剪切理論與經典理論的對稱角鋪設方板彎曲解析研究

張承宗

(空軍某軍事代表局，北京 100071)

0 引言

復合材料層合板殼結構元件具有輕質高強、可設計性好等諸多優點，在現代工業中獲得了廣泛應用。復合材料的各向異性為板殼力學研究增加了新的內涵[1]。人們早在1947年[2]就開始針對各向異性板力學問題進行系統研究，但因為數學理論的局限，對正交異性問題研究開展的較多，而對各向異性研究成果相對有限。針對板殼剪切效應，相繼提出了Ressner一階剪切理論(First-Order Deformation Theory， FSDT)[3]、Reddy簡化高階剪切理論(Reddy Simplified High Order Shear Deformation Theory， RSDT)[4]等。從數學上看，經典板理論(Classical Laminated Plate Theory， CLT) 是一個未知位移函數的4次偏微分方程邊值問題，Ressner一階剪切理論是3個未知位移函數的6次偏微分方程邊值問題，Reddy簡化高階剪切理論是3個未知位移函數的8次偏微分方程邊值問題，數學解析求解難度在提升。而對于復合材料對稱角鋪設層合板結構，各向異性還帶來了奇次交叉剛度系數,不論是解析法求解，還是數值法求解均不容易。近年來，數學物理方法獲得進步[5-10]，陸續發展了復數級數方法，基于經典理論[5]、Ressner一階剪切理論[8]、Reddy簡化高階剪切理論[12]各向異性板彎曲力學問題一般解析解，使解析研究各向異性板殼結構力學響應問題成為了可能。應用復數級數方法求解了基于Reddy簡化高階剪切理論各向異性板彎曲力學問題，進一步研究發現[12],解的多項式補充解需進一步簡化。由此，在此基礎上，本文對Reddy簡化高階剪切理論的各向異性板彎曲問題重新進行了解析求解，得到了簡化后的該問題一般解析解。

不同剪切理論與經典理論在各向異性情況下的適用范圍是工程設計和理論分析所關心的。本文應用解析解方法分別采用Ressner一階剪切理論、Reddy高階簡化剪切理論和經典理論板彎曲解析解，計算研究不同鋪設角、鋪設層數、板厚條件下四邊固支對稱角鋪設層合板彎曲問題，通過分析比較其撓度、彎矩、扭矩變化情況，研究對于四邊固支層合板彎曲問題的各理論適用范圍和力學響應變化規律。計算發現，四邊固支對稱角鋪設層合方板在h/a≤0.02時，經典理論和這兩種剪切理論的板中心撓度、彎矩、扭矩計算值相差不大；h/a>0.02時，兩種剪切理論和經典理論的板中心撓度計算值開始出現差距。對于四邊固支層合方板，Ressner一階剪切理論和Reddy簡化高階剪切理論的板中心撓度計算值相差不大。對于四邊固支層合板，兩種剪切理論的板中心彎矩和扭矩亦相差不大。為反映橫向剪切影響程度，引入了橫向剪切效應參數。數值算例表明，對于四邊固支對稱角鋪設層合板彎曲問題，橫向剪切效應與彎扭耦合效應存在交聯。文中給出一批數值算例，可供有限元等數值計算程序校核參考。

1 基本理論

對于矩形板彎曲問題，引入以下無量綱量

其中,a、b、h分別為矩形板的長、寬、厚,q為橫向載荷,(x,y,z)為直角坐標系坐標，z為平板中面法向坐標，x、y分別為長、寬方向坐標。

1.1 Reddy簡化高階剪切理論

基于Reddy簡化高階剪切理論的對稱角鋪設層合板在彎曲變形分析時的位移分量為

(1)

式中,w(x,y)為撓度，u(x,y)、v(x,y)分別為x、y方向位移，φx(x,y)、φy(x,y)分別為板廣義位移參量。

該橫向彎曲問題的平衡方程可寫為如下形式

(2)

其中，微分算子L33,L34,…,L55見下文。

其中,廣義剛度為

設

(3)

式中，i為虛數單位，m為整數(m≠0，實際計算中m是有限的，設最大項數為M)，r為復數特征根。E、F、G為復數常數。根據文獻[12],可得實數形式的一般解析解

t1+t2(ξ-0.5)+t3(η-0.5)+t4(ξ-0.5)2+t5(η-0.5)2+t6(ξ-0.5)(η-0.5)+t7(ξ-0.5)3+

t8(ξ-0.5)2(η-0.5)+t9(ξ-0.5)(η-0.5)2+t10(η-0.5)3+t23(ξ-0.5)4+t24(ξ-0.5)3(η-0.5)+

t25(ξ-0.5)2(η-0.5)2+t26(ξ-0.5)(η-0.5)3+t27(η-0.5)4+

(4)

t11+t12(ξ-0.5)+t13(η-0.5)+t14(ξ-0.5)2+t15(η-0.5)2+t16(ξ-0.5)(η-0.5)+

t28(ξ-0.5)3+t29(ξ-0.5)2(η-0.5)+t30(ξ-0.5)(η-0.5)2+t31(η-0.5)3+

(5)

t17+t18(ξ-0.5)+t19(η-0.5)+t20(ξ-0.5)2+t21(η-0.5)2+t22(ξ-0.5)(η-0.5)+

t32(ξ-0.5)3+t33(ξ-0.5)2(η-0.5)+t34(ξ-0.5)(η-0.5)2+t35(η-0.5)3+

(6)

wp=t1+t2(ξ-0.5)+t3(η-0.5)+t4(ξ-0.5)2+

t5(η-0.5)2+t6(ξ-0.5)(η-0.5)+t7(ξ-

0.5)3+t8(ξ-0.5)2(η-0.5)+t9(ξ-0.5)·

(η-0.5)2+t10(η-0.5)3+t23(ξ-0.5)(η-

0.5)3+t24(ξ-0.5)3(η-0.5) +t25(ξ-

0.5)2(η-0.5)2

0.5)2+t15(η-0.5)2+t16(ξ-0.5)(η-0.5)+

t26(ξ-0.5)3+t27(ξ-0.5)2(η-0.5)+

t28(ξ-0.5)(η-0.5)2+t29(η-0.5)3

0.5)2+t21(η-0.5)2+t22(ξ-0.5)(η-

0.5)+t30(ξ-0.5)3+t31(ξ-0.5)2(η-

0.5)+t32(ξ-0.5)(η-0.5)2+t33(η-0.5)3

內力矩計算公式如下

[Mx,My,Mxy]T=[Di,j]{e2}+[Hi,j]{e4}
(i,j=1,2,6)

(7)

其中,剛度Dij、Hij定義見文獻[12-13]。式中

1.2 Ressner一階剪切理論

根據文獻[3,8]，基于Ressner一階剪切理論的對稱角鋪設層合板在彎曲變形分析時的位移分量為

(8)

式中，w(x,y)為撓度，φx(x,y)和φy(x,y)分別為板廣義位移參量。Ressner一階剪切理論的對稱角鋪設層合板橫向彎曲問題控制偏微分方程組及其一般解析解見文獻[8]。

一階剪切理論板彎曲內力計算公式如下

[Mx,My,Mxy]T=[Di,j]{e2} (i,j=1,2,6)

(9)

其中，{e2}與公式(7)中定義相同。

本文計算沿用文獻[8]中根據剪切余能相等原理推導出修正剪切剛度系數的做法，修正剪切剛度系數A55、A45、A44具體形式見文獻[8,13]。

1.3 經典理論

經典理論各向異性板彎曲控制偏微分方程如下

(10)

采用復數級數法[5]可求解對稱角鋪設層合矩形板橫向彎曲問題，具體解形式見文獻[5]。

內力矩計算公式為

(11)

1.4 邊界條件與角點條件

Reddy簡化高階剪切理論四邊固支矩形板邊界條件為

(12)

Reddy簡化高階剪切理論四邊固支矩形板角點條件為

(13)

一階剪切理論的四邊固支矩形板邊界條件為

(14)

一階剪切理論的四邊固支矩形板角點條件為

ξ=0,1η=0,1φx=0φy=0w=0

(15)

經典理論四邊固支矩形板邊界條件為

(16)

經典理論四邊固支矩形板角點條件為

(17)

2 計算研究

下面采用解析解方法(經典理論解見文獻[5]，Ressner一階剪切理論解見文獻[8]，Reddy簡化高階剪切理論解見文獻[12])計算對稱角鋪設四邊固支方形板在均布載荷q作用下的彎曲，評估有關理論解析解適用范圍，并研究橫向彎曲力學響應情況。本文設定板結構參數為a=b=1m(選定方板進行計算研究)，載荷參數為q=104N/m2，材料力學參數為:E1=276GPa，E2=31.05GPa，G12=G13=10.35GPa，G23=12.42GPa，ν12=ν13=0.25，ν23=0.28。

該彎曲問題中撓度中心對稱；φx、φy反中心對稱(對于剪切理論計算而言)，據此可降低計算量。撓度單位為m，彎矩、扭矩單位為N·m。鋪設角θ的單位為(°)，鋪設方式確定為對稱角鋪設，如[θ,-θ,θ]T，本文以下所提層合板均為對稱角鋪設層合板。鋪設層數為N(注意斜體為變量-鋪設層數)，計算假定層合板各層厚度一致，板厚h確定后，鋪設層數N可以調整。

