雅中學 楊志明 510160)

則由均值不等式知，

(1+a)(1+b)(1+c)

=1+a+b+c+ab+bc+ca+abc

故原不等式等價于

?(t-2)2≥2(t+2)

?t2-6t≥0?t(t-6)≥0．

顯然成立，證畢．

(江西師范高等專科學校 王建榮 335000)

2019年4月號問題
(來稿請注明出處——編者)

2476已知a,b,c≥0,a+b+c=3,求證: 4≤a2+b2+c2+abc≤9.

( 陜西省咸陽師范學院基礎教育課程研究中心 安振平 712000 )

2477求證：在a+bn(n∈N*)的展開式中有2sn個系數為奇數．其中sn是n在二進制表示中的數字和．

(湖北省谷城縣第三中學 賀斌 龔為民 441700)

2478已知如圖，五邊形ABCDE內接于⊙O，且BC=DE，∠EAB=120°.求證：AC·AD≤(AB+AE)2.

(北京市芳草地國際學校富力分校 郭文征 郭璋 100121)

2479已知a1,a2,…,an(n≥2)為實數，求證：

(浙江省海鹽縣元濟高級中學 張艷宗31430；北京航空航天大學圖書館 宋慶 100191 )

(浙江省慈溪市慈溪實驗中學 華漫天 315300)