液體表面駐波的演示和駐波波長(zhǎng)的測(cè)量

盧桂林，鐘浩源，譚鋁平，翟若迅，白在橋

(北京師范大學(xué) 物理學(xué)系,北京 100875)

在物理教學(xué)中，水波經(jīng)常被用來(lái)演示一般的波動(dòng)規(guī)律，比如波的干涉和衍射. 水波的定量測(cè)量比較復(fù)雜[1-4]，一般需要水槽和造波裝置[5-6]. 本文提出簡(jiǎn)便的水波駐波觀察和測(cè)量方法：將透明亞克力平板切割成一定形狀和尺寸的承液板，把液體鋪在承液板上，在表面張力作用下形成1層液膜，將驅(qū)動(dòng)承液板放置在振動(dòng)臺(tái)上，使之上下微幅振動(dòng). 在合適的驅(qū)動(dòng)頻率下，液膜表面可形成穩(wěn)定的駐波圖樣. 由于沒(méi)有水槽壁的摩擦，波在液膜邊界的反射系數(shù)更高，產(chǎn)生的駐波圖樣更完整、清晰. 該方法既可以演示不同形狀液膜的駐波圖樣，也可以定量測(cè)量液體毛細(xì)波的色散關(guān)系，進(jìn)而得到液體的表面張力系數(shù).

1 理論分析

1.1 水波的色散關(guān)系

水波的回復(fù)力包括重力和表面張力，水波的波速與波長(zhǎng)和水深都有關(guān)系. 水波振幅比較小時(shí)，忽略高階效應(yīng)，線性水波的色散關(guān)系為

(1)

其中，ω為角頻率，k為波數(shù)，g,σ,ρ,h分別為重力加速度、液體表面張力系數(shù)、液體密度和液體深度. (1)式的推導(dǎo)可參見(jiàn)文獻(xiàn)[7].

1.2 駐波圖樣

用前述的方法得到的水膜厚度約為3 mm，而平板的尺度在10 cm，因此除了弧形的邊緣部分，水膜可認(rèn)為厚度均勻. 液膜上駐波圖案對(duì)應(yīng)于水波方程在給定邊界條件下的本征函數(shù). 但邊界條件的數(shù)學(xué)形式并不容易確定，精確的駐波形式不易計(jì)算. 不過(guò)駐波產(chǎn)生的機(jī)制并不復(fù)雜：水波在液膜邊界反射改變方向，不同行進(jìn)方向的行波疊加而形成駐波. 對(duì)于幾種簡(jiǎn)單形狀的液膜，可以結(jié)合實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象寫出其駐波形式. 對(duì)于正方形水膜，駐波形式為

u(x,y,t)=C[cos (kx)+cos (ky)]cos (ωt).

(2)

對(duì)于正三角形或正六邊形水膜，駐波形式為

(3)

其中(ki,qi)=k[cos (iπ/3),sin (iπ/3)]，C為常量. 這里ω和k滿足色散關(guān)系(1)式，而且只能取由液膜形狀確定的離散值.

為便于理解，用Matlab畫出2種駐波圖樣，見(jiàn)圖1和圖2. 圖中黃色代表波峰，藍(lán)色代表波谷，隨時(shí)間推移，波峰和波谷位置周期性互換.

圖1 正方形水膜上的駐波圖樣

(a)t=0

(b)t=π圖2 正三角形和正六邊形水膜上的駐波圖樣

需要指出的是，對(duì)于正方形水膜上的駐波，峰值點(diǎn)和谷值點(diǎn)各形成正方點(diǎn)陣，每套點(diǎn)陣相差1個(gè)平移，空間周期都是λ=2π/k. 而正三角形或正六邊形水膜上的駐波圖樣則不然，峰值和谷值形成的點(diǎn)陣形狀并不相同，分別為正三角形點(diǎn)陣和類似蜂窩狀網(wǎng)格.

1.3 駐波成像

由于液體透明而且駐波的振幅很小，不便于直接觀察. 1束平行光透過(guò)液膜，液膜表面波可以看成若干凸透鏡(波峰)與凹透鏡(波谷)的組合，其中凸透鏡可以使光束會(huì)聚，在觀察屏上形成亮點(diǎn)或亮線(見(jiàn)圖3).

