幾種主要拓?fù)鋬?yōu)化建模方法的分析對(duì)比及展望

王 曦 ，趙重年 ，李昊天 ，王 亮

（1．陸軍軍事交通學(xué)院研究生隊(duì)，天津300161；2．陸軍軍事交通學(xué)院軍事交通運(yùn)輸研究所，天津 300161）

1 概述

結(jié)構(gòu)優(yōu)化可分為尺寸優(yōu)化（Size Optimization）、形狀優(yōu)化（Shape Optimization）和拓?fù)鋬?yōu)化（Topology Optimization）三個(gè)層次[1]。其中，拓?fù)鋬?yōu)化也稱布局優(yōu)化，是根據(jù)負(fù)載情況、約束條件（如應(yīng)力、位移、頻率和重量等）和性能指標(biāo)（剛度、重量等），利用有限元分析和優(yōu)化方法，使設(shè)計(jì)域達(dá)到最優(yōu)材料布局的一種結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法[2]。

工程中，結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的一般過(guò)程是按照從概念設(shè)計(jì)到詳細(xì)設(shè)計(jì)的方式進(jìn)行的，即通過(guò)分析約束條件，進(jìn)行拓?fù)湓O(shè)計(jì)，確定出構(gòu)件的大致形狀，之后再根據(jù)具體的目標(biāo)要求（如經(jīng)濟(jì)成本、空間布局、材料選取、工藝制造等要求）進(jìn)行形狀優(yōu)化和尺寸優(yōu)化等詳細(xì)設(shè)計(jì)。三者可以建立在同一產(chǎn)品從論證分析到設(shè)計(jì)定型的一整套系統(tǒng)中，也可以作為單獨(dú)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法應(yīng)用在已成型的某件產(chǎn)品中，進(jìn)行優(yōu)化改進(jìn)。

根據(jù)設(shè)計(jì)對(duì)象，拓?fù)鋬?yōu)化可分為離散結(jié)構(gòu)和連續(xù)體結(jié)構(gòu)兩種[3]。由于連續(xù)體結(jié)構(gòu)應(yīng)用廣泛，本文主要介紹幾種常見的連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法。

2 連續(xù)體的拓?fù)鋬?yōu)化的方法

結(jié)構(gòu)的優(yōu)化一般分為兩個(gè)核心步驟，模型建立和數(shù)值求解。目前，用于求解模型的各數(shù)值方法已趨于成熟，本文不做介紹。

2.1 均勻化法

1988年，Bendsoe和 Kikuchi[4]針對(duì)連續(xù)體結(jié)構(gòu)提出均勻化法，開創(chuàng)了連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的新時(shí)代，其主要思想是在離散的設(shè)計(jì)域內(nèi)用一種孔洞微結(jié)構(gòu)代替原先的實(shí)體單元，并將描述孔洞的參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量，以單元內(nèi)孔洞大小描述材料有無(wú)，通過(guò)微結(jié)構(gòu)的參數(shù)，來(lái)控制宏觀結(jié)構(gòu)在各個(gè)單元處的材料取舍，從而得到目標(biāo)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)優(yōu)化[5]。

為了在設(shè)計(jì)變量與材料屬性之間建立起可計(jì)算的數(shù)學(xué)關(guān)系，使結(jié)構(gòu)的優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基于設(shè)計(jì)變量取值的數(shù)學(xué)問(wèn)題，人為構(gòu)造一個(gè)材料與設(shè)計(jì)變量的關(guān)系式。

式中，a，b為微結(jié)構(gòu)內(nèi)矩形孔洞的尺寸參數(shù)，θ為描述孔洞位置的角度參數(shù)，R為關(guān)于角度變量的一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣，其具體推導(dǎo)過(guò)程讀者可參考文獻(xiàn)[6]。以最小柔度C（u）為目標(biāo)函數(shù)的拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題可表述為如下公式。

