密立根油滴實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)處理方法研究

袁哲誠，王寬亮，陸李威，徐哲真，許 飛，羅鍛斌

(華東理工大學(xué) 理學(xué)院 物理系，上海 200237)

美國物理學(xué)家密立根利用自己設(shè)計制作的儀器，通過對帶電微小油滴電量的準(zhǔn)確測量，證實(shí)了油滴電荷量的不連續(xù)性，即所有電荷量均為元電荷的整數(shù)倍，同時通過實(shí)驗(yàn)確定了元電荷的量值. 密立根在油滴實(shí)驗(yàn)中采用宏觀的力學(xué)模式(油滴的受力分析)來研究微觀世界的量子特性(電荷的不連續(xù)性)，相關(guān)物理量的數(shù)量級跨度達(dá)到1020，數(shù)據(jù)的精確與結(jié)果的穩(wěn)定令人震撼. 密立根油滴實(shí)驗(yàn)中所包含的實(shí)驗(yàn)構(gòu)思與實(shí)驗(yàn)技巧，也堪稱近代物理實(shí)驗(yàn)的經(jīng)典. 目前，密立根油滴實(shí)驗(yàn)已經(jīng)成為很多高校大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)的必做經(jīng)典實(shí)驗(yàn)[1-3].

1 現(xiàn)有密立根油滴實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法的缺陷

密立根在油滴實(shí)驗(yàn)中通過求各油滴電荷值的最大公約數(shù)的方法來確定油滴的電荷數(shù). 但在實(shí)驗(yàn)教學(xué)過程中，由于所得到的油滴的電量并非整數(shù)而且有測量誤差，因此直接計算少量油滴電荷量的最大公約數(shù)是不現(xiàn)實(shí)的做法. 目前大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中密立根油滴實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)處理，主要是采用“倒過來驗(yàn)證”的方法，即用公認(rèn)的電子電荷e=1.602×10-19C去除實(shí)驗(yàn)測得的電荷量q，得到接近于某一整數(shù)的數(shù)值，這個整數(shù)就是油滴所帶的元電荷的數(shù)目n，再用n去除實(shí)驗(yàn)測得的電荷量q，即得到電子的電荷e[1-3]. 這種方法可較快地處理數(shù)據(jù)，是實(shí)驗(yàn)教學(xué)中應(yīng)用較普遍的方法，但其顛倒了因果關(guān)系，學(xué)生無法體會到實(shí)驗(yàn)設(shè)計的目的和意義. 用這種方法處理數(shù)據(jù)，只能作為實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，而且在實(shí)驗(yàn)中不宜選用帶電量比較多的油滴. 正因?yàn)槿绱耍芰⒏偷谓虒W(xué)實(shí)驗(yàn)中的數(shù)據(jù)處理問題是實(shí)驗(yàn)教學(xué)研究關(guān)注的問題之一[4-14]. 除了“倒過來驗(yàn)證”法， 還有最小速度差值法[4]、油滴電量逐次相減法[5-6]、油滴電量平均值逐次相減法[7]、平衡電壓與下落時間隱函數(shù)關(guān)系法和電量概率統(tǒng)計直方圖法等數(shù)據(jù)處理方法[8-13]. 上述方法針對特定的數(shù)據(jù)量有各自的優(yōu)點(diǎn). 通過對大量油滴電荷數(shù)據(jù)的概率統(tǒng)計[9-10]發(fā)現(xiàn)，這些處理方法中，對電荷間隔的取值均沒有明確的依據(jù)和說明，而且不同電荷分布區(qū)域的峰值的取值均采用簡單的取平均值方法.

針對這些問題，在大量油滴電量數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，先利用極端數(shù)據(jù)剔除法找到最佳的電荷量分割區(qū)間，然后再用聚類分析方法確定不同電荷量區(qū)間實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分布的中心. 利用上述數(shù)據(jù)處理方法，可以得到比較好的元電荷的量值.

2 元電荷分布的取數(shù)最佳區(qū)間確定(極端數(shù)據(jù)剔除法)

利用此方法對實(shí)驗(yàn)所得到的1 016個數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，最終計算得到合適的油滴電荷量取值間隔為0.029×10-19C. 這一間隔依賴于實(shí)驗(yàn)中所用的油滴數(shù)和油滴所帶的電荷量. 參考文獻(xiàn)[9-10]中用了取值間隔為0.02×10-19C，但未說明取此值的緣由，而且不同的油滴數(shù)和油滴電量取相同的間隔是不合理的. 用油滴電荷量取值間隔為0.029×10-19C這一數(shù)值整理油滴數(shù)的分布，結(jié)果如圖1所示.

