有趣的“數(shù)字金字塔”

◆林革

埃及的金字塔世界聞名，不僅因為它非常雄奇壯偉，還在于有關(guān)它的神秘傳說，其中一些軼聞趣事一直被人們津津樂道。可以肯定的是，正是由于金字塔存在許多未解之謎，才給世人留下了想象的空間。在數(shù)學(xué)世界，也有類似神奇的“數(shù)字金字塔”，其中蘊含的數(shù)學(xué)玄機(jī)頗耐人尋味。

請認(rèn)真觀察上面這5個“數(shù)字金字塔”，你覺得它們有什么特別之處？乍一看，這5個“數(shù)字金字塔”形狀一樣，里面有5行，從上往下每行各填了1個數(shù)字、2個數(shù)字、3個數(shù)字、4個數(shù)字、5個數(shù)字，數(shù)字范圍在 1～30，這些數(shù)字雜亂無章，要找出“數(shù)字金字塔”的特別之處似乎并不容易。果真如此嗎？且聽我細(xì)細(xì)道來。

請你隨意想一個數(shù)字，這個數(shù)字在1至30這個范圍內(nèi)，然后默記于心，不要說出來，我把這 5個“數(shù)字金字塔”作為破解寶典，能輕松猜出你想的那個數(shù)字，而且保證脫口而出、分毫不差。整個過程你無需言語，只要根據(jù)我的指引點頭確認(rèn)或搖頭否認(rèn)你想的數(shù)字是否在①②③④⑤這5個“數(shù)字金字塔”中即可。

比如，你想的數(shù)字只在①、③這兩個“數(shù)字金字塔”中，那么我可以肯定你想的數(shù)字為5；如果你想的數(shù)字只在③、⑤這兩個“數(shù)字金字塔”中，那么我可以肯定你想的數(shù)字為20；如果你想的數(shù)字只在②、④、⑤這3個“數(shù)字金字塔”中，那么你想的數(shù)字必定為26；如果你想的數(shù)字只在①、③、⑤這 3個“數(shù)字金字塔”中，那么你想的數(shù)字必定為21……是不是很奇妙？值得說明的是，我不是能掐會算的半仙，也沒有猜心的神通法術(shù)，瞬間得知你想的數(shù)字且無差錯，憑的只是一個數(shù)字學(xué)小竅門——你想的數(shù)字在哪幾個“數(shù)字金字塔”中，就把這幾個“數(shù)字金字塔”頂端的數(shù)字相加，這可不費吹灰之力喲！沒準(zhǔn)有頭腦有眼力的聰明人已經(jīng)看出這個招數(shù)。至于“數(shù)字金字塔”的構(gòu)造原理，大家將來可在二進(jìn)制計數(shù)法中輕松找到答案。不過，這并不影響你現(xiàn)在跟別人小小賣弄一番喲。

如果你覺得“數(shù)字金字塔”挺有意思，探究未盡興深入，那么，不妨看看下面這個比較特殊的“平方數(shù)金字塔”。

這“平方數(shù)金字塔”看上去工整勻稱，極具美感，令人賞心悅目。你從中看出什么規(guī)律了嗎？

沒錯，這個“平方數(shù)金字塔”的特征是：一個自然數(shù)n的平方等于從1開始的n個連續(xù)奇數(shù)的和，反過來說，從 1開始的n個連續(xù)奇數(shù)的和等于n的平方。簡單地說，就是從1開始有幾個連續(xù)奇數(shù)相加，那它們的和就是幾的平方。

除此之外，還有更令人驚奇的“立方數(shù)金字塔”。

瞧，立方數(shù)也構(gòu)造出了類似的金字塔：一個自然數(shù)n的立方可以寫成n個連續(xù)奇數(shù)的和。仔細(xì)觀察這“立方數(shù)金字塔”，你還會有意外發(fā)現(xiàn)：“數(shù)字金字塔”各層的奇數(shù)首尾相連，構(gòu)成從 1開始的連續(xù)奇數(shù)的各層轉(zhuǎn)折排列。第一層為1，第二層為 3、5，第三層為 7、9、11……第n層有n個連續(xù)奇數(shù)。不難判斷，第n層連續(xù)奇數(shù)的范圍應(yīng)該介于 n×（n-1）和n×（n+1）之間，比如第6層由介于6×5=30和6×7=42之間的6個連續(xù)奇數(shù)組成，即63=31+33+35+37+39+41。

更具意趣的是，根據(jù)這個“立方數(shù)金字塔”，我們可以方便地求出從1開始的連續(xù)自然數(shù)立方之和。如13、23、33、43的和是“立方數(shù)金字塔”上面四層等號右邊所有連續(xù)奇數(shù)的和，是1+2+3+4=10個連續(xù)奇數(shù)的和，即13+23+33+43=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19。而根據(jù)“平方數(shù)金字塔”的特征，我們可以直接構(gòu)造關(guān)聯(lián)進(jìn)行簡便運算，即13+23+33+43=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=102=（1+2+3+4）2=100。由此進(jìn)行延展探究，我們可以得出下面的“數(shù)字金字塔”：

怎么樣？這“數(shù)字金字塔”讓人嘆為觀止吧？

小朋友們，我們認(rèn)真觀察數(shù)學(xué)現(xiàn)象，細(xì)心揣摩，深入領(lǐng)會和理解其中蘊含的數(shù)學(xué)原理，不僅能夠充分感受數(shù)學(xué)的魅力，沒準(zhǔn)還會有所發(fā)現(xiàn)呢！