2.1 驗證計算

為了檢驗本文式(4)～式(6)的收斂性和穩定性，針對11層[30°/-30°/30°/-30°/30°/-30°/30°/-30°/30°/-30°/30°]鋪設四邊固支正方形板(h=0.1m)，在均布載荷作用下的橫向彎曲進行計算，改變M比較相應板中心撓度和彎矩，結果見表1～表2。

表1 M對板中心撓度、彎矩計算值影響

表1表明，當M增大時，本文解數值保持穩定。計算中發現，對于不同的材料、邊界條件及鋪層方式 ，也存在相同的趨勢。

為檢查本文解的邊界條件符合情況，針對單層鋪設角為30°的正方形板(h=0.1m)進行計算(M=60)。板撓度w、廣義位移φx和φy計算結果見表2～表4。

表2 [30°] CCCC層合板撓度w(x,y)分布

表3 [30°] CCCC層合板φx分布

表4 [30°] CCCC層合板φy分布

由表2～表4可發現,本文解對位移邊界條件符合程度較好。

為檢驗本文解與已有解符合情況，固定a=b=1m，改變h，結合不同a/h，針對具有CCCC邊界條件[45°/-45°/45°]層合方板，計算板中心撓度和彎矩值，并將Reddy簡化理論解與經典理論CLT[9]、修正剪切剛度的FSDT[12]進行對比(M取40)。計算結果見表5～表6。

表5 [45°/-45°/45°] CCCC層合板中心撓度RSDT解與CLT、FSDT解比較

表6 [45°/-45°/45°]T CCCC層合板中心彎矩Mx(0.5,0.5) RSDT解與CLT、FSDT解比較

由表5～表6可看出：當a/h增大到一定值時，RSDT解數值已經接近CLT、FSDT解數值；當a/h降低到一定值時，RSDT解與CLT解的撓度值、彎矩逐漸出現差距。在目前設定的邊界條件、鋪設方式、結構尺寸和板中心位置，RSDT解與FSDT解撓度值、彎矩比較接近，FSDT解撓度值一般要略大于RSDT解撓度值。以上的計算結果從不同的方面驗證了本文解的正確性和收斂性。

2.2 撓度、彎矩和扭矩對比計算結果

對不同板厚h、不同鋪層N和不同鋪設角θ的對稱角鋪設層合板中心撓度、彎矩、扭矩進行計算，具體結果見表7～表10。對3種級數形式一般解析解計算時均選取M=60(項)。

表7 四邊固支層合板中心撓度、彎矩和扭矩的RSDT與FSDT、CLT計算值對比(h=0.02m,a=b=1m)

表8 四邊固支層合板中心撓度、彎矩和扭矩的RSDT與FSDT、CLT計算值對比(h=0.05m,a=b=1m)

表9 四邊固支層合板中心撓度、彎矩和扭矩的RSDT與FSDT、CLT計算值對比(h=0.1m,a=b=1m)

表10 四邊固支層合板中心撓度、彎矩和扭矩的RSDT與FSDT、CLT計算值對比(h=0.15m,a=b=1m)

2.3 數值結果分析

通過對表7～表10的分析，可以得到以下結果：

1)橫向剪切效應降低了板結構剛性。根據表1～表4，相對于經典板理論的板中心撓度值，Ressner一階剪切理論、Reddy簡化高階剪切理論的板中心撓度值均有不同程度的增大。對于薄四邊固支層合板彎曲(如h/a=0.02)，經典理論解與兩種剪切理論解數值相差不大，橫向剪切效應較弱，可以采用經典理論計算撓度和彎矩、扭矩。當板跨厚比h/a=0.05時橫向剪切效應已不可忽略，應當按剪切理論計算撓度值，CLT理論不同程度地低估了結構撓度。

2)經典理論與Ressner一階剪切理論、Reddy簡化剪切理論計算結果存在不同程度的差異。對于四邊固支層合方板中心的彎矩、扭矩，隨著板厚度增加，經典理論和剪切理論(Ressner一階剪切理論、Reddy簡化高階剪切理論)計算值差異逐漸顯著起來:如h/a≤0.1時，彎矩、扭矩一般相對誤差在10%以內;如h/a>0.1時，彎矩、扭矩相對誤差可能超過10%，在20%之內。對于一階剪切理論和Reddy簡化高階剪切理論而言，固支層合方板中心撓度與彎矩、扭矩計算結果基本相當，固支層合方板中心FDST的撓度值比RSDT撓度值稍大，固支層合方板中心RSDT的彎矩值、扭矩值與FDST的彎矩值、扭矩值基本相當并呈現上下波動的趨勢。這表明對于四邊固支層合方板，其板中心撓度、彎矩、扭矩計算采用一階剪切理論足夠精確。本文所說的Ressner一階剪切理論是修正剛度以后的一階剪切理論，且這一結論只對本文涉及的四邊固支板中心處撓度、彎矩、扭矩計算有效。

