利用充分光滑的S形函數構造Meyer小波

邵云虹 鄧彩霞 賀鵬

摘 要：為了在信號或圖像的重構中獲得較好的平滑效果，必須盡量增大小波的正則性或者連續可微性。在Meyer小波構造中S形函數的選取影響著Meyer小波的可微性、光滑性和衰減速度等性質，所以S形函數的選取至關重要。給出一種構造充分光滑的S形函數的方法，并以一個充分光滑的非多項式S形函數為例，將其作為BP神經網絡中的激勵函數進行函數逼近得到好的逼近效果且訓練次數少。然后通過充分光滑的S形函數得到Meyer小波的尺度函數，給出相應的具有充分光滑、高階消失矩且無窮次可微性的頻譜有限的Meyer小波。最后把充分光滑的Meyer小波與剪切波變換結合進行圖像去噪，與傳統的Meyer小波剪切波變換去噪相比較，峰值信噪比高于傳統的Meyer剪切波變換且去噪后的圖像紋理和邊緣信息保留更加完整。

關鍵詞：小波分析;Meyer小波;S形函數;尺度函數;高階消失矩

DOI：10.15938/j.jhust.2019.02.019

中圖分類號： O174.22

文獻標志碼： A

文章編號： 1007-2683（2019）02-0127-08

Abstract：In order to obtain better smooth effect in signal or image reconstruction， the regularity or continuous differentiability of wavelet must be increased as much as possible. The selection of sigmoid function in Meyer wavelet construction affects the differentiability， smoothness and attenuation speed of Meyer wavelet， so it is exceedingly essential to select sigmoid function. Firstly， a method of constructing fully smooth sigmoid function is given， and a sufficiently smooth nonpolynomial sigmoid function is taken as an example， which is used as the excitation function in BP neural network for function approximation to obtain good approximation results. Then， the scale functions of Meyer wavelets are obtained by fully smooth sigmoid functions. Meyer wavelets with limited spectrum are given with sufficient smooth， highorder vanishing moments and infinitesimal differentiability. Finally， the full smooth Meyer wavelet and the shearlet transform are combined to denoise the image. Compared with the traditional Meyer wavelet shearlet transform， the peak signaltonoise ratio is higher and the denoised image texture and edge information are more complete.

Keywords：wavelet analysis; Meyer wavelet; sigmoid function; scaling function; high order vanishing moment

收稿日期： 2018-09-04

基金項目： 國家自然科學基金（11871181）.

作者簡介：

鄧彩霞（1965—），女，博士，教授，碩士研究生導師.

通信作者：

邵云虹（1994—），女，碩士研究生，Email：18846141926@163.com.

0 引 言

小波分析是80年代中期新興的一門學科，它是在Fourier分析的基礎上創建起來的[1]。由于它具有良好的時頻特性，因此可以更好地實現信號的處理[2]、小波降噪[3-4]、模式識別[5-6]等。1988年，Mallat提出多分辨率分析概念，為正交小波的構造提供可行性方法[7]。正交小波按照其特點可以分成兩類：一類是頻譜有限函數，通常稱為Meyer型小波，例如Meyer小波;另一類是正交小波在時間域上具有緊支集，稱為Daubechies小波[8]。Daubechies小波是工程中常用的小波，然而許多能量有限信號是頻譜有限的，Daubechies小波在應用中受到一定限制，因此研究在頻域內具有緊支撐的Meyer型小波是十分重要的。

經典的Shannon小波，它有理想的頻域性能，但是它在時域中的局部性卻很差。因此，法國數學家Meyer于1986年建議修正頻域上的Shannon尺度函數，既平滑了尖銳的邊緣值，又保留了其正交性條件，得到Meyer小波的尺度函數，進而得到Meyer小波函數[9]。Meyer小波具有一定的可微性、衰減速度快和高階消失矩等性質，因此Meyer小波有著廣泛的應用。如Meyer小波可以用于解決方程的不適定問題[10]，實現對脈沖噪聲的信號處理[11]和利用Meyer小波的尺度函數進行采樣[12]等。由于Meyer小波這些良好的性質取決于它的尺度函數的性質，而尺度函數的性質與它的S形函數的性質密切相關，所以研究不同的S形函數可以得到性質不同的Meyer小波的尺度函數，再根據多分辨率分析方法給出相應的Meyer小波函數。Meyer通過概率的形式引入了多項式型S形函數[13]，理論上可以獲得在（-∞，+∞）上任意有限階可導連續的多項式型S形函數，但隨著其可導階數的增加，它在[0，1]上的多項式次數也增加。例如常用的多項式型S形函數在[0，1]上為一個七次多項式x4（35-84x+70x2-20x3），但它在（-∞，+∞）上是三階可導連續的函數。可見Meyer給出的多項式型S形函數在[0，1]上的多項式次數越高越不便于數值計算。雖然存在三角函數型S形函數[14]，如在[0，1]上為sin2π2x，但它在（-∞，+∞）上僅為一階可導連續函數，光滑性較差。而S形函數的光滑性直接影響Meyer小波函數的可微性，可微性越高，Meyer小波的消失矩也越高。小波的消失矩階數越高，光滑函數在小波展開式中的零元就越多，也就是說小波的消失矩的大小決定了小波逼近光滑信號的能力，越大的消失矩將使高頻系數越小、小波分解后的圖像能量也就越集中、壓縮比例就越高，這一點也可以用來進行圖像壓縮[15]和圖像分解[16]，所以考慮具有高階可微的S形函數是必要的。本文給出充分光滑的S形函數的一種構造方法，得到相應的Meyer尺度函數和小波函數，進一步提升Meyer小波函數的可微性、衰減速度和消失矩等性質。Meyer小波可以與剪切波變化結合進行圖像去噪，剪切波是一種新型多尺度幾何分析工具，以普通小波作為基函數，對基函數進行剪切、平移和伸縮變換而生成具有多方向的多分辨分析函數[17]，剪切波被廣泛應用于圖像去噪[18-19]。剪切波為了去噪處理后獲取更佳的視覺效果，在選取基函數時，需要增加小波的光滑性或連續可微性，所以利用本文構造的充分光滑的Meyer小波作為剪切波的基函數進行圖像去噪，提高圖像的去噪效果。

1 多分辨分析及正交小波函數

通過仿真實驗結果可以看出，本文選取的充分光滑的Meyer小波作為剪切波的基函數得到的剪切波在圖像去噪中峰值信噪比相對較高，說明本文的算法實現是有實際意義的，從圖6-8可以看出本文充分光滑的Meyer剪切波去噪效果更好，在邊緣和紋理的處理上也更加完整。

4 結 論

由于不同的S形函數構成的尺度函數不同，通過改進S形函數進一步改進由尺度函數構成的Meyer小波函數的性質。本文給出一種充分光滑的S形函數構造方法，以一個充分光滑的非多項式型S形函數為例，將其應用在BP神經網絡函數逼近中作為一個新的激勵函數進行仿真應用，得到較好地逼近效果且用時相對較少。同時基于充分光滑的S形函數得到相應的Meyer小波的尺度函數，根據Fourier變換及小波分析理論得到了Meyer小波函數時域和頻域的函數表達式，給出Meyer小波函數具有無窮次可微性、高階消失矩和快速衰減性等良好性質。同時把構造的充分光滑的Meyer小波作為剪切波的基函數，提高剪切波圖像去噪的效果，更好地保留圖像的紋理和邊緣等信息。

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（編輯：關 毅）