巧解四邊形問題

張培培

中考對四邊形的考查，大多以特殊四邊形為媒介，考查線段、角等問題。下面，我們一起來研究兩種特殊四邊形背景下的問題。

一、矩形背景

例1 將矩形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)a°（0＜a＜360）得到矩形AEFG。

（1）如圖1，當(dāng)點E在BD上時，求證：FD=CD。

（2）當(dāng)a為何值時，GC=GB？畫出圖形并說明理由。

圖1

【考點】矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)與判定、分類討論思想。

【解析】（1）見圖2，由旋轉(zhuǎn)及矩形性質(zhì)可知AD=EF，AE=AB，∠AEF=∠BAD=90°。因為AE=AB，所以∠1=∠2，∠1+∠FED=90°，∠2+∠ADE=90°，因此∠FED=∠ADE，從而△AED≌△FDE（SAS），則DF=AE=CD。

圖2

（2）由GB=GC知點G位于BC的垂直平分線上，即在AD的垂直平分線上，觀察圖形可知有兩種存在狀態(tài)：（見圖3）點G在AD右側(cè)，旋轉(zhuǎn)角α=∠DAG=60°；（見圖4）點G在BC左側(cè)，旋轉(zhuǎn)角α=360°-∠DAG=300°。

圖3

圖4

【點評】求證兩條線段相等，出發(fā)點有很多，如“等角對等邊”（在同一個三角形中）、“共點共線”找中點、找全等三角形、構(gòu)造新的特殊四邊形等，需要視問題以及兩條線段的存在狀態(tài)而做選擇。

二、正方形背景

例2 如圖4所示，在正方形ABCD的對角線上取點E，使得∠BAE=15°，連接AE、CE。延長CE到F，連接BF，使得BC=BF。若AB=1，則下列結(jié)論：①AE=CE；②F到BC的距離為；③BE+EC=EF；④S；⑤S=△EBF。其中正確的是 。

圖4

【考點】正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、三角形的面積、解直角三角形。

【解析】見圖5。

易證△ABE≌△CBE（SAS），則AE=CE。故①正確。

過F作FH⊥BC，交BC的延長線于H，F(xiàn)H的長度即為F到BC的距離。根據(jù)外角性質(zhì)，得到∠FBH=30°，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，求出FH=BF=BC=。故②不正確。在EF上取點N，使得EN=BE，則BE+EC=NE+EC=NC，問題轉(zhuǎn)化為求證NC=EF。由∠BEN=60°，得出△NBE為等邊三角形。易證△FBE≌△CBN，得EF=NC=EC+BE。故③正確。

求△AED的面積，需要選擇合適的底和高。在三角形ADE中，作AM⊥DE于M，已知邊AD=1，∠ADE=45°，可以得到AM=DM=，此

過點E，作AD邊上的高EG，延長EG，交BC于Q。根據(jù)等積法，可得E。故⑤正確。

綜上所述，正確答案為①③⑤。

圖5

【點評】本題知識點多，綜合性強，是中考壓軸題。綜合運用這些性質(zhì)進行證明是解此題的關(guān)鍵。對于③，由于圖形的特殊性，截長法和補短法找到的是同一個N點。在解題技巧上，同學(xué)們應(yīng)注意，系列性問題的幾個小問之間往往是相輔相成的，如①③的全等三角形對④⑤的面積計算均有幫助。另外，根據(jù)圖形本身的特殊性，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵。