壓縮感知在圖像處理中的應用

吳江月

摘要：壓縮感知是最近幾年的研究熱點，有很多領域都與之相結合，既有創新也提高了效率。它是一種新的采樣理論，利用隨即采樣獲取一些包含全部信息的少量信號，然后使用非線性重建算法來恢復原始信息。將CS與圖像處理相結合，可以減少壓縮成本和采集數據的代價，提高圖像處理傳統技術的效率。該文主要對CS在圖像恢復中的應用進行研究，敘述了壓縮感知的理論，以及稀疏矩陣、矩陣填充、重構算法等。最后，與傳統的圖像恢復技術相比較，總結出存在的不足和改進，并對其未來的發展進行展望。

關鍵詞：圖像處理，圖像復原，壓縮感知

中圖分類號：TP18 文獻標識碼：A 文章編號：1009-3044（2019）04-0178-02

Abstract：Compression perception is a hot research topic in recent years. There are many fields combined with it， both innovation and efficiency are improved. It is a new sampling theory， which uses random sampling to obtain a small number of signals containing all the information， and then uses nonlinear reconstruction algorithm to restore the original information. The combination of CS and image processing can reduce the cost of compression and data acquisition， and improve the efficiency of traditional image processing technology. This paper mainly studies the application of CS in image restoration， and describes the theory of compression perception， sparse matrix， matrix filling， reconstruction algorithm and so on. Finally， compared with the traditional image restoration technology， Summarizes the existing shortcomings and improvements， and prospects for its future development.

Key words：Image processing； image restoration； compression perception

我們先了解一下以前圖像恢復理論，“老式壓縮圖像”是把原始圖像表示為不同“小波”的線性疊加，保留下那些強度較高的小波的系數，其他的小波系數都舍棄掉。舉個例子，假設原始的1024×2048圖像的自由度有一百萬個，那我們要想使用小波來完整的表示這個原始圖像就需要一百萬個小波，而且這些小波彼此都不一樣。但是小波理論認為只要圖像足夠稀疏，就可以進行壓縮，這個圖像就是一個有意義的典型的圖像；我們只需要利用一百萬中其中的五萬個小波就可以獲取完整的原始圖像的信息，剩下的九十五萬小波沒什么用，它們只是制造了很多觀測者基本上看不見的“噪聲”而已。（這也不是永遠適用，小波算法適合用來壓縮含有少量或者紋理不是很多的圖像，紋理較多的圖像一般不使用小波算法進行壓縮）。

既然一百萬個小波系數里只有五萬個小波系數是有效的，那我們只提取這五萬個小波系數并進行計算就可以。但是這五萬個小波系數在我們計算之前并不知道是哪些個，計算機更不知道，所以計算機執行時只能對所有的小波系數進行計算，從而把圖像轉換成基本小波，然后再根據需要保留其中有重要作用的五萬個，其余的舍棄。

綜上所述，如果要壓縮一個圖像，雖然需要壓縮圖像的全部信息，但是只需要對其中一部分進行存儲，所以壓縮感知在這方面可以很好地發揮作用。它的理論依據是：既然只需要五萬個小波就可以恢復整個圖像，那我們只做五萬次的測量與計算，不需要對所有的小波進行計算測量。

下面來簡單介紹一下壓縮感知與圖像處理的結合的難點。根據上面的描述，需要滿足兩個要求才可以實現采集少量數據就能恢復完整信息。第一個要求是要保證采集到的少量數據包含原始圖像的完整信息；第二個要求是需要設計一種可行性高的算法能把采集到的數據進行解壓得到完整的原始信息。

1 壓縮感知理論

眾所周知，壓縮感知是一種采樣理論，現在我們來了解一下它是一種怎樣的采樣理論。 先來說一下什么事采樣，采樣其實就是其字面意思，也就是取樣、抽樣的意思。采樣定理最先是由奈奎斯特推出并提出來的，所以它也叫奈奎斯特采樣定理， 后來 C. E.香農對這個定理進行了詳細的說明和引用，人們就又稱它為香農采樣定理。香農采樣定理是用來處理信號的一種定理，按照該定理的描述，采樣頻率和信號頻譜之間存在一種關系，通俗地講，就是當模擬/數字信號在轉換時，采樣頻率只要滿足比信號的最高頻率大且大于它的2倍這個條件，那么可以保證隨機采樣得到的樣本信號包含全部的原始信息。 壓縮理論是一種不同于它的新的采樣理論：在保證信號或圖像可以稀疏表示的前提下，先對信號或圖像的測量值進行采集，也就是建立觀測矩陣，然后選擇合適的重構算法對采集到的測量值進行重構，從而恢復完整的原始信號或圖像信息。

這樣一來，采樣不再被采樣頻率所限制，而且采樣獲得的數據量遠少于香農采樣定理的數據量。

想要獲得適合的信號的測量值，就要保證信號的稀疏性和非相關性；我們研究的是壓縮感知，所以要設計合適的觀測矩陣將信號壓縮，同時還要保證觀測矩陣包含原始信號的全部信息；最后就是要設計合適的重構算法從采樣的少量測量值中恢復出完整的信號的原始信息。