圖3 水波波峰成像示意圖

假設(shè)液膜按(2)式振動(dòng). 當(dāng)cos (ωt)=1時(shí)，振幅達(dá)到最大，此時(shí)原點(diǎn)處有1個(gè)峰值. 當(dāng)x,y趨于0時(shí)，

其中n=1.33為水的折射率. 若fmin=16 cm，代入實(shí)驗(yàn)的典型值k=1 000 m-1，得到振幅2c=0.038 mm，遠(yuǎn)小于液膜厚度.

2 實(shí)驗(yàn)裝置和實(shí)驗(yàn)方法

2.1 實(shí)驗(yàn)裝置

實(shí)驗(yàn)裝置包括振動(dòng)臺(tái)、液膜和投影光路3部分，實(shí)物圖和示意圖分別見(jiàn)圖4和圖5.

由于實(shí)驗(yàn)需要的振幅很小，選用4個(gè)4寸低音揚(yáng)聲器作為振動(dòng)源. 用1塊挖去4個(gè)圓孔的平板將揚(yáng)聲器的相對(duì)位置固定，并放置在裝有調(diào)平地腳的平臺(tái)上. 信號(hào)發(fā)生器輸出正弦波，經(jīng)功率放大器后串聯(lián)通過(guò)4個(gè)揚(yáng)聲器，保證它們同步振動(dòng). 將邊長(zhǎng)16 cm的正方體支架的4個(gè)腳分別放在4個(gè)揚(yáng)聲器的振膜上. 平臺(tái)和支架均由透明亞克力板切割粘接制成.

承液板用透明亞克力板切割而成. 雖然液膜的厚度不能調(diào)節(jié)，但由于激光切割的便利性，水膜的形狀和尺寸很容易改變，方便研究邊界形狀對(duì)液膜駐波圖樣的影響. 將承液板放在正方體支架的上表面. 支架內(nèi)部放置傾斜角為45°的平面反射鏡. 支架前表面粘1張硫酸紙作為投影屏，如圖5所示.

圖4 實(shí)驗(yàn)裝置實(shí)物圖

圖5 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

實(shí)驗(yàn)用激光做投影光源. 激光經(jīng)擴(kuò)束和平面鏡反射后從正上方垂直照射到液膜上，然后經(jīng)過(guò)正方體支架內(nèi)部的反射鏡，投射在屏上. 屏到液膜的光路約為16 cm. 由于視覺(jué)暫留現(xiàn)象，如果保持光源常亮，人眼看到的圖案是不同振動(dòng)相位的疊加效果. 為了克服視覺(jué)暫留，實(shí)驗(yàn)采用的激光器有輸出調(diào)制功能. 采用與振動(dòng)信號(hào)同頻率而且相位差和寬度都可調(diào)的脈沖信號(hào)調(diào)制激光輸出，可以觀察到特定相位的駐波圖案，同時(shí)也提高了顯示圖像的對(duì)比度.

2.2 實(shí)驗(yàn)方法

在完成水平調(diào)節(jié)以及液膜準(zhǔn)備之后，操作步驟為：

1)保持光源常亮，調(diào)節(jié)振動(dòng)臺(tái)驅(qū)動(dòng)信號(hào)頻率，找到液膜共振頻率，調(diào)節(jié)驅(qū)動(dòng)振幅，使投影屏上的圖案盡量清晰.

2)將光源調(diào)制信號(hào)頻率調(diào)至振動(dòng)臺(tái)頻率，調(diào)節(jié)相位延遲與脈沖寬度，觀察液膜振幅最大時(shí)刻對(duì)應(yīng)的駐波圖樣，完成需要的測(cè)量.

重復(fù)步驟1)和2)，完成一系列共振模式的觀察和測(cè)量.

為了實(shí)驗(yàn)方便，并提高測(cè)量精確度，利用攝像頭采集圖像，并用LabVIEW編寫控制和測(cè)量程序. 圖6為L(zhǎng)abVIEW程序的前面板，主要分為5個(gè)區(qū)域：Ⅰ區(qū)為攝像頭采集到的成像圖，由于使用激光的波長(zhǎng)為532 nm，程序做了簡(jiǎn)單的圖像處理，只顯示綠色分量，這樣可以濾除環(huán)境雜光. Ⅱ區(qū)為控制部分，通過(guò)VISA控制信號(hào)發(fā)生器，調(diào)節(jié)振源頻率、振幅、振源與光源調(diào)制信號(hào)的頻率差、調(diào)制信號(hào)的相位和占空比. Ⅲ區(qū)控制圖像的測(cè)量區(qū)域，在采集圖像的特定位置選取矩形區(qū)域. 程序?qū)⑺x區(qū)域的光強(qiáng)按垂直方向求和，得到一維光強(qiáng)分布. 然后對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行低通濾波(相當(dāng)于長(zhǎng)時(shí)間取平均)，結(jié)果在Ⅳ區(qū)用圖形顯示，圖中每個(gè)峰值代表Ⅰ中矩形框中的1條亮線. 圖形顯示控件有若干光標(biāo)，左右移動(dòng)可以對(duì)峰值定位. 光標(biāo)位置坐標(biāo)在Ⅴ區(qū)顯示.