均勻化法發(fā)展最早，是連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化開創(chuàng)性的成果，由其求解過(guò)程可看出，均勻化法有著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)理論基礎(chǔ)和良好的收斂性，物理意義明確，原理簡(jiǎn)單易懂。但也由于設(shè)計(jì)變量較多而造成計(jì)算過(guò)于繁瑣，且計(jì)算結(jié)果中會(huì)出現(xiàn)中間密度單元等問(wèn)題，不符合實(shí)際生產(chǎn)要求。然而，這并不影響均勻化法在拓?fù)鋬?yōu)化中的重要地位，因?yàn)樗茴A(yù)測(cè)理論上的最佳性能結(jié)構(gòu)[6]。目前，對(duì)比與其余方法一般只能優(yōu)化單一材料結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，均勻化法較多的應(yīng)用于復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的優(yōu)化。

2.2 變密度法

變密度法是根據(jù)均勻化法改進(jìn)而來(lái)，由Sigmund[7]于1994年提出。其基本思想是定義一種密度可變的材料單元，并用這種單元代替均勻化法中的帶孔微結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)變量?jī)H為相對(duì)密度。將相對(duì)密度的取值定義在（0，1）區(qū)間內(nèi)，則該問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)“0-1”問(wèn)題：0代表孔洞，1代表實(shí)體。

為避免中間密度單元的出現(xiàn)，在建立人工材料與設(shè)計(jì)變量的關(guān)系時(shí)，要引入一個(gè)懲罰函數(shù)f（xi），如公式（3），使變量的中間取值向兩端靠近。

式中，Ei表示每個(gè)單元的彈性模量，Emin表示所有單元中最小的彈性模量，E0為初始設(shè)計(jì)域的彈性模量。

目前，變密度法中應(yīng)用最廣泛的插值模型有兩種：Sigmund等[8]提出的SIMP模型，如公式（4）和STOLPE等[9]提出的RAMP模型如公式（5）。兩種模型通過(guò)引入懲罰系數(shù)，使得變量更快的逼近端點(diǎn)值。

變密度法在均勻化法基礎(chǔ)上提出，是對(duì)均勻化法的簡(jiǎn)化，在繼承了其數(shù)學(xué)理論嚴(yán)謹(jǐn)和物理意義明確等優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)，簡(jiǎn)化了設(shè)計(jì)變量和求解過(guò)程，易于編程實(shí)現(xiàn)。目前，許多商用優(yōu)化軟件基于變密度法開發(fā)出了單獨(dú)的拓?fù)鋬?yōu)化模塊，比較著名的有美國(guó)Altair公司Hyperworks系列軟件中的Optistruct和德國(guó)Fe-design公司的Tosca等，此外，根據(jù)設(shè)計(jì)者的優(yōu)化需求，可以在大多數(shù)的有限元分析軟件中基于變密度法設(shè)計(jì)適用的程序，實(shí)現(xiàn)拓?fù)鋬?yōu)化。當(dāng)前，對(duì)于變密度法的研究大多集中于奇異性結(jié)果的消除和懲罰函數(shù)的懲罰效果，相比而言是較為成熟也是應(yīng)用最廣泛的拓?fù)鋬?yōu)化方法，已普遍應(yīng)用于工程設(shè)計(jì)。

2.3 水平集法

水平集法由Sethian和Osher[10]在1988年首次提出，起初是用于研究曲線或曲面的邊界運(yùn)用問(wèn)題。2000年，Sethian和Wiegmann[11]將水平集法應(yīng)用于拓?fù)鋬?yōu)化。其主要思想是用高維空間內(nèi)的水平集函數(shù)來(lái)描述低維空間曲面，利用特定的速度場(chǎng)驅(qū)使高維空間曲面邊界演化，通過(guò)求解水平集方程獲得低維空間曲面的邊界。

如圖1所示，是二維問(wèn)題的水平集面和其包含的邊界結(jié)構(gòu)及演化過(guò)程，三維圖中，Φ（x）為水平集函數(shù)，則設(shè)計(jì)空間的各部分可通過(guò)水平集函數(shù)表示為

