層狀軟聲子晶體帶隙及傳輸特性的主動調控

(浙江工業大學 機械工程學院，浙江 杭州 310014)

當彈性波或聲波在一些周期性復合介質中傳播時，由于受周期性的Bragg散射和單散射體的Mie散射的聯合作用，會形成彈性波或聲波禁帶，通常把此類人工合成的功能材料稱為聲子晶體[1-2]。基于固體能帶理論，當波通過有限周期結構時，彈性波或聲波在聲子晶體帶隙范圍內能量會迅速呈指數衰減，因此聲子晶體在濾波、隔震降噪等領域有著廣泛的應用前景。對于此類材料帶隙形成機理、分布特性以及相應的計算方法、實驗測試等相關方面的研究也獲得了國內外研究者極大的關注。聲子晶體帶隙結構主要由周期性材料的材料參數(彈性模量、剪切模量和密度等)、原胞周期性排列方式和組元材料的體積分數等因素決定。通過理論計算后選取合適的參數搭配，往往可以設計出滿足特定要求的帶隙結構。然而通常情況下，一旦聲子晶體的材料參數與結構參數確定之后，其能帶結構也就確定了，如果能夠根據需要實現聲子晶體帶隙結構的動態調節，將為聲子晶體的實際應用提供更為廣闊的空間。

一維聲子晶體由于構造相對簡單，制備方便，在新型減震降噪設備、消音器和濾波器等制作方面已有所應用。研究者從實驗、模擬和理論三個方面入手，已對一維聲子晶體開展了大量的工作，并取得一定研究成果[3-7]。其中邱學云等[4]對比了一維三組元桿狀聲子晶體和一維二組元桿狀聲子晶體的帶隙特征以及傳輸性質，研究發現三組元聲子晶體的帶隙比二組元聲子晶體的帶隙更寬，帶隙中心頻率更低。賈曉珍等[8]在一維層狀聲子晶體的傳播特性的研究中也得到了類似的結論。由此可見一維三組元聲子晶體相比于二組元聲子晶體在實際應用中更具有優勢。目前對一維三組元聲子晶體的研究大多停留在帶隙的被動調控層面，很少有人嘗試研究帶隙的主動調控。近年來隨著材料科學的發展，新型功能材料在聲子晶體中的應用為這一目標的實現提供了一條新的途徑。超彈性材料作為一類軟材料在受到外力作用下能夠發生非常大的變形，與此同時材料自身的力學屬性也會發生顯著改變，而這正是影響聲子晶體帶隙結構的重要因素。因此與傳統硬材料相比，超彈性材料在可調控聲子晶體中的應用具有非常明顯的優勢，通過施加不同的機械力偏場可以實現聲子晶體的帶隙結構的主動調控。國外Bertodli課題組[9-12]利用多孔超彈性材料微觀結構力致失穩的機理，通過外加荷載來改變多孔聲子晶體的拓撲結構，實現了聲子晶體帶隙結構的動態控制。Huang等[13]報道了靜態力偏場對于可壓縮一維聲子晶體中小幅值縱波禁帶結構的調控作用，并且研究了材料組分比對帶隙寬度、位置的影響。筆者以超彈性材料構成的三組元層狀軟聲子晶體為研究對象，首先基于非線性有限變形理論[14]，計算了不同預應力偏場作用下三組元層狀軟聲子晶體各組分材料參數、幾何尺寸的變化，然后通過有限元軟件Comsol建模研究了結構中小幅值縱波傳播問題，分析了預應力偏場對于聲子晶體帶隙分布以及有限周期層合結構中傳輸特性的影響。

1 模型及理論

圖1 兩端預拉伸超彈性材料聲子晶體示意圖Fig.1 Schematic illustration of the periodic hyperelastic laminates

根據非線性大變形理論[14]，對于可壓縮超彈性材料，取物體未變形時的初始構型為參考構型，其上的點記作X，經過運動x=χ(X,t)，初始構型變為現時構形。其中X和x分別表示初始構型以及現時構形的位置向量。筆者采用可壓縮的neo-Hookean能量密度函數[15]來描述超彈性材料，即

(1)

Jτ=2Ω1b+2I3Ω3I

(2)

式中：b=FFT;Ωm=?Ω/?Im;J=detF。

(3)

(4)

(5)

式中

(6)

(7)

2 數值仿真與分析

數值建模所采用的材料參數見表1。

表1 超彈性材料參數表1)Table 1 Material properties

注：1)E為彈性模量；μ為剪切模量。

圖2 三種組元材料彈性模量變化圖Fig.2 Variations of and with for the composite

TL=log10(|p1/p0|)

(8)

圖3 一維三組元聲子晶體不同力偏場下的帶隙圖及傳輸圖譜(v(A)∶v(B)∶v(C)=1∶1∶1)Fig.3 Band gaps distribution and transmission spectrum as functions of for the soft laminates(v(A)∶v(B)∶v(C)=1∶1∶1)

當三種材料組分比由v(A)∶v(B)∶v(C)=1∶1∶1(變為v(A)∶v(B)∶v(C)=1∶2∶2時，對比圖3，4可以看出帶隙位置降低了，這是由于原胞中等效模量較小的硅橡膠組分比增加，結構整體剛度減小所導致。而當改變組分比為v(A)∶v(B)∶v(C)=1∶1∶3時，從圖3～5的對比中可以看出：由于等效模量較大的組分材料聚氨酯比例上升，結構整體剛度明顯增加，帶隙位置顯著提高。

圖4 一維三組元聲子晶體不同力偏場下的傳輸圖譜( v(A)∶v(B)∶v(C)=1∶2∶2)Fig.4 Band gaps distribution and transmission spectrum as functions of for the soft laminates (v(A)∶v(B)∶v(C)=1∶2∶2)

圖5 一維三組元聲子晶體不同力偏場下的傳輸圖譜 v(A)∶v(B)∶v(C)=1∶1∶3Fig.5 Band gaps distribution and transmission spectrum as functions of for the soft laminates (v(A)∶v(B)∶v(C)=1∶1∶3)

3 結 論

以三種可壓縮超彈性材料組成的一維三組元層狀聲子晶體為研究對象，采用非線性有限變形理論計算不同力偏場作用下三種組分材料參數、幾何尺寸的變化，然后通過有限元軟件Comsol建模研究了結構中小增量場縱波傳播問題，分析了預應力偏場、材料組分比對結構帶隙分布以及傳輸特性的影響，從理論上實現了力偏場對一維三組元超彈性聲子晶體中縱波傳輸行為的主動調控。