局域共振型周期結構振動帶隙形成機理

李鎖斌,竇益華,陳天寧,李冰,蘇健軍,張帆,崔瀟驍

(1.西安石油大學機械工程學院,710065,西安;2.西安交通大學機械工程學院,710049,西安;3.西北工業大學航空學院,710072,西安;4.西安近代化學研究所,710065,西安;5.北京特種工程設計研究院,100028,北京)

近年來,關于彈性波或振動在周期結構中的傳播研究已成為固體物理學、材料科學及工程技術科學領域里一個熱點[1]。由于周期結構對彈性波或振動傳播過程具有獨特的調控作用——彈性波或振動帶隙特性[2],即當彈性波或振動通過時,帶隙內的波或振動會被抑制,因此研究這一特性的物理本質將為凝聚態物理學中復雜物理現象(負質量/折射、聲子聚焦等)的研究提拱理論支撐,為新型多功能材料(隱身/波導材料等)的設計提供新的方法,為工程技術科學中新型功能結構(結構隔振/減振等)的研制提供新思路[3-4]。

依據彈性波或振動帶隙形成機理,周期結構可分為布拉格散射型[5]和局域共振型[6]兩種,布拉格散射型周期結構因其帶隙主要由散射體對波的各種周期性調制產生,使得帶隙波長和結構尺寸處于同一數量級,很難實現小尺寸控制大波長。局域共振型周期結構的帶隙主要由振子的共振引起,帶隙波長較小,可以實現小尺寸控制大波長,有望實現低頻應用,如工程結構的振動控制。

迄今,人們對于局域共振型周期結構的帶隙形成機理的本質認識還不夠透徹,解釋依然較為籠統,雖然學界對局域共振帶隙的形成機理已達成共識[7-20],即振子的局域共振模態與基體模態發生相互耦合致使帶隙形成,但對振動帶隙產生的詳細過程還缺乏全面深入的認識,使得目前只能解釋帶隙是如何打開的,卻不能進一步揭示帶隙(或帶寬)是如何形成的,即只是簡單認為帶隙的寬度取決于振子模態與基體模態的耦合強弱,但對于二者的耦合機制及其遵循的基本準則沒有詳細論證,尚未有關于帶隙形成機理的明確的統一表征模式,因此對局域共振型周期結構的帶隙特性還無法實現主動設計。

針對上述問題,本文以局域共振型周期結構為對象,研究帶隙詳細形成過程機制,闡明帶隙形成機理。本文的研究思路為:提出帶隙形成的基礎理論假說,據此建立帶隙形成理論模型,依此闡明帶隙形成過程機制,并以典型二維周期結構的振動帶隙形成過程為例對所提出的理論及其模型進行驗證,最終提出并闡明局域共振型周期結構的振動帶隙形成機理。

1 振動帶隙形成的基礎理論假設

基于動力學理論,給出局域共振型周期結構振動帶隙形成的基礎理論假設,為提出帶隙機理奠定理論基礎。對一個n自由度系統,當施加激勵feiωxt時,其物理坐標下的動力學耦合方程為

(1)

式中M、K分別為質量和剛度矩陣,表示為

(2)

通過化簡得到系統固有特性的表征式

|K-ω2M|=0

(3)

式中:ω=[ω1,ω2,…,ωn]為n階固有頻率。n階振型A表示為

(4)

依據模態分析原理,將式(4)代入式(2),對質量和剛度矩陣進行正則化,得到正則質量和正則剛度矩陣MP和KP如下

(5)

(6)

于是系統在模態坐標下的解耦動力學方程為

(7)

式中:xp為系統在模態坐標下的響應。質點i的響應xpi表示為

(8)

進而,得到系統在物理坐標中的響應為

x=Apxp

(9)

因此,質點i在物理坐標下的響應為

(10)

(11)

2 振動帶隙形成機理模型

基于提出的基礎理論假設,建立振動帶隙形成的理論模型,原理如圖1所示。

圖1 局域共振型周期結構帶隙形成的理論模型

將基體等效為具有廣義質量m1、廣義轉動慣量I1和廣義剛度k1的等效系統1。其中,廣義集中質量沿空間x、y、z這3個方向的運動模式x1、y1、z1分別對應著3種廣義平移振動模式,廣義集中慣量沿3個坐標軸的轉動模式α1、β1、γ1分別對應著3種廣義轉動振動模式,系統1有6種廣義振動模式。將振子等效為具有廣義質量m2、廣義轉動慣量I2和廣義剛度k2的等效系統2。其中,廣義集中質量沿x、y、z3個方向的運動模式x2、y2、z2分別對應著3種廣義平移振動模式,廣義集中慣量沿3個坐標軸的轉動模式α2、β2、γ2分別對應著3種廣義轉動振動模式,系統2有6種廣義振動模式。于是,局域共振型周期結構中可傳播6種廣義波模式。基于帶隙形成的基礎理論假設和模型,得到局域共振型周期結構的廣義振動模式也即基體的傳播模式的表征式

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

3 振動帶隙形成過程機理

依據上述模型,提出局域共振型周期結構中振動帶隙詳細形成過程機制如下。

圖2 局域共振型周期結構子帶隙形成過程原理

(26)

式中k2和m2分別為振子在該階主模態的等效剛度和等效質量。帶寬由振子對基體主模態的抑制力強弱決定,抑制力為

(27)

(28)

(3)基體中存在6種廣義振動模式,各種模式由其對應的12階廣義模態依據模態疊加原理形成的主模態主導形成;振子主模態主導的振子模式依據模態參與因子通過抑制或釋放基體傳播模式的方式決定著振動帶隙的形成,即當振子主模態抑制廣義振動傳播模式時,形成了只能抑制該傳播模式的子帶隙;6種傳播模式對應6條廣義子帶隙,相互疊加形成完全振動帶隙,帶隙內6種廣義振動或傳播模式均被抑制。

4 振動帶隙形成機理驗證

以典型局域共振型周期板結構[12]為例,驗證上述理論。

該結構是通過在均勻板上周期布置一振子陣列而形成的二維局域共振型周期結構,原理如圖3所示。圖3a表示結構形貌;圖3b表示周期單元,振子由軟橡膠柱A和鋼柱B構成,二者高度分別為hA和hB,直徑均為d,基板厚為e,單元邊長為a;圖3c表示第一布里淵區。

(a)結構形貌 (b)周期單元 (c)第一布里淵區圖3 典型局域共振型周期板結構

采用有限元方法,通過Comsol Metaphysics 3.5a軟件計算能帶。計算中結構的幾何、材料參數與文獻[20]相同,最終得到結果如圖4所示。從圖4可以看出,在給定頻率范圍內存在一條完全帶隙(圖4a中頻率為300～450 Hz區域),兩條子帶隙2-x、2-y模式彈性波帶隙(圖4b中頻率分別為100～200 Hz和300～450 Hz區域),一條子帶隙1-z模式彈性波帶隙(圖4c中頻率為300～850 Hz區域)。

(a)完全帶隙

(b)子帶隙2

(c)子帶隙1

4.1 子帶隙1-z模式帶隙形成機理驗證

將子帶隙1局部放大,結果如圖5b所示。

(a)z模式能帶圖

(b)z模式能帶局部放大圖

提取能帶曲線上典型點對應的單元振動模式,如圖6所示。

圖6 單元的z模式振動

子帶隙1-z模式帶隙形成的詳細過程如下。

(1)當激勵頻率ω從0趨于120 Hz,即區間ω1,板波模態1被激發放大成為基板主模態,主導基板響應,橫向波(面外波)按該模式傳播,不發生衰減(有限結構中波傳播過程如圖7中過程(1)所示),無子帶隙1形成。

(2)當激勵頻率ω=120 Hz,模態6被激發放大成為振子主模態,但其振動模式為旋轉運動,與板波主模態不耦合,給基板沿垂直方向的作用力為零,未能抑制基板模式1,振動按模式1繼續傳播,子帶隙1未形成或者帶寬為0。

(3)當激勵頻率ω從120 Hz趨近140 Hz,即ω2區間,板波模態2被激發放大為基板主模態,主導基板響應,橫波按該模式傳播,無子帶隙1形成。

(4)當激勵頻率ω=140 Hz,模態6被激發放大成為振子主模態,子帶隙1未形成或者帶寬為0。

(5)當激勵頻率ω從140 Hz趨于320 Hz,即ω3區間,板波模態3被激發放大為基板主模態,主導基板響應,橫波按該模式傳播,無子帶隙1。

圖7 有限周期結構中z模式振動的傳播過程

(6)當激勵頻率ω=320 Hz,模態4被激發放大為振子主模態,主導振子振子沿垂直于板的方向運動,抑制了基板主模態,板內無z振動模式,橫波無法傳播,第一條子帶隙1打開(傳播過程如圖7中過程(2)所示)。開帶位置為振子主模態4的固頻,據帶隙理論,振子在該階主模態的等效質量為

m=πρBhB(d/2)2

(29)

