基于布魯斯特角約束的超低空目標(biāo)攔截變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律*

張 濤，李 炯，葉繼坤，駱長鑫，張金鵬

（1.空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院，西安 710051；2.中國空空導(dǎo)彈研究院，河南 洛陽 471009）

0 引言

雷達(dá)導(dǎo)引頭易受電子干擾的影響，特別是在跟蹤超低空目標(biāo)時(shí)，由于地海雜波的影響，雷達(dá)一般難以對(duì)超低空目標(biāo)進(jìn)行探測，因此，超低空突防已經(jīng)成為一種常用的突防手段，研究具有超低空反導(dǎo)能力的防空導(dǎo)彈已經(jīng)刻不容緩[1-4]。

現(xiàn)在解決多路徑效應(yīng)和地海雜波的影響，多集中在濾波算法的研究。研究表明，將擦地角約束到布魯斯特角附近時(shí)，地海雜波反射系數(shù)最小，可以有效提高導(dǎo)引頭的測量精度，因此，角度約束具有重要意義。

目前，國內(nèi)外許多學(xué)者針對(duì)不同的應(yīng)用背景提出了多種帶角約束的導(dǎo)引律，如改進(jìn)的比例導(dǎo)引律、最優(yōu)導(dǎo)引律、微分幾何導(dǎo)引律、變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律等[5-13]。文獻(xiàn)[5]通過加入補(bǔ)償量設(shè)計(jì)一種改進(jìn)型的比例導(dǎo)引律，使其具有一定的攻擊角度，但其對(duì)導(dǎo)引信息的準(zhǔn)確性要求比較高，抗干擾能力差。文獻(xiàn)[6]基于最優(yōu)控制理論推導(dǎo)出了最優(yōu)導(dǎo)引律，設(shè)計(jì)了特種彈道，但它依賴于各種假設(shè)和簡化，魯棒性較差。

由于滑模變結(jié)構(gòu)在滑動(dòng)模態(tài)下對(duì)干擾具有不變性，其控制算法較為簡單，因此，滑模變結(jié)構(gòu)控制也被廣泛應(yīng)用于導(dǎo)引律的設(shè)計(jì)中，文獻(xiàn)[7]基于變結(jié)構(gòu)控制算法，通過對(duì)視線角進(jìn)行調(diào)整，設(shè)計(jì)了一種滿足攻擊時(shí)間和角度約束的制導(dǎo)律，但制導(dǎo)律形式復(fù)雜，需要大量的迭代運(yùn)算，實(shí)時(shí)性較差。文獻(xiàn)[8]提出了一種帶落角約束的變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律，并對(duì)彈目距離變化率進(jìn)行了估計(jì)。文獻(xiàn)[9]對(duì)終端滑模控制方法進(jìn)行了深入分析和研究，驗(yàn)證了終端滑模控制方法在收斂特性上的優(yōu)越性。本文基于滑模變結(jié)構(gòu)理論，設(shè)計(jì)滿足布魯斯特角約束的新型導(dǎo)引律（Brewster angle constraint sliding mode guidance，BCSG），并將設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律與經(jīng)典的比例制導(dǎo)律進(jìn)行對(duì)比。

1 地雜波對(duì)導(dǎo)引頭測量精度影響

一般情況下，大地可看作為半導(dǎo)體媒介，地雜波正是雷達(dá)天線所發(fā)射的電磁波經(jīng)過地面的發(fā)射而形成的反射波，電磁波由空氣斜射到半導(dǎo)體媒介中，其反射系數(shù)與入射角（入射波與地面的夾角）的變化關(guān)系如圖1所示。

圖1 反射系數(shù)與入射角α的關(guān)系

由反射系數(shù)與入射角的關(guān)系可得：反射系數(shù)隨入射角α變化劇烈，沒有無反射點(diǎn)，但有最小反射點(diǎn)，通常將產(chǎn)生最小反射的入射角稱為布魯斯特角，布魯斯特角隨著不同的地面情況（如山地、平原等）不同而不同，一般在10°～25°之間。當(dāng)入射波以布魯斯特角入射時(shí)，其反射系數(shù)最小。

因此，在導(dǎo)彈攔截超低空目標(biāo)的末制導(dǎo)過程中，要求將導(dǎo)彈的擦地角盡量約束在布魯斯特角附近，如圖2設(shè)計(jì)的彈道所示，從而提出了具有末段特定角度約束的新型末制導(dǎo)律設(shè)計(jì)要求，以克服多路徑效應(yīng)引起的導(dǎo)引頭測量誤差及其對(duì)末制導(dǎo)精度的影響。

圖2 角度約束下的理想彈道

2 考慮布魯斯特角約束的滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)

2.1 導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型

導(dǎo)彈攔截目標(biāo)示意圖如圖3所示，圖中M和T分別表示導(dǎo)彈和目標(biāo)，v和vt分別表示導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度，q表示彈目視線角，θm和θt分別表示導(dǎo)彈和目標(biāo)的彈道傾角，ηm表示目標(biāo)的前置角，角度以逆時(shí)針方向?yàn)檎琑表示彈目距離。

