α-混合誤差下非參數回歸函數加權核估計的相合性*

李春雨

(廣西師范大學 數學與統計學院，廣西 桂林 541004)

0 引言

定義[2]：稱隨機變量{X n}為α-混合的，若存在非增的正數列，對存在)，其中，為所產生的σ-域.又若存在，則稱{X n}是幾何α-混合的.

設y1，y2，…，y n是固定在點x1，x2，…，x n的n個觀察值，適合模型

其中，g(x)是[0，1]上的未知函數，且把g(x)在[0，1]外的值定義為0，{εi}是隨機誤差序列，且假定0=x0≤x1≤…≤x n-1≤x n=1.

Priestley和Chao[3]對未知函數g(x)提出了一種加權核估計

其中K(u)是Borel可測函數，且0＜h n→0(n→∞);Benedeti.J.k[4]在獨立誤差情形證明了g n(x)→g(x)，a.s;秦永松[5]在獨立誤差情形減弱了文[4]的條件下，證明了g n(x)的強相合性;楊善朝在φ-混合誤差 、[6]NA相依下[7]研究了g n(x)的強相合性，獲得了一些較弱的充分條件;李乃醫[7]在混合誤差情形，給出g n(x)了的強相合性和矩相合性的充分條件;于德明[1]在誤差為α-混合條件下，要求，證明了g n(x)→g(x)，a.s.本文在α-混合情形下，減輕了對隨機誤差項的要求，在條件下研究了g n(x)的強相合性.

1 主要結論

基本條件：a)K(·)在R1上滿足s階Lipschitz條件，且在R1上有界;

b)g(·)在[0，1]上滿足t階Lipschitz條件.

定理1設滿足a)、b)兩個條件，且

1){εi}為α-混合，，存在常數r≥2，使;

2)存在常數θ＞r-1，

注：1)減弱了對K(·)的要求.本文對K(·)的要求在R1上滿足s階Lipschitz條件，K(·)連續且，從而K(·)有界.文[1]除了滿足定理所需條件，還作以下要求：，.

2)對h n=n-1中的l降低了要求.文獻[1]中要求，顯然文獻[1]對l的要求強于本文定理要求的.

3)放寬了對誤差{εi}的條件.文[1]中要求{εi}為同分布幾何α-混合，Eεi=0，又存在b i≥0，使

2 定理的證明

為了證明本文的主要結果，我們需要下述引理.

引理1[9]設{X n，n≥1}是α-混合序列，，那么

由式(1)和(2)有：

先證K n→0，由，

結合引理1知

所以，對 ?ε＞0有

而θ＞r-1，當n→ ∞ 時，.

由Borel-Cantelli引理可得，K n→0，a.s.

由(10)和(11)知，只需證

即證明

對?ε＞0，由Markov不等式，當m≥n→ ∞時，由時有，

因此{S n，n≥1}是Cauchy序列，存在S，使得.

從而存在子序列{S nk}，使得S nk→S，a.s.

再由推廣的Kolmogrov不等式得到：

由Borel-Cantelli引理有，當k→∞時，

也就是得到S n→S，a.s.

最后由Kronecker引理得：

從而定理得證.