變網格波動方程高階有限差分正演模擬研究

段宏凱 張曉丹 佘翼翀 謝寶林 楊白雪

摘要：在地震波場數值模擬中，如何使計算結果兼備高效性與準確性一直是地震勘探學者研究的熱點之一. 為保證計算精度，傳統方法采用統一的較小步長進行有限差分計算，嚴重降低了正演模擬的計算效率.提出了一種根據地質模型特點對不同的速度層采用不同尺度網格，并優化過渡帶的方法，首先，分析研究對象的速度模型從而確定多尺度網格劃分規則，其次，確定過渡帶范圍，最后，求取過渡帶內外各點波場系數與差分點數，最終獲得整個模型網格點的波場值. 通過文中的實驗結果可見，在保證與常規網格方法模擬精度不變的前提下，使用多尺度網格方法進行數值模擬的計算效率明顯提高，就本文的算例而言，平均可以達到25.16%.

關鍵詞：多尺度網格；步長；過渡帶；波場模擬；計算效率

中圖分類號：P631 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2019）07-0252-03

現代油氣勘探面臨著向地表更復雜更深層區域推進的現狀，這就對地震資料的采集，處理和解釋提出了更高的要求。數值模擬方法因其經濟性和準確性，得到了廣泛的應用. 常用的數值模擬方法有偽譜法，有限差分法，有限元法，有限差分法以其算法易于實現，運算速度較快，模擬結果分辨率高等優點獲得了廣泛應用[1]. 傳統有限差分是基于統一尺度的矩形網格進行空間劃分，均是以固定的網格步長對整個模型區域進行離散化處理[2]，但是在復雜的地質體和巖性構造區域，介質分布是高度不均勻的，而且這些介質通常都是帶有低速夾層，這些精細巖層需要用更小采樣間隔來提高模擬精度，抑制頻散和保障穩定性[3]. 但是整個模型區域剖分越細，計算量會成倍增加，從而極大地降低了模擬效率，并且高速層會出現過采樣.為解決以上問題，有的學者采用提高差分階數的方法來避免頻散：岳曉鵬[4]使用時間4階、空間2N階差分進行正演模擬，李斌[5]在時間域和空間域都使用高精度差分，提高了正演模擬精度；有的學者則從交錯網格入手，Wei-Zhong Wang[6]提出了多尺度旋轉交錯網格，降低了計算時間，Hongyong結合極小極大近似和泰勒級數展開，提出了最優變網格有限差分，王建[7]使用余弦函數修正二項式窗改進的交錯網格進行數值模擬，有效控制了數值頻散；還有的學者另辟蹊徑，馬吉浩[8]]綜合了不同的地震資料進行了正演模擬，梁全文[9]使用改進的線性方法確定新模板的有限差分系數，并提高了計算精度. 以上學者都采用固定大小的網格進行模擬，因此，一些學者通過改變網格步長來解決頻散問題：Moczo首次使用網格連續變化的方法來減少計算量，提高數值模擬的效率，1994年，Jastram和Behle[10]提出了二維聲波方程針對某一深度變網格步長的算法，張劍鋒[11]基于彈性波應力-速度方程給出了交錯計算應力及速度的非規則網格差分法，黃超和董良國[12]通過將變化的空間網格與變化的時間步長技術相結合，提出了一種空間網格大小與時間步長均可任意變化的高階有限差分模擬方法. 上述的算法，使計算效率和存儲空間的使用情況都有了較大的改進，但在進行計算時，在網格步長突變處的鄰域存在著一個過渡帶，這些算法中一部分是對過渡區域進行插值，這會增加算法的不穩定性，另一些是使用平滑函數對過渡帶區域進行平滑，但這樣使差分算法更難實現。因此，本文提出了一種無須在過渡帶進行插值的多尺度網格算法，能夠有效地解決上述問題.

1 波動方程及其差分格式

4 總結

通過實驗驗證，由于在低速區域使用小步長網格進行采樣，并在過渡帶引入了對稱的有限差分法，較之傳統有限差分法，多尺度網格步長有限差分平均減少計算時間25.16%，平均節省儲存空間21.89%。因此，多尺度網格步長有限差分算法具有以下特點：使得使用小步長網格采樣的模型內存需求量降低；計算效率明顯提高；無須在過渡帶進行插值，有效地避免了由插值引起的誤差累積. 因而對含有層狀速度地層、階梯狀地層進行數值模擬時有均良好的效果.

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【通聯編輯：梁書】