2 壓縮感知的約束條件

2.1 稀疏表示

因為壓縮感知是一種采樣理論，所以采樣的要求就是所采集的信號分布盡可能地稀疏或者圖像壓縮后的矩陣表示盡可能地稀疏，這樣才能保證采樣的隨機性，同時也能保證采樣能高效準確地采集到包含全部信息的信號。由此信號的稀疏表示或者圖像壓縮的稀疏矩陣成了壓縮感知的一個重要前提條件。

稀疏表示是近幾年隨著壓縮感知的興起而流行開來的一個研究熱門，它其實就是對原始信號進行分解。在圖像壓縮中，就是在圖像的壓縮矩陣中使用很少的信號來表示整個圖像的信息。

2.2 測量矩陣

壓縮感知的第二個約束條件就是測量矩陣。什么是測量矩陣呢？測量矩陣是可以自己構造的或者是已經存在的像隨機高斯矩陣，傅立葉變換矩陣，它主要構造出來可以和稀疏矩陣符合不相關性就可以。論文中很多都是根據研究來自己構造一個維度為mxn的測量矩陣，主要就是可以讓 x（原信號的維度N）降維為y（Mx1），因為N是遠遠大于M的。

目前測量矩陣被分為兩類，一類是隨機性的測量矩陣，一類是確定性的測量矩陣。隨機測量矩陣的例子有高斯隨機測量矩陣、傅立葉矩陣、二進制稀疏矩陣等，但由于隨機測量矩陣具有不確定性，需要進行大量實驗求平均，所以它的計算復雜度比較高，不推薦使用。現在對于測量矩陣的研究主要是對確定性測量矩陣的研究。確定性測量矩陣有循環矩陣、托普利茲矩陣等。

那測量矩陣有什么用處？一個好的測量矩陣的構建對測量值的獲取和圖像的恢復起著至關重要的作用，構造好一個合格的測量矩陣可以在任意一個稀疏圖像滿足在壓縮的過程中不丟失關鍵信息的前提下，高效精確的恢復出原始圖像。

2.3 重構算法

壓縮感知的第三個重要的約束條件是重構算法。它是一個重要的用來獲取結果的方法，重構算法可以使我們從采樣得到的樣本中重構出原有的全部信息或重構出原始圖像，主要有迭代閾值算法、凸優化算法、正交匹配追蹤算法、基追蹤算法等等。在該文中主要使用迭代閾值算法，接下來詳細介紹一下什么是迭代閾值算法。

正如它的名字一樣迭代閾值算法就是通過迭代來尋找閾值。迭代閾值算法又分為迭代硬閾值和迭代軟閾值兩類算法，在此主要介紹迭代硬閾值算法。迭代硬閾值算法是根據一個優化問題推導出來的，分為三個步驟來進行：向量初始化；設定迭代順序；執行迭代程序得出結果。

3 壓縮感知在圖像處理中的應用

壓縮感知已經在很多領域都有應用，比如說壓縮感知成像應用在光譜成像、雷達成像、醫療成像等等，還有應用于圖像的復原和去模糊，在圖像識別領域也有很好的應用。

本文主要針對圖像的復原與壓縮感知的結合進行研究。圖像復原的傳統算法有維納濾波復原、規則化濾波復原、盲去卷積復原等。本文主要把迭代閾值算法與圖像復原結合起來進行算法的改進與優化。

該實驗是把迭代硬閾值算法分別與維納濾波復原相結合、與規則化濾波復原相結合以及與盲目卷積復原相結合，通過結合發現，迭代硬閾值算法分別提高了這三種復原算法的效率，如下圖所示。

4 結束語

壓縮感知在圖像處理中的應用技術現在還不是很成熟，有待提高和發展。在理論方面，壓縮感知和圖像處理的結合是可行的，但是稀疏表示、測量矩陣的建立、算法重構等還有待深入的研究；在應用方面，由于理論上的結合還不是很成熟，所以實際操作時與預期目標還是有較大的差距。但是，只要我們繼續深入鉆研，CS會被我們很好的應用起來，提升它的潛在的發展空間。

參考文獻：

[1] 陳權崎，章毓晉.一種改進的基于樣本的稀疏表示圖像修復方法.第十五屆全國圖像圖形學學術會議論文集[C].2010.

[2] 章毓晉.圖像處理[M].北京： 清華大學出版社，2012.

[3] 潘蓉，高有行. 基于小波變換的圖像水印嵌入方法[J].中國圖像圖形學報，2002（7）.

[4] 景敏.數字圖像處理技術的應用與發展[J].科技信息，2010（8）.

[5] 孫玉蘭.數字圖像處理技術的應用現狀與發展研究[J].電腦知識與技術，2014（8）.

[6] 王嬙.數字圖像處理技術的應用及前景展望[J].現代交際，2015（9）.

[7] 任越美，張艷寧，李映.壓縮感知及其圖像處理應用研究進展與展望[J].自動化學報，2014（9）.

[8] 趙玉娟，鄭寶玉，陳守寧.壓縮感知與矩陣填充及其在圖像處理中的應用[J].南京郵電大學報，2015（9）.

[9] 石光明，劉丹華，高大化，等.壓縮感知理論及其研究進展[J].電子學報，2009（6）.

[10] 戴瓊海，付長軍，季向陽.壓縮感知研究[J].計算機學報，2011（4）.

[11] 練秋生，陳書貞.基于混合基稀疏圖像表示的壓縮傳感圖像重構[J].自動化學報，2010（4）.

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