圖6 控制測(cè)量前面板

在做圖像測(cè)量之前需要進(jìn)行長(zhǎng)度定標(biāo). 定標(biāo)采用圖7所示的定標(biāo)板，由多條平行的透光縫組成，縫間距為5 mm. 將定標(biāo)板放液膜的位置，測(cè)量圖像中亮條紋的位置，定出標(biāo)度系數(shù).

圖7 定標(biāo)狹縫板

3 結(jié)果與分析

3.1 駐波演示

圖8為不加光源調(diào)制時(shí)一些液膜上的駐波投影圖，其中正方形板得到正方形網(wǎng)格，圓形板得到同心圓圈，三角形和六邊形板均得到正六邊形蜂窩狀網(wǎng)格加中心亮點(diǎn)圖案.

(a)正方形板 (b)圓形板

(c)六邊形板 (d)三角形板圖8 未經(jīng)激光調(diào)制的成像圖

用與振源同頻率、占空比為10%的脈沖調(diào)制光源輸出，在合適的相位差下，得到清晰的駐波圖案，結(jié)果見(jiàn)圖9. 與不加調(diào)制的圖像相比，調(diào)制后的圖案更清晰、對(duì)比度更高. 圖9(a)和9(b)中亮線數(shù)目減半. 圖9(c)和9(d)中，正三角形和正六邊形板的圖案由圖8(c)和8(d)分裂為六邊形蜂窩狀網(wǎng)格和三角形格點(diǎn)2套圖案，這與Matlab模擬結(jié)果一致.

(a)正方形板 (b)圓形板

(c)六邊形板

(d)三角形板圖9 經(jīng)激光調(diào)制的成像圖

3.2 駐波波長(zhǎng)測(cè)量

使用正方形液膜，調(diào)節(jié)振源頻率得到一系列共振，記錄信號(hào)發(fā)生器頻率f，并從對(duì)應(yīng)駐波圖案中測(cè)出波長(zhǎng)λ(定標(biāo)系數(shù)為0.087 3 mm/pixel). 自來(lái)水和肥皂水的測(cè)量結(jié)果見(jiàn)表1.

表1 水波的頻率與波長(zhǎng)

用ω2-gk與k做雙對(duì)數(shù)圖，擬合結(jié)果見(jiàn)圖11. 自來(lái)水?dāng)?shù)據(jù)的斜率為3.03，肥皂水?dāng)?shù)據(jù)的斜率為3.38， 斜率與理論值基本符合. 自來(lái)水的數(shù)據(jù)與理論更符合，這可能是肥皂水表面張力系數(shù)小，低頻時(shí)容易引起非線性效應(yīng)造成的.

圖10 自來(lái)水和肥皂水的色散曲線

圖11 ln (ω2-gk)與lnk的關(guān)系

4 結(jié)束語(yǔ)

直接觀察鋪在透明亞克力板上的水膜(相當(dāng)于1顆扁平的大水滴)上的駐波，通過(guò)光學(xué)方法將駐波圖樣投影在屏幕上，可以演示不同的駐波圖案，并且可以測(cè)量毛細(xì)波的色散關(guān)系. 承液板容易加工成不同的形狀與尺寸，方便進(jìn)行設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)，探究液膜邊界對(duì)波動(dòng)的影響. 通過(guò)光源調(diào)制，可顯示不同時(shí)刻的駐波圖樣. 基于圖像的測(cè)量系統(tǒng)，操作簡(jiǎn)便而且結(jié)果比較準(zhǔn)確. 與克拉尼圖形實(shí)驗(yàn)相互參照，該裝置可用來(lái)演示二維駐波，也可以作為液體表面張力系數(shù)的測(cè)量裝置，引入大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué).