基于變增益觀測器的高超聲速飛行器輸出反饋控制

王 錦，張 伸

(1.西安工程大學機電工程學院，西安 710048；2.北京航空航天大學自動化科學與電氣工程學院，北京100083)

0 引 言

高超聲速飛行器一般是指以超燃沖壓發動機為動力，飛行速度大于Ma5且飛行高度在20至100 km的臨近空間飛行器，是航空工程與航天工程緊密結合的新型高性能產物。其動力裝置有效擴展了飛行器的飛行包線，可實現大氣層內以更快速度在更大范圍內的機動飛行。從而滿足更高需求的全球精確打擊與快速運輸，在軍事與商用領域均具有重要意義[1]。

高超聲速飛行器具有強耦合、強非線性、模型不確定性及復雜外部干擾等特性，使其飛行控制系統設計面臨嚴峻挑戰[2]。傳統飛行器中結合增益調參技術的線性系統設計方案已經難以適用[3]。隨著近年來非線性控制理論發展的日益深入，國內外學者對基于非線性控制技術的高超聲速飛行器控制系統設計開展了廣泛研究。較為典型的非線性控制方法包括反饋線性化控制[4]、滑模控制[5]、自適應魯棒控制[6]、反步控制等[7-8]。

需要指出，大多現有控制器設計方案中認為高超聲速飛行器的狀態都是可測量的，并設計狀態反饋控制器。然而在高超聲速環境下，氣流角傳感器的性能會顯著下降，從而造成攻角測量的誤差較大。在這種情況下，如果仍采用測量得到的攻角信息去設計控制器將會帶來較大的跟蹤誤差，甚至可能導致閉環系統不穩定[9]。通過能夠精確測量的狀態信息，構建觀測器獲得攻角及其他需要的信息，進而產生控制指令是一種行之有效的方法。此種結合狀態觀測器的信息和測量得到的信息去構建控制器的設計思路是一種間接的輸出反饋方法[10]。

現有為數不多的高超聲速飛行器輸出反饋控制器設計方案也存在一些局限性。文獻[11]考慮的被控對象為小擾動線性化的高超聲速飛行器動力學模型，給出了一種輸出反饋控制方案。該方案采用的信號包括速度、高度、俯仰角速率和加速度，采用全狀態觀測器獲得其他狀態的信息，基于狀態觀測器的信息實現反饋控制。文獻[12]先設計了狀態反饋控制器，采用一種滑模觀測器去構建不可測量狀態，然后將此狀態估計值直接應用到狀態反饋控制器中，是一種狀態觀測器和控制器獨立設計的方法。而實際上，高超聲速飛行器是一類具有較強非線性的被控對象，線性控制中控制器和觀測器可以分離設計的原理在被控對象存在較強非線性時并不適用。文獻[13]采用滑模觀測器構建了其他狀態的信息，采用Backstepping方法設計了控制器，并基于小增益定理保證了閉環系統的穩定性，但該方法僅適用于錐形體高超聲速飛行器，而對于吸氣式高超聲速飛行器，發動機推力是攻角和燃油率的復雜函數。在此情況下，文獻[13]基于小增益定理保證的閉環系統穩定性結論將不再成立。除了處理高超聲速飛行器輸出反饋的文獻外，文獻[14]針對存在推力飽和約束的飛機縱向非線性動力學系統研究了輸出反饋自適應backstepping控制律，但該方法主要是針對存在未知氣動參數的情形，通過一種分段切換自適應律實現未知氣動參數的估計。到目前為止，針對吸氣式高超聲速飛行器全量非線性動力學模型的輸出反饋控制方案仍然較少。

另外，高超聲速飛行器乘波體氣動構型及機身與推進系統一體化設計帶來了推進/控制/氣動的嚴重耦合，使得彈道傾角動力學方程或攻角動力學方程中，存在發動機推力的分量，且發動機推力為攻角和燃料當量比的復雜函數，這種特性給控制設計帶來了較大的困難。在現有文獻中推力對彈道傾角動力學方程的影響通常被忽略[15-16]。然而實際上，在發動機燃油率為1時，即發動機推力最大開啟的情況下，推力分量占到整個法向力的1/4，對彈道傾角動力學影響較大。

綜合以上分析，本文針對非線性吸氣式高超聲速飛行器，提出了一種基于變增益觀測器的輸出反饋控制方案。針對彈道傾角和攻角不可測量的情況，設計了一種變增益觀測器。針對推力對彈道傾角動力學的影響，分別在觀測器中用變增益的方式和控制器中魯棒項的方式消除。在設計觀測器時，首先通過一種變換將動力學模型變換為雙回路串連積分形式，通過變增益系數的自適應律設計保證觀測器的穩定性。將實際系統的狀態和觀測器的狀態重新組合成一個新的嚴反饋系統，采用動態面方法設計控制律。通過控制器中魯棒項的設計消除耦合項和參數不確定對控制器跟蹤性能的影響。

1 模型建立及控制問題描述

1.1 高超聲速飛行器建模

高超聲速飛行器縱向動力學模型可以采用如下非線性方程描述[17]：

(1)

式中：T,L,D,M分別為高超聲速飛行器的發動機推力、氣動升力、阻力及俯仰轉動力矩，m為飛行器的質量，Iyy為飛行器俯仰軸方向上的轉動慣量。模型包含飛行器五個狀態量分別為：速度(V)、高度(h)、彈道傾角(γ)、俯仰角(θ)和俯仰角速率(q)。包含兩個控制輸入：燃料當量比(Φ)和升降舵偏(δe)。對于模型(1)中的兩個控制輸入，燃料當量比Φ直接影響發動機推力，同時由于推進系統與機身的耦合，其間接的影響俯仰力矩和升力；升降舵偏δe則主要影響氣動力。飛行器攻角α滿足θ=α+γ。高超聲速飛行器所受各力和力矩的詳細表達式如下所示：

(2)

(3)

式中：帶上標的各變量表示相應曲線擬合系數。

1.2 控制問題描述

對于采用吸氣式超燃沖壓發動機高超聲速飛行器，文獻[18]給出其處于沖壓巡航飛行時的狀態、輸入、動壓和馬赫數的允許范圍，如表1所示。

根據表1給出的彈道傾角γ的允許范圍，在此范圍內可近似認為sinγ≈γ,cosγ≈1。定義狀態變量x1=h/V,x2=γ,x3=θ,x4=q。將整個高超聲速飛行器動力學模型高度子系統分成內外回路的形式，外回路的動力學模型可以表示如下：

(4)

表1 狀態、輸入、動壓及馬赫數的允許范圍Table 1 Allowable ranges of states,inputs,dynamic pressure and Ma

w1(x2,x3)=Tsinα/(mV)≈Tα/(mV)=

(5)

內回路的動力學模型可以表示為如下形式：

(6)

本文的設計過程中，認為彈道傾角和攻角信號為不可測量的，高度、俯仰角和俯仰角速率為可以測量的。針對式(4)給出的外回路系統中存在不可測量狀態，設計觀測器，在此基礎上針對式(4)和式(6)的聯合系統設計控制器，實現高度回路與閉環系統對給定高度指令信號hd的跟蹤。

將整個高度回路分為內外回路的目的是為了方便觀測器的設計，但在控制器設計時考慮了內外回路的相互作用，將內外回路聯合成一個系統進行控制設計，不需要時標分離的假設。本文設計的目標是在考慮推力和氣動力耦合的情況下，采用變增益觀測器實現對不可測量狀態的估計，繼而通過控制器設計實現閉環系統有界穩定，并可通過控制系統參數的選取保證邊界的范圍。

2 控制器設計

圖1為控制方案的結構框圖。從圖1可以看出，本文所提控制方案主要包括變增益觀測器和控制器兩部分。下面首先對耦合項進行分析，然后在此基礎上完成變增益設計，最后基于觀測器狀態和可測量的狀態信息完成魯棒自適應動態面控制器設計。

圖1 控制器設計框圖Fig.1 Controller design block diagram

2.1 耦合項分析

在設計觀測器之前，先對耦合項w1(x2,x3)進行分析。由表1可知，x2的大小在一定范圍內是有意義的，超出該范圍則無意義。在進行觀測器設計之前，先假設x2是在一個界限內，考慮魯棒性，這個界限可以取得比表1中的范圍大，然后通過觀測器和控制器設計保證閉環系統處在一個有限的界限內。假設|x2|的最大值為N，則存在以下不等式：

(7)

3N|x3||x2|]

(8)

(9)

(10)

因此，通過式(5)給出的w1(x2,x3)的形式，可以推導出w1(x2,x3)滿足以下不等式：

可將上式歸納為：

|w1(x2,x3)|≤F1|x2|+F2

(11)

其中，F1和F2分別為如下形式：

2.2 變增益觀測器設計

在觀測器設計之前先進行變量變換，定義變量：

(12)

通過式(4)可以得到ξ1和ξ2的導數如下：

(13)

顯然，ξ1可由x1計算得到。且可以通過估計ξ2實現對x2的估計。針對式(13)給出的系統，定義如下的觀測器：

(14)

其中：k1和k2為觀測器的靜態增益，l為觀測器的變增益系數，設計變增益系數的更新律為：

(15)

(16)

定義觀測誤差矢量e=[e1,e2]T，則式(16)可以表達為如下矢量形式：

(17)

(18)

其中：D=diag(1,2)。通過選擇靜態增益k1和k2可使A-KcT是Hurwitz的，因此存在正定矩陣P使得

(A-KcT)TP+P(A-KcT)≤-2d0I

(19)

(20)

針對式(20)的第二項存在如下不等式：

(21)

式中：

對于已知矩陣D和P，可以找到兩個常數λ1和λ2滿足不等式λ1I≤DP+PD≤λ2I。考慮到觀測器變增益系數l的更新律(15)，存在以下兩種情況：

(22)

(23)

(24)

式中：a08=min{2(1+r2)d0,2ld0}。

2.3 魯棒自適應動態面控制器設計

考慮到式(4)中的狀態x2是不可測量的，因此將式(4)中x2用可以測量得到的信息代替，從而構建出如下全部狀態信息均可得到的嚴反饋系統：

(25)

式中：

顯然系統(25)中所有狀態量均可獲得，因此以下針對系統(25)展開狀態反饋控制器設計，實現x1對hd的跟蹤。采用動態面控制方法分步進行控制器設計。

(26)

依據式(26)，設計名義虛擬控制量指令為：

(27)

(28)

(29)

依據式(29)，設計名義虛擬控制量指令為：

(30)

其中：κ2>0為帶設計反饋系數。同樣地，定義如下一階指令濾波器：

(31)

(32)

依據式(32)，設計名義虛擬控制量指令為：

(33)

其中,κ3>0為待設計反饋系數。同樣地，定義如下一階指令濾波器：

(34)

(35)

其中，函數fal1(E11,λ1,ε1)定義為：

(36)

對s4求導可得：

(37)

設計最終的實際控制輸入δe為：

(38)

3 穩定性分析

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

由式(39)～(42)及x1的定義可得：

(46)

(47)

(48)

其中：Di(i=2,3,4)為無窮次可微連續函數。由式(27)，存在以下關系：

(49)

由δ2定義可得：

(50)

結合式(46)，可以得出結論，存在函數χ2，滿足如下不等式：

(51)

其中：χ2為無窮次可微連續函數。或者也可以寫成如下形式：

(52)

(53)

(54)

(55)

(56)

(57)

(58)

其中：χ4為無窮次可微連續函數。

定理1.對于彈道傾角和攻角不可測量的高度子系統(4)～(6)，虛擬控制指令為(27)、(30)、(33)，以式(28)、(31)、(34)獲得虛擬控制指令導數，實際控制輸入為(38)，以狀態觀測器(14)實現對彈道傾角信號的估計并間接實現對攻角的估計，觀測器可變增益的更新律為式(15)，通過合理選擇控制增益、濾波器時間常數及觀測器增益，即可實現整個閉環系統內的所有信號一致有界穩定，且可以通過設計參數的選取使得高度的跟蹤誤差收斂到0附近任意小的鄰域內。

證.定義Lyapunov函數為：

(59)

(60)

δ2)+s2(c2s3+c2δ3-κ2s2-s1)+s3(s4-

κ3s3+δ4-c2s2)+s4(-κ4s4-Z12+w2-s3)+

(61)

由Young不等式，存在以下不等式關系：

(62)

(63)

(64)

(65)

(66)

將不等式組(62)～(66)代入式(61)，可得：

(67)

(68)

由式(67)、(68)可得：

(69)

(70)

(71)

其中,

4 仿真校驗

為了校驗所提出的基于變增益觀測器的輸出反饋方法，采用式(1)～(2)中的非線性模型進行仿真分析。控制目標為實現對給定高度指令的跟蹤，速度指令選擇為保持當前速度不變。選定的高度指令為兩次階躍信號，兩次分別實現5 km的階躍。并將階躍信號通過兩個頻率為0.3，阻尼為0.95的二階環節。飛行器初始條件選擇為V0=2347.6 m，h0=25908 m，γ0=0°。選取觀測器增益k1=5,k2=6；控制器增益κ1=0.6+0.5l4,κ2=2.5,κ3=2.8,κ4=2.8；推力和氣動耦合項的縮放的相關常數為a01=0.5,a02=1,a03=1；選擇控制器設計步驟4中擴張狀態觀測器的常數為β11=10,β12=10,λ1=0.8,ε1=0.001。指令濾波器時間常數為T2=T3=T4=20。在此情況下，得到仿真結果如圖2所示。

圖2 高度跟蹤及其跟蹤誤差曲線(標稱情況)Fig.2 Curves of height tracking and its tracking error (nominal situation)

圖2給出了高度跟蹤及其跟蹤誤差。從圖2可以看出，在本文所設計控制方案下，閉環系統對給定高度指令信號具有很好的跟蹤精度，跟蹤誤差保持在很小的范圍內。圖3表明俯仰角信號實現了對指令值的精確跟蹤。由于俯仰角和俯仰角速率均是可以直接測量得到的信號，且在第四步俯仰角速率q回路的控制設計時采用了等效干擾觀測并補償的方法，從而確保了俯仰角的跟蹤效果。圖4的升降舵擺角處于舵機所允許的合理范圍內。

圖3 俯仰角跟蹤及其跟蹤誤差曲線(標稱情況)Fig.3 Curves of pitch angle tracking and its tracking error (nominal situation)

圖4 升降舵偏角曲線(標稱情況)Fig.4 Curve of elevator deflection (nominal situation)

圖5 ξ1，ξ2及彈道傾角估計曲線(標稱情況)Fig.5 Estimated curves of ξ1,ξ2 and flight path angle (nominal situation)

圖6 可變增益l曲線(標稱情況)Fig.6 Curve of variable gain l (nominal situation)

圖5為觀測器狀態量ξ1，ξ2及彈道傾角的估計曲線，可以看出所提出的觀測器可獲得ξ1和ξ2的高精度估計值。ξ1和ξ2一起可構造出高精度彈道傾角估計信號。圖6給出了可變增益l的曲線，l從初始時刻的1.5增加到2.1附近，收斂時間很短，且在增加到2.1后，變化幅度較小。可變增益l的變化幅度并不大，因此不會對彈性振動產生較大激勵作用。

圖7 高度跟蹤及其跟蹤誤差曲線(不確定情況)Fig.7 Curves of height tracking and its tracking error (uncertain situation)

圖8 俯仰角跟蹤及其跟蹤誤差曲線(不確定情況)Fig.8 Curves of pitch angle tracking and its tracking error (uncertain situation)

圖9 升降舵偏角曲線(不確定情況)Fig.9 Curve of elevator deflection (uncertain situation)

圖10 ξ1，ξ2及彈道傾角估計曲線(不確定情況)Fig.10 Estimated curves of ξ1,ξ2 and flight path angle (uncertain situation)

圖11 可變增益l曲線(不確定情況)Fig.11 Curve of variable gain l (uncertain situation)

圖7為加入參數不確定以后的高度跟蹤曲線及其跟蹤誤差曲線。從圖7可以看出，本文所提出的基于變增益觀測器的輸出反饋控制方案具有較好的魯棒性，在參數存在50%不確定，跟蹤10 km的高度指令信號的情況下在整個時間段內的跟蹤誤差在10 m 以內。圖8為俯仰角信號的跟蹤及其跟蹤誤差曲線。存在較大參數不確定情況下的俯仰角信號的初始跟蹤誤差比不存在參數不確定的情況下大，但能夠快速收斂到很小的范圍內，跟蹤精度很高。圖9為升降舵控制擺角曲線，在整個仿真時間段內，升降舵偏角均在合理的范圍內。

圖10為考慮參數不確定情況下的觀測器狀態量ξ1，ξ2及彈道傾角信號的估計曲線。在存在不確定的情況下，ξ1的估計值仍能實現對真值的跟蹤。ξ2與彈道傾角的估計精度略低于不存在不確定的情況，但是仍能實現很高精度的估計，估計誤差很小。圖11為可變增益l的曲線，變增益l的變化幅度也不大，不會對系統的未建模動態產生較大的影響。

綜合不考慮參數不確定的名義情況的仿真和考慮參數不確定情況的仿真可以看出，本文所提出的變增益觀測器對不可測量狀態具有較好的估計性能，且魯棒性較好，適應性強，且可變增益l的值在一個較小的范圍內。整個控制方案具有較強魯棒性能，可實現對于指令信號的高精度跟蹤。

5 結 論

本文設計了一種基于變增益觀測器的高超聲速飛行器輸出反饋控制方案。首先對氣動和推力耦合項進行了分析，將耦合項的最大值表達為觀測誤差和可測量狀態的形式。在觀測器設計時，通過狀態變換，獲得了可觀標準型形式的狀態方程。并通過一個可變增益設計實現對耦合項中與觀測誤差項有關的部分的抑制。在獲得觀測值后，將實際系統的狀態和觀測器的狀態重新組合成一個新的嚴反饋系統，采用動態面方法設計控制律。最后通過不同條件下的數值仿真校驗了所提控制方案可實現對指令信號的精確跟蹤，且具有較強魯棒性。