圖1 水平集函數(shù)邊界結(jié)構(gòu)及演化過(guò)程示意圖

綜上可知，結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化實(shí)際上是一個(gè)由目標(biāo)函數(shù)和約束條件決定的、在速度場(chǎng)驅(qū)使下的水平集面運(yùn)動(dòng)過(guò)程[12]。假設(shè)以體積分?jǐn)?shù)為約束函數(shù)，以最小柔度為目標(biāo)函數(shù)，則優(yōu)化模型可以表示為：

目標(biāo)函數(shù)表示結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能H（Φ）是Heaviside函數(shù)，又稱為單位階躍函數(shù)，用于控制結(jié)構(gòu)單元的取舍。其具體推導(dǎo)與求解可參考文獻(xiàn)[12]。

水平集法自提出以來(lái)就受到廣大學(xué)者的重視，通過(guò)水平集法獲得的非常清晰的結(jié)構(gòu)邊界，一定程度上將拓?fù)鋬?yōu)化和形狀優(yōu)化合二為一，其概念設(shè)計(jì)和詳細(xì)設(shè)計(jì)的融合極大地提高了設(shè)計(jì)效率，縮短了設(shè)計(jì)周期，其優(yōu)勢(shì)令人無(wú)法拒絕。盡管水平集法在拓?fù)鋬?yōu)化領(lǐng)域獲得了極大的成功，但其缺點(diǎn)也是明顯的，在優(yōu)化時(shí)需要設(shè)定額外約束，程序復(fù)雜，求解合適的速度場(chǎng)較為困難，計(jì)算效率不高。這些缺點(diǎn)導(dǎo)致該方法目前為止沒能成功應(yīng)用到生產(chǎn)實(shí)踐中去，現(xiàn)階段對(duì)于水平集法的研究重點(diǎn)主要集中于算法的優(yōu)化改進(jìn)，其應(yīng)用研究也從一些簡(jiǎn)單的模型逐漸轉(zhuǎn)向復(fù)雜的工程零件。

2.4 結(jié)構(gòu)漸進(jìn)法

1993年，澳大利亞華裔學(xué)者謝億民[13]提出了結(jié)構(gòu)漸進(jìn)法，通過(guò)預(yù)先設(shè)置判斷依據(jù)，并以此依據(jù)為基礎(chǔ)刪除結(jié)構(gòu)的無(wú)效和低效單元，達(dá)到拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)的目的。優(yōu)化設(shè)計(jì)的判斷依據(jù)可以是應(yīng)力、結(jié)構(gòu)柔度、系統(tǒng)固有頻率等等。

以應(yīng)力作為判斷依據(jù)為例，先對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元分析，然后依據(jù)設(shè)定公式對(duì)每個(gè)單元進(jìn)行應(yīng)力判定，如公式

滿足則該單元屬于低應(yīng)力狀態(tài)，應(yīng)當(dāng)從優(yōu)化結(jié)構(gòu)中刪除，對(duì)結(jié)構(gòu)重復(fù)進(jìn)行此操作，直至無(wú)法滿足上式，即認(rèn)為當(dāng)前結(jié)構(gòu)已達(dá)到相對(duì)穩(wěn)定。此時(shí)，引進(jìn)另一參數(shù)進(jìn)化率ER，依據(jù)一定規(guī)律對(duì)刪除率進(jìn)行更新，如公式

然后在新的刪除率下重復(fù)上述步驟，直到結(jié)構(gòu)滿足最初設(shè)定的目標(biāo)。

針對(duì)結(jié)構(gòu)漸進(jìn)法只能刪除結(jié)構(gòu)單元的缺陷，Querin等[14]在其基礎(chǔ)上開發(fā)了雙向結(jié)構(gòu)漸進(jìn)法，能夠在優(yōu)化中將誤刪多刪的結(jié)構(gòu)單元重新添加進(jìn)來(lái)，并在謝億民等人幫助下對(duì)結(jié)構(gòu)漸進(jìn)法的理論進(jìn)行了完善。結(jié)構(gòu)漸進(jìn)法的設(shè)計(jì)變量簡(jiǎn)單明確，能夠有效規(guī)避“0-1”問(wèn)題中中間取值的求解困難，目前已大量應(yīng)用于建筑行業(yè)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和優(yōu)化。但是其在求解中不基于靈敏度分析，每一步迭代后都要進(jìn)行一次有限元分析，得到最優(yōu)結(jié)構(gòu)的迭代步數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于其他優(yōu)化方法，且算法的收斂性未能得到科學(xué)的證明，其方法的開創(chuàng)者——謝億民等對(duì)其收斂性證明做了大量研究，在求解中逐漸引入靈敏度分析以更好的控制優(yōu)化的計(jì)算效率和收斂性。但其算法的完善性和處理大規(guī)模問(wèn)題的有效性仍有待于進(jìn)一步發(fā)展。