從圖1可以看到，圖中有比較明顯的5個峰值區(qū)域，各峰的順序和參量如表1所示，表中i為(由原點(diǎn)起)峰的序號，qi為峰頂對應(yīng)電荷量，N為油滴出現(xiàn)次數(shù).

表1 油滴電荷分布統(tǒng)計

圖2 元電荷個數(shù)與油滴電荷量的關(guān)系圖

從表1中數(shù)據(jù)可以估算，相鄰峰值電荷量之差應(yīng)為元電荷，由于所帶電量必為元電荷的整數(shù)倍，直接對表1數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合，得到結(jié)果如圖2所示. 直線的斜率1.525×10-19C即為元電荷的值，與公認(rèn)值e=1.60×10-19C的相對偏差為4.7%.

上述方法是直接取各數(shù)據(jù)局域區(qū)域的峰值來計算元電荷，因而帶有一定主觀性. 為了充分利用大量的數(shù)據(jù)，同時給出合理的尋找數(shù)據(jù)分布中心的方法，嘗試?yán)镁垲惙治鰧ι鲜鰯?shù)據(jù)進(jìn)行重新處理.

3 利用聚類分析確定實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分布中心

聚類分析是一種常用的無監(jiān)督學(xué)習(xí)的機(jī)器學(xué)習(xí)方法，它可以將線性可分的數(shù)據(jù)劃分成指定數(shù)量的目標(biāo)類別. 而密立根油滴實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)是一維線性可分并且無監(jiān)督的，所以嘗試?yán)镁垲惙治鲋凶畛Ｓ玫膋-means聚類分析[15]將數(shù)據(jù)進(jìn)行分割，從而對包含不同元電荷的數(shù)據(jù)進(jìn)行了區(qū)別和分類，同時也選取聚類中心作為該類所帶元電荷的值.

在圖1中可發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)普遍集中在2×10-19～8.5×10-19C的數(shù)值區(qū)間，并且呈現(xiàn)出4個峰值的分布狀態(tài). 因?yàn)槿舨煌悇e的數(shù)據(jù)量存在較大差異，則k-means聚類分析的誤差較大，所以選取該連續(xù)分布且數(shù)據(jù)量密集的數(shù)值區(qū)間進(jìn)行分析. 利用SPSS軟件的k-means聚類分析功能，讓k=4，將2×10-19～8.5×10-19C數(shù)值區(qū)間的數(shù)據(jù)進(jìn)行聚類. 由于數(shù)據(jù)是準(zhǔn)連續(xù)分布的，故聚類結(jié)果為各個元電荷的累積疊加，即若第i個聚類中心所包含的元電荷數(shù)為Ne，則第i+1個聚類中心所包含的元電荷數(shù)為Ne+1. 各聚類中心排序后，各個相鄰中心之間的差值應(yīng)接近單位元電荷的數(shù)值，故可估計出各聚類中心大致所含的元電荷數(shù)，結(jié)果如表2所示,其中q為所帶電荷量,Ne為聚類中心所帶元電荷數(shù).

表2 各聚類中心油滴電荷分布統(tǒng)計

由于所帶電量必為元電荷的整數(shù)倍，對各點(diǎn)進(jìn)行線性擬合，得到結(jié)果如圖3所示. 直線的斜率為1.527 1×10-19C即元電荷的值，與公認(rèn)值e=1.60×10-19C相對偏差為4.6%，并且也顯示了電荷電量的量子性.

圖3 利用聚類分析確定的元電荷個數(shù)與油滴電荷量的關(guān)系圖

4 結(jié) 論

在大量油滴電荷數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，先利用極端數(shù)據(jù)剔除法找到最佳的電荷量分割區(qū)間. 電荷量分割區(qū)間的選取與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)量相關(guān)，因此相對于已有文獻(xiàn)工作，本文提供了在大量油滴電荷數(shù)據(jù)中找出電荷量分割區(qū)間的方法. 找到最佳的電荷量分割區(qū)間后，用峰值法和聚類分析方法確定不同電荷量區(qū)間實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分布的中心. 峰值法簡單直觀，但有一定主觀性；而聚類分析方法則是基于大量數(shù)據(jù)分布特點(diǎn)的機(jī)器學(xué)習(xí)方法. 利用上述2種尋找中心方法，均可得到較好的元電荷的量值，用峰值法和聚類分析方法得到的元電荷量值的相對偏差分別為4.7%和4.6%，滿足實(shí)驗(yàn)要求.