3)鋪設層數對層合板結構力學特性有較大影響。固定板厚并平均設定每層厚度，增大鋪設層數N可以提高層合板的剛性和強度。具體表現為：一是增大鋪設層數N，撓度值在降低，如根據RSDT理論解，對于厚度為0.1m的1層45°層合板中心撓度為0.2741×10-5m，9層[45°/-45°/45°]3對稱角鋪設層合板中心撓度為0.2172×10-5m，為單層板撓度的79%。二是增大鋪設層數后彎矩、扭矩值在降低，扭矩值降低幅度相對更大，如根據RSDT理論解，對于厚度為0.05m的1層45°層合板中心扭矩為153.3N·m，9層[45°/-45°/45°]3對稱角鋪設層合板中心扭矩為41.3N·m，僅為單層板中心扭矩的27%。根據FSDT、CLT理論解計算，也能得到類似的結論。但增大鋪設層數，層合板制造費用也在增加，具體層合板設計存在一個優化問題。

4)鋪設角對層合板結構力學特性同樣有較大影響。鋪設角變化以后，層合板撓度、彎矩、扭矩都在不同程度地變化，從表1～表4均可發現這一現象。對于本文選擇的四邊固支邊界條件，對板邊界力學約束比較強，鋪設角變化后各力學響應參數總體不是很劇烈，而對簡支或有自由邊的板結構情況會有所不同。

5)橫向剪切效應和彎扭耦合效應有交聯。本文引入橫向剪切效應參數Ts(coefficient of transverse deformation)，以衡量橫向剪切效應。

其中，wclt為經典理論的撓度值，wsdt為剪切理論的撓度值。顯然，對于不考慮橫向剪切效應的經典理論，Ts=0。Ts數值越大，橫向剪切效應越強。以表3數據為例，對于h為0.1m的45°單層板時，根據FSDT計算板中心的Ts為0.772，根據RSDT計算板中心的Ts為0.739;而h為0.1m的35°單層板根據FSDT計算板中心的Ts為0.805，根據RSDT計算板中心的Ts為0.768。鋪設角改變，板彎曲的彎扭耦合效應也隨之變化，鋪設角由35°增加到45°，彎扭耦合效應增大，Ts數值在下降，橫向剪切效應在降低，顯然這對于提高結構的剛性是有益的。對于四邊固支層合方板，比較根據FSDT與RSDT計算所得的Ts，可知FSDT過度估計了板的橫向剪切效應，而CLT忽略了板的橫向剪切效應。

3 結論

解析法研究可過濾數值研究可能因數值方法不同帶來的潛在結論不確定，本文研究實踐表明了這一特點,解析法研究直接從板殼理論基礎出發，比較、衡量各種板殼理論計算同一問題的精度。本文工作表明經典理論對于薄壁的復合材料板的宏觀力學性能的分析是有用武之地的。對于相對厚的復合材料板，采用剪切理論計算分析是需要的。從本文研究來看，至少對于本文研究涉及的復合材料固支板，其中心的撓度和彎矩、扭矩等宏觀力學性能分析，一階剪切理論和簡化高階剪切理論計算值差異不大，這多少有些出乎預料。考慮到高階剪切理論解析計算研究還不是很充分，本文研究復合材料板參數不夠廣泛，后續筆者擬再沿用解析研究的方法，針對其他方向問題和邊界條件情況，再深入比較一階剪切理論和高階剪切理論適用范圍。從理論上看，相對一階剪切理論，簡化高階剪切理論不需要修正剪切剛度，是個先天的優點，其獨特的長處應可望在具體力學計算中體現出來。

本文引入的橫向剪切效應參數Ts給研究橫向剪切效應提供了一種標準參數，據此發現了復合材料結構橫向剪切效應與各向異性的關聯特性。與各向同性板結構相比，各向異性板結構有其自身特點，有許多未知力學特點和規律待探索。本文得到的結果有的可能是共性結果，也有的可能是階段性(或個性)結果，后續將針對其他各向異性結構力學問題繼續開展研究，具體結論再行報告。文中給出一批解析計算結果，可用以校核數值計算程序。