一題之探——以數形結合思想為例

李 晶 孫雪梅 李德安

(1.曲靖市第一中學 655000； 2.曲靖師范學院數學與統計學院 655011)

數形結合思想是數學解題中常用的數學思想.華羅庚曾對數形結合思想有過精辟的論述：數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛？數缺形時少直觀，形少數時難入微. 數形結合百般好，隔離分家萬事休.切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系，切莫分離[1].“數”抽象而形式化，“形”具體而形象化.“數”與“形”對應的思維是分析性思維和視覺化思維，這兩種思維在數學解題中都是必需的，它們在數學解題中相互作用互為補充.下面以2016年云南省第一次高中畢業生復習統一檢測中的一道解析幾何題的解答為例，說明如何通過對圖形信息與數式信息的相互補充和交互作用的探究，引導學生探尋精彩而奇妙的解法.

(1)求橢圓E的方程；

1 以數代形，常法開路

對(1)問，要求學生不作出圖形，根據題設條件，用代數方法求出橢圓的方程，學生很容易想到用待定系數法和方程(組)的思想進行求解.

由已知得，

對(2)問，第一步必先求出λ的值.要確定λ的值，根據題設條件，學生會想到第一種途徑：根據向量的運算求出λ的值.

向量的運算涉及“圖”與“式”，既有視覺化思維，又涉及分析性思維，特別是對特殊情況的討論，分析性思維尤為重要.

則1+λ=4，所以λ=3.

根據題設中的條件，有的學生還會想到第二種途徑：利用定比分點向量公式求λ的值.有了前面的討論和引導，學生會考慮解答的完整性，避免漏掉對特殊情況的討論.

當O?l時，由定比分點向量公式可得

當O∈l時，即m=0時，也符合題意.

從“數或式”的角度，引導學生利用直線與圓錐曲線綜合問題的通用解法：聯立方程、消元、利用判別式“Δ”、韋達定理，可求得m的范圍.

得(k2+4)x2+2mkx+m2-4=0，

Δ=4m2k2-4(k2+4)(m2-4)>0，

即k2-m2+4>0……①

設A(x1,y1)，B(x2,y2)，則由韋達定理得

所以3(x1+x2)2+4x1x2=0，

化簡得m2k2+m2-k2-4=0，

所以(m2-1)k2=4-m2，

當m2=1時，上式不成立，

所以1

所以1

解法1從代數的角度找到解題的思路，雖然思路簡單，容易理解，但涉及的代數運算較繁，容易計算出錯.

解法2：設A(x1,y1)，B(x2,y2)，

4(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0

②

所以3my2=2m2+4，

若m=0，上式顯然不成立，

因為y2<2，

(1)當m>0時，2m2-6m+4<0，解得1

(2)當m<0時，2m2+6m+4<0，解得-2

綜上所述，m的取值范圍是-2,-1∪1,2.

對第(2)問，解法1和解法2都是從“數或式”出發，利用常用的代數解法，求得m的取值范圍，但解法2在解法1的基礎上，利用整體思維，巧借m與y2的關系簡化了運算過程，讓學生在掌握常法的基礎上，會去思考解法的進一步簡化和優化.

2 以形助數，另辟蹊徑

引導學生以“形”助“數”，從幾何的角度另辟蹊徑，找到新的解法.點撥學生利用橢圓可由圓均勻壓縮而得到，畫出圖形，看是否能從圖中找到一些關系，或者從圖形表征或題目信息中推導出更多有用的結論或找出新的解題思路.讓學生在解題過程中，不斷進行信息的精致化和新信息的再探究，不斷調節解題思路，從而使問題一步一步地得以解決.

圖1

所以A′C=2AC，B′D=2BD，

所以Rt△A′CP∽Rt△B′DP，

所以∠CPA′=∠DPB′；B′，P，A′三點共線，

作OE⊥A′B′于點E，

因為A′B′為⊙O的弦，所以E為A′B′的中點，

設OE=d，0

設B′P為1份，則A′P為3份，

所以A′B′為4份，E為A′B′中點，

所以B′E為2份，從而PE為1份，

由0

即1

解法3利用橢圓可由圓均勻壓縮而得到，利用圓和相似三角形的性質，根據線段的相似關系，將問題轉化為利用m與圓心到圓的弦的距離d的關系，再由d的范圍，求出m范圍.解法3充分利用幾何直觀，借助視角化思維獲得了新的解法，運算過程也大為簡化.

3 數形結合，出奇制勝

以上三種解法，都有直覺觀察和邏輯推理的互動互補，但都是正向思維，能否利用數形結合進行逆向思維，找到更出奇制勝的奇妙解法呢？

圖2

由以上的證明，可將以上問題轉化為如圖2所示，在⊙O中，P是⊙O內異于圓心O的一定點，直線OP與⊙O交于兩點M、N，A是⊙O上的點，那么A在何處時，PA取最值？如圖2所示，在直線MN右側，點A在圓上按順時針運動到點A′，作直線l⊥PA，l交PA′于點C，在Rt△PAC中，PA

圖3

也可以如圖3所示，在直線MN右側，點A在圓上按逆時針運動到點A′，作直線l垂直于半徑OA，作PP′⊥l于點P′，顯然PC

圖4

亦可以如圖4所示，設∠NPA=θ，0≤θ≤π，設OP=m，⊙O的半徑為R，則m

在△POA中，由余弦定理得：

R2=x2+m2-2mxcosθ，

顯然，以x為自變量的函數是增函數.所以，當cosθ取最大值，即θ=0(點A在點N處)時，x最大，即PA最長；當cosθ取最小值，即θ=π(點A在點M處)時，x最小，即PA最短.

中學解析幾何的內容主要涉及數式表征和圖形表征，因此解題時，常要用到數形結合的思想.數形結合思想的具體應用中蘊涵著邏輯思維和直覺思維兩種重要的思維方式，在解題過程中，圖形與數式信息的相互作用不是一次就可以完成的，也不只是從圖形信息到數式信息或者從數式信息到圖形信息的單向流向，而是圖形信息與數式信息的相互補充和交互作用.

在解題教學中，不要為解題而解題，把學生變成解題的機器.教師應通過引導學生對簡單問題的深度思考，以問題為載體，把解題中蘊涵的數學思想方法和數學思維方式揭示出來，讓學生在解題中學會思考，領悟數學的核心素養，掌握數學的思維方式.