3 總結(jié)與展望

拓?fù)鋬?yōu)化方法發(fā)展自上世紀(jì)80年代興起后，越來(lái)越受到工程設(shè)計(jì)人員的重視，如今已成為常用的工程設(shè)計(jì)方法，對(duì)其方法的深入研究和開發(fā)創(chuàng)新也從未間斷。目前發(fā)展最為成熟，并已經(jīng)應(yīng)用到生產(chǎn)上的方法正如上文所列四種。

相比于其他的方法，無(wú)論從理論發(fā)展的角度還是工程應(yīng)用的角度，變密度法都比其他方法更具優(yōu)勢(shì)，可以不夸張的說(shuō)，任何一種方法在短時(shí)間內(nèi)都難以超越變密度法。變密度法相比其他方法而言最大的優(yōu)點(diǎn)是適用于不限形狀的設(shè)計(jì)域，對(duì)于一些復(fù)雜形狀設(shè)計(jì)域的普適性是目前其他拓?fù)鋬?yōu)化方法所不具備的，這一點(diǎn)在實(shí)際的工業(yè)生產(chǎn)中尤其重要。并且，變密度法思路簡(jiǎn)單清晰，程序設(shè)計(jì)易于實(shí)現(xiàn)，這些適應(yīng)于商業(yè)設(shè)計(jì)和生產(chǎn)的優(yōu)點(diǎn)是其他方法所難以企及的。

除此之外，針對(duì)變密度法不能獲取較為清晰邊界的弱點(diǎn)在實(shí)際生產(chǎn)中可以忽略，這是因?yàn)椋負(fù)鋬?yōu)化作為產(chǎn)品設(shè)計(jì)周期中的概念設(shè)計(jì)階段，設(shè)計(jì)人員并不需要在這個(gè)階段精確的定義零件的尺寸與邊界，只需要確定產(chǎn)品的大致形狀，再在后續(xù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)中完善即可。

在未來(lái)的探索中，拓?fù)鋬?yōu)化應(yīng)注重以下幾個(gè)方向的發(fā)展：

（1）在現(xiàn)有方法的基礎(chǔ)上，綜合對(duì)比和分析各個(gè)方法的特點(diǎn)，吸收其他方法的優(yōu)勢(shì)以完善現(xiàn)有方法的合理性，尋求更加方便和高效的建模方法，完善拓?fù)鋬?yōu)化模型建立的設(shè)計(jì)理論，提高模型的普適性，方便下一步的優(yōu)化改進(jìn)。

（2）深入研究當(dāng)前各種數(shù)值計(jì)算方法，針對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題在后期面臨大規(guī)模計(jì)算的弱點(diǎn)，優(yōu)化計(jì)算程序，提高計(jì)算效率，以節(jié)省設(shè)計(jì)時(shí)間，縮短設(shè)計(jì)周期。

（3）軟件開發(fā)方面，盡管現(xiàn)有的有限元軟件都可以進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，但是對(duì)于單獨(dú)的拓?fù)鋬?yōu)化模塊開發(fā)有限，且對(duì)于用戶的軟件使用要求較高，不適于拓?fù)鋬?yōu)化的利用和推廣，一定程度上遲滯了結(jié)構(gòu)優(yōu)化的發(fā)展。成熟而方便的拓?fù)鋬?yōu)化軟件對(duì)于工程設(shè)計(jì)有重大現(xiàn)實(shí)意義，應(yīng)開發(fā)更加實(shí)用是軟件，簡(jiǎn)化人機(jī)交互界面，簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)流程，提高設(shè)計(jì)效率。