基于FOCUSS二次加權的DOA估計方法*

韓學兵，姜照君

（解放軍95795部隊，廣西 桂林 541003）

0 引言

傳統的DOA估計方法（如MUSIC方法、ESPRIT方法等），在信源不相干的前提下利用空間分解后的正交性構造出“針狀”空間譜，若信源相干則會嚴重影響分辨和測向精度[1]。空間中信源個數有限且一般小于陣列傳感器數量，符合空間“稀疏”定義，因此，稀疏重構算法可應用于DOA估計。由于稀疏空間中只有“0”或“1”的區別，而無需區分相干源或非相干源，也不會用到噪聲空間和信號空間的正交特性，因此，在處理DOA估計問題時具有極強的穩健性；同時，稀疏重構方法只是在它認為信號可能存在的精確位置不斷地聚集能量同時抑制無信號區域的能量，從而達到高分辨效果。

目前，可用于DOA估計的稀疏重構算法有很多，包括利用每步迭代中殘差與采樣矩陣的匹配運算后剪枝逼近最優解的貪婪算法（如OMP、CoSaMP[2]等）；用SVD方法將觀測矩陣分解，在保持信號子空間維度的前提下對噪聲子空間降維以降低運算量的-SVD方法[3]；以及在每步迭代中令加權范數最小的FOCUSS方法及其衍生算法[4-6]。貪婪算法雖然運算量低、實現簡單，但是對信號模型傳感矩陣的 RIP（Restricted Isometry Property）[7]性要求高，而且在稀疏項數量較少情況下才能保證較高的恢復成功率；采用最小范數原理的-SVD等方法，基于凸優化方法進行運算和重構，算法復雜、運算速度慢、運算硬件成本高等特性使之不適用于大規模計算；FOCUSS及其衍生算法類中，原始FOCUSS 方法[4]重構精度不高，TLS-FOCUSS 方法[5]不能用于MMV模型的DOA估計，SD-FOCUSS方法[6]不能對DOA模型中模型噪聲進行有效建模而降低了估計性能。

本文研究了一種基于FOCUSS二次加權的DOA估計方法。該方法將傳統的DOA估計模型構建為具有稀疏性的信號處理模型，對壓縮傳感/感知技術應用于DOA估計的方法進行拓展和改進，在信號處理的每次迭代運算中，利用FOCUSS方法求解出最小范數加權矩陣，并對輸入信號進行初步重構；再利用初步重構數據進行改善性能的加權矩陣二次賦值并對輸入信號再次重構，得到更加精確的信號重構結果，最后利用重構信號的行稀疏性與傳感矩陣列向量之間的映射關系進行DOA估計。

1 DOA估計信號模型

為將DOA估計表述為一個稀疏重構問題，還需對式（1）等價變換，構建出滿足稀疏表示的信號模型。為此，構建為一個包含所有位置信息的冗余字典矩陣，其中為全域方位角的采樣向量，且；并構建稀疏向量，其中 x（n，l）的值為：

則式（1）可等價為

多快拍DOA估計的稀疏信號模型可表達為

2 基于FOCUSS二次加權的DOA估計

在貝葉斯理論觀點中，X可認為是獨立于噪聲N的隨機、具有行稀疏性的未知矩陣。在此假設下，可得到X的最大后驗估計

其中，P（X|Y）表示在Y發生的條件下X發生的概率，P（Y|X）表示在X發生的條件下Y發生的概率，P（X）表示X發生的概率。假設噪聲N中各元素是服從方差為σ2的高斯白噪聲，則可知

綜上可得X的最大后驗估計為：

利用迭代松弛算法，可得到

利用矩陣求逆公式，可得到本次迭代的初步估計

根據上述加權原理，本文提出了一種具有顯性表達式的加權方法，即在第k次迭代中，通過的值求取能改善估計性能的二次加權矩陣Wk。將按行取范數得到的，對 FOCUSS方法的加權矩陣賦值方式進行改進，按照各元素的幅值比重對加權矩陣Wk的對角元素進行賦值，即：

首先令Wk為N×N對角矩陣，然后令對角元素的值滿足

得到二次加權矩陣后，在第k次迭代中對X進行二次估計，將步驟4）中的加權矩陣替換為新加權矩陣Wk，其估計公式為：

其中，Ak=AWk。

基于FOCUSS二次加權的DOA估計方法步驟如下：

基于FOCUSS二次加權的DOA估計方法初始化：Y，X0，A，σ，p，ε（預設收斂參數）1）計算，其中，；2）令，計算?；3）計算中前2K個幅度最大值對應的基坐標集；4）令Wk為N×N的對角矩陣，其對角元素滿足：，令U為5）令，計算?；6）如果，算法結束；否則，迭代次數加 1，即 k=k+1，轉到步驟 1）。

3 仿真算例

本節將用仿真實驗證明基于FOCUSS二次加權的DOA估計方法，對比其他可用于DOA估計算法時的優越性。在每次仿真實驗中，陣列是40陣元的標準線性陣列，觀測快拍數為100；觀測矩陣A中空間角度的網格劃分方式為-90°∶0.1°∶90°；信源為2個相干信源，入射角分別為6.05°和-6.31°；信號源幅度都設置為 1；信噪比（SNR）為 1/σ2；獨立蒙特卡洛實驗次數為500次。

圖1 各DOA估計方法分辨力比較

圖2 各DOA估計方法RMSE比較

圖1給出的是本文方法（RewFOCUSS）、RM-FOCUSS算法、-SVD方法應用于DOA估計，以及傳統DOA估計的MUSIC方法，在進行角度估計時所得結果的分辨力對比。圖1中對各估計結果的最強信號幅度都進行了歸一化處理。可以看出，傳統DOA估計的MUSIC方法分辨力是最差的，而稀疏重構算法應用于DOA估計時都可以達到超分辨的效果。

圖2給出的是RewFOCUSS方法、RM-FOCUSS方法、-SVD方法、SD-FOCUSS方法應用于DOA估計時，得到的估計角與真實角之間的統計均方根誤差（RMSE）曲線圖。通過RMSE曲線對比可看出，RewFOCUSS方法和-SVD方法所得結果的RMSE較小，即估計精度更高；在不同信噪比條件下，-SVD方法的曲線更平穩，穩健性最好，RewFOCUSS方法次之。

表1 各類算法運行時間（ms）

表1給出了各算法在同等環境中的運行時間，仿真環境為：仿真軟件為Matlab R2012a，計算機處理器為Intel Core i3-4170 3.70GHz，內存為4 GB。通過對比可看出，RM-FOCUSS方法速度最快；Rew-FOCUSS方法次之；由于-SVD方法的運算過程是基于凸優化算法完成的，運算量較大，運算過程最慢，所用時間約是RewFOCUSS方法的20倍。

通過本節仿真實驗，可得出RewFOCUSS算法無論是在恢復精度、穩健性，還是運算速度方面，其性能都是較優的，其綜合性能在同類算法中是最好的。

4 結論

為有效解決稀疏重構框架下的DOA估計問題，本文提出了基于FOCUSS二次加權的DOA估計方法，給出了該方法的數學推導過程和改進思路。該方法能通過對稀疏信號精確重構，能夠高分辨估計出信源的入射角度，與其他稀疏重構方法相比，該方法的估計精度更高、更穩健，硬件運算成本更低，綜合性能更好，因而在處理實際問題時更易實現、應用更廣。