導(dǎo)彈和目標(biāo)在攻擊平面，彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型為：

圖3 導(dǎo)彈與目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)示意圖

其中，wq和uq分別為目標(biāo)加速度和導(dǎo)彈加速度在視線法向上的分量，uq為控制量，wq為干擾量。

2.2 考慮角約束滑模變結(jié)構(gòu)末制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

在導(dǎo)彈的末制導(dǎo)段可近似認(rèn)為θm=q，因此，選取如下的動(dòng)態(tài)滑模面：

其中，c為滑模面中待設(shè)計(jì)的參數(shù)，qT為期望的視線角。所設(shè)計(jì)的滑模面，第1項(xiàng)保證了制導(dǎo)時(shí)視線角的變化率為零，進(jìn)而使脫靶量為零，第2項(xiàng)保證了導(dǎo)彈飛行過程中視線角能夠約束到期望的視線角附近。

選取如下所示的趨近律：

其中，k和ε為正常數(shù)。

從而可以推導(dǎo)出：

對(duì)于得到的制導(dǎo)律，可以用飽和函數(shù)來代替制導(dǎo)律中的符號(hào)函數(shù)，從而抑制系統(tǒng)中的抖振。

2.3 穩(wěn)定性分析

根據(jù)滑模動(dòng)態(tài)可達(dá)性，構(gòu)造如下的Lyapunov函數(shù)：

對(duì)式（9）進(jìn)行求導(dǎo)得：

于是可得：

1）當(dāng) s＞0 時(shí)，sgn（s）=1，只要滿足 -ε+wq＜0，即wq＜ε，就能保證。

2）當(dāng) s＜0 時(shí)，sgn（s）=-1，只要滿足 ε+wq＜0，即wq＜-ε，就能保證。

解微分方程得：

將 y=q-qT代入式（12）得：

其中，d為微分方程通解中的常數(shù)。

由式（13）可得，當(dāng)t→∞時(shí)q=qT，能夠到達(dá)平衡點(diǎn)。

在有限時(shí)間內(nèi)約束到期望的角度上。

3 數(shù)字仿真分析

為驗(yàn)證本文提出的BCSG性能，采用MATLAB對(duì)所設(shè)計(jì)的導(dǎo)引律進(jìn)行了數(shù)字仿真，并與傳統(tǒng)的比例制導(dǎo)律（PN）進(jìn)行比較。本文選取巡航導(dǎo)彈作為攻擊目標(biāo)，仿真基本參數(shù)：在參考慣性坐標(biāo)系下，選取導(dǎo)彈的初始位置為（xm0，ym0）=（0，1 500），目標(biāo)初始位置為：（xt0，yt0）=（3 000，200），導(dǎo)彈的速度為 1.5 ma，目標(biāo)的速度為0.72 ma，導(dǎo)彈的最大過載為20 g，布魯斯特角 θB=20°，目標(biāo)的彈道傾角 θt=180°，假設(shè)在中末交班時(shí)，中制導(dǎo)已經(jīng)將視線角約束到布魯斯特角附近。

3.1 場景1打擊勻速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)

假定目標(biāo)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，圖4～圖6分別給出了縱向攻擊平面內(nèi)彈道曲線、視線角曲線和過載曲線。

圖4 目標(biāo)勻速運(yùn)動(dòng)縱向攻擊平面彈道曲線

圖5 視線角變化曲線

圖6 過載變化曲線

由圖4可得，所設(shè)計(jì)的彈道曲線明顯平直，導(dǎo)彈在飛行過程中能有效節(jié)省能量。由圖5可得，所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律能將視線角約束到布魯斯特角附近，而傳統(tǒng)的比例制導(dǎo)律則出現(xiàn)了視線角發(fā)散的情況。由圖6可得，BCGS在導(dǎo)彈的末制導(dǎo)飛行階段過載較為均勻，且中間飛行段的過載基本趨近于0。經(jīng)過200次蒙特卡洛仿真得，BCGS的脫靶量為0.211 9 m，PN的脫靶量為0.572 6 m，因此，BCGS能夠有效地減小脫靶量，提高制導(dǎo)精度。

3.2 場景2打擊機(jī)動(dòng)目標(biāo)

圖7 目標(biāo)余弦機(jī)動(dòng)縱向攻擊平面彈道曲線

圖8 視線角變化曲線

圖9 過載變化曲線

由圖7和圖8可直觀地看到，在目標(biāo)做機(jī)動(dòng)時(shí)，BCGS仍能保證有一個(gè)平直的彈道，且仍然能夠?qū)⒁暰€角約束到期望的角度。

4 結(jié)論

本文對(duì)導(dǎo)彈末制導(dǎo)中的角度約束問題進(jìn)行了研究，基于滑模變結(jié)構(gòu)理論提出了一種帶落角約束末制導(dǎo)律，對(duì)穩(wěn)定性進(jìn)行了證明。通過仿真試驗(yàn)，驗(yàn)證了所提制導(dǎo)律的優(yōu)越性和有效性。本文設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律結(jié)構(gòu)形式簡單，具有較強(qiáng)的魯棒性，易于工程實(shí)踐，具有比較高的工程實(shí)用價(jià)值。