式中:ρB為振子B的密度。對于振子A,沿z方向的正應力與正應變成正比,即

(30)

式中:Δz為振子A在z方向上的形變;EA為振子A的彈性模量;振子在該階主模態的等效剛度為

(31)

于是子帶隙1的起始位置頻率為

(32)

從而驗證了通過設計振子主模態的等效剛度和等效質量,可對帶隙起始位置進行主動設計。

(7)當激勵頻率ω從320 Hz趨于850 Hz,即ω4區間內,模態4依然為振子主模態,主導振子運動。隨著激勵頻率遠離模態4的固頻,其模態參與因子變小,振子對基體主模態的抑制變弱,表現為遠離開帶位置處,橫向波的衰減變小,但此區域內,板的z模式依舊被抑制(傳播過程如圖7中過程(3)(4)所示),形成子帶隙1,帶寬為ω4。據帶隙理論,振子在該階主模態對基體主模態的抑制力為

(33)

(8)當激勵頻率ω=850 Hz,模態4的參與因子變小,其對振子的主導變弱,板波模態5被激發放大成為基板主模態,主導基板響應,橫向波按此模式傳播(有限結構中波的傳播過程如圖7中過程(5)所示),子帶隙1關閉。

(9)當激勵頻率ω大于850 Hz,即ω5區間,板波模態5保持為基板主模態,主導基板響應,橫向波按此模式傳播(傳播過程如圖7中過程(6)所示),子帶隙1消失。

4.2 子帶隙2-x、2-y模式帶隙形成機理驗證

將子帶隙2局部放大,結果如圖8b所示。

(a)x、y模式能帶圖

(b)x、y模式能帶局部放大圖

提取子帶隙2能帶上典型點對應的單元振動模式,如圖9所示。

圖9 單元x、y模式振動

子帶隙2-x、2-y模式帶隙形成詳細過程如下。

(1)當激勵頻率ω從0趨于120 Hz,即ω1區間,板波x、y振動模態1被激發放大成為基板主模態,主導基板響應,縱波按該模式傳播,不發生衰減(傳播過程如圖10中過程(1)所示),無子帶隙2形成。

圖10 有限結構中x、y模式振動傳播過程

(2)當激勵頻率ω從120 Hz趨于230 Hz,即ω2區間,模態2被激發放大為振子主模態,主導振子運動,抑制基板主模態,縱波無法傳播(傳播過程如圖10中過程(2)和(3)所示,),子帶隙2形成。

(3)當激勵頻率ω從230 Hz增大,即ω3區間,板波x、y振動模態3被激發放大成為基板主模態,主導基板響應,縱向波按此模式傳播,不發生衰減(傳播過程如圖10中過程(4)所示),無子帶隙2形成。

4.3 完全帶隙形成機理驗證

依據上述分析可知:基體振動模式由其各階模態依據模型疊加原理形成的主模態主導形成;振子主模態依據模態參與因子通過抑制基體主模態的方式決定著振動帶隙的形成,即當振子主模態抑制基體的主模態時,形成了只能抑制該模式的子帶隙,子帶隙相互疊加,形成完全帶隙。驗證模型中,完全帶隙(見圖4a)僅由子帶隙1和2疊加而成。因此,說明本文提出的局域共振型周期結構振動帶隙形成的基礎理論假說和依此建立的帶隙形成理論模型,以及據此揭示的振動帶隙形成機理,是合理的。據此,通過設計振子主模態等效剛度和等效質量,可對帶隙打開位置進行主動設計,通過設計振子主模態等效剛度可對帶寬進行主動設計。

5 結 論

本文的主要工作和結論如下:

(1)基于動力學原理,給出了局域共振型周期結構振動帶隙形成的基礎理論,據此建立了帶隙形成的理論模型,依此模型闡明了帶隙形成機理并通過局域共振型周期板中帶隙形成時彈性波與結構的相互作用機制驗證了該理論;

(2)局域共振型周期結構存在6種廣義振動模式,各模式由廣義模態依據模態疊加原理形成的主模態主導形成,振子主模態依據模態參與因子通過抑制或釋放基體主模態的方式決定著振動帶隙的形成;

(3)帶隙特性主要由振子主模態的等效剛度和等效質量決定,通過設計振子主模態的等效剛度和等效質量,可對帶隙的打開位置頻率進行主動設計,通過設計振子主模態的等效剛度,可初步對帶隙的寬度進行主動設計。

本文研究為工程結構的減振技術提供了新方法的理論基礎,并為周期結構帶隙理論研究和帶隙特性主動設計奠定了基礎,完善了周期結構的基本理論。