一類非線性反饋系統的自適應輸出調節*

崔 雷，李其申，，儲 珺

（1.南昌航空大學信息工程學院，南昌 330063；2.江西省圖像處理與模式識別重點實驗室，南昌 330063）

0 引言

為了維持閉環控制系統的穩定，設計一個有效的反饋控制器尤為重要，要求閉環系統的輸出可以漸近地跟蹤由外部系統產生的參考輸入，且對于外部系統產生的干擾，它也能漸近地抑制，當產生參考輸入和干擾的外部系統模型滿足自治微分方程時，這就變成了輸出調節問題。關于線性系統的輸出調節問題，在20世紀七八十年代得到了充分細致的研究[1-2]。從20世紀90年代開始，研究者開始把焦點投向非線性系統的輸出調節領域，并取得了一些重要的研究成果[3-12]。其中，文獻[3]研究了一類非最小相位分線系統的魯棒輸出調節。文獻[4]把模糊自適應控制引用到一類非線性不確定系統的輸出調節。

文獻[5]研究了一類不確定非線性系統的動態面輸出調節。文獻[6]把神經網絡引用到非線性系統的輸出調節問題。文獻[7]研究了外部系統為非線性的輸出調節問題。文獻[8]研究了一類非線性輸出反饋系統的自適應輸出調節問題。

由于在上述文獻中，外部系統的假設條件大多數都是線性的，非常不利于輸出調節理論的發展和應用，文獻[7-11]研究了具有非線性外部系統的非線性系統輸出調節。文獻[13]研究了兩類MIMO非線性系統的自適應神經網絡控制算法。而文獻[14]研究了一類純反饋非線性系統問題。關于嚴格反饋非線性系統的輸出反饋控制問題，在文獻[15]中作了詳細介紹。然而，上述文獻均要求系統具有穩定的零動態，也就是必須考慮非線性系統是最小相位的情況。

本文研究一類非線性外部系統，且相對階數等于2的不確定非線性的最小相位系統[16]的全局魯棒輸出調節問題。由于非線性外部系統和非最小相位的假設條件同時在以下系統模型中出現，使得這一問題更為棘手，從而也更具有挑戰性。本文將采用非線性內模的方法來設計、反饋控制、自適應理論和Lyapunov函數設計方法[17]等設計一個狀態反饋控制器。

1 系統和問題描述

考慮式（1）描述的不確定非線性系統：

且滿足a（0）=0的光滑函數。

系統式（1）中 f，g，q 是充分光滑的函數，且

問題描述：考慮非線性系統式（1）和非線性外部系統式（2），設計一個反饋控制器，使得對任意的初始狀態和w，所得到的閉環系統的軌跡在時間t＞0是有界的，且使。

為了將式（1）的輸出調節問題轉化為增廣系統的鎮定問題，需要作如下假設：

由于解u（v，w）依賴于外部信號 v和w，所以u（v，w）是不能直接用于反饋控制的。那么需要設計一個不依賴v和w的非線性內模系統，漸進地提供一些關于u（v，w）的信息，來達到控制的目標。

2 非線性內模設計

假設2對非線性系統式（1）和式（2），存在一個式（4）所示的非線性系統：

且存在任意的矩陣A，B使得：

綜上所述，可以設計一個如下形式的內模系統：

3 狀態和輸入變換

要使非線性系統式（1）和非線性外部系統式（2）的全局魯棒輸出調節問題轉換為全局魯棒穩定性問題，要對式（1）、式（2）和內模式（8）作式（9）所示的變換：

那么，根據式（1）的狀態x和式（9）的x得到：

其中：

再根據式（1）的跟蹤誤差e可得：

那么可得：

其中：

由此可知，關于非線性系統式（1）和非線性外部系統式（2）的全局魯棒輸出問題轉化為式（10）、式（12）、式（13）的全局魯棒穩定性問題。

假設 4 存在一個在 z（0）=0 的光滑函數 z（e）和下列式子：

能夠使得式子：

滿足對任意取定的光滑函數c（e）＞0都有：

1）存在一個連續可微的正定函數Ve和兩個K∞類的函數，使得：

由此可知：

其中：

這樣，就將非線性系統式（1）和非線性外部系統式（2）的全局魯棒問題轉化為非線性系統式（16）、式（19）的全局穩定性問題。

4 反饋控制器設計

定理1對非線性系統式（1）和外部擾動系統式（2），通過設計非線性內模來估計外部未知擾動系統，利用Lyapunov函數和自適應理論推導出控制器式（22），使得系統全局穩定有界，且使得。

其中，Ve（e）是連續可微的，矩陣P是正定對稱。

根據Lyapunov函數，可知V是一個無界且正定的函數。那么，對時間t求導得：

由式（18）可得：

由式（5）不等式可知：

可知：

對任意的實數t1，t2，選取適當的常實數ε，使得存在下列不等式：

則由式（27）得：

再把式（21）代入不等式（28）可得：

設：

則得到：

根據控制器式（22），可得：

令：

則由式（33）得到：

綜上所述可知：V的導數是負定的，根據Lyapunov從而知道都是有界穩定的，再利用Barbalat引理，可知道。

證畢。

5 仿真實例

本部分內容用一個數值仿真例子來驗證前面理論的有效性。

考慮式（35）所示的非線性系統：

其中，w為不確定參數。x，y為系統狀態，u為控制輸入，e為跟蹤誤差。v1，v2為干擾，由非線性外部系統生成。

根據式（3）可得：

那么，可以得到非線性內模：

可知滿足假設2和假設3。

圖1 跟蹤誤差e

圖2 系統狀態x，y

圖3 控制輸入u

圖4 ζ的仿真圖形

圖5 內模η1估計外部系統v1

6 結論

針對一類不確定相對階數為2的非線性系統式（1），在外部未知非線性擾動系統式（2）下，結合輸出調節理論，提出了一種非線性內模，利用Lyapunov函數和自適應理論設計出反饋控制器，使得非線性系統式（1）全局狀態漸近的有界穩定，且跟蹤誤差最終穩定。通過數值仿真可知，設計的控制器是有效的。