媒體報道影響下的傳染病模型隨機滅絕性分析

張培鈺，劉茂省

(中北大學 理學院， 太原 030051)

媒體報道是一種有效控制傳染病傳播的途徑，疾控中心將竭力阻止疾病的傳播，盡快告訴人們適當的預防知識，有利于大眾積極預防疾病，不僅可以影響個人對疾病的行為，而且可以采取恰當的預防措施，如社會疏遠、戴防護口罩等。與此同時，任何傳染病的流行都會依賴人群中容易感染的個體，疾病信息傳播形成的意識活動也會導致疾病傳播的性態發生改變。作為意識傳播，人們對它作出反應，以至于改變他們的意識，從而通過改變他們的易感性來減小被感染的機會。基于傳染病信息傳播迅速的現狀和信息傳播對傳染病預防的影響，可知建立含有信息傳播因素的模型是非常有必要的。綜上，更現實的方法是考慮媒體報道和疾病信息意識的相互作用。為了從數學上描述這種情況，文獻[1-2]建立了研究信息傳播對傳染病傳播的影響。

近年來，已經有很多傳染病模型描述環境噪聲對傳染病動態的影響[3-5]，如氣候、衛生習慣等都會引起環境波動，這些因素可能會影響自然出生率、自然死亡率等。文獻[6]對這類問題展開了研究。對于人與人之間的傳染病而言，由于每個人的活動范圍隨時發生變化，人際交往接觸也不可預測，所以本文考慮在接觸率上加隨機擾動具有現實意義。本文首先基于確定性模型建立了隨機性模型；其次，運用文獻[7-9]中的相關知識對模型的正解存在唯一性及滅絕性進行了分析；最后，用數值模擬驗證這些結果的正確性。

1 模型的建立

1.1 確定性模型的建立

由于媒體對疾病進行報道，易感者對疾病產生預防的意識，從而減少與感染者的直接接觸形成新的一類——有疾病信息意識的易感者。因此，整個人群可以分為3類：無疾病信息意識的易感者、有疾病信息意識的易感者、感染者，分別用X(t),Xm(t),Y(t)表示t時刻其占總人數的比例。M(t)表示t時刻關于疾病形成的意識活動的累積密度，且與感染者的人數成比例，是一個隨時間變化的函數。已知在文獻[2]中建立了含有時滯項λX(t)M(t-τ)的傳染病模型，因此令τ=0，建立不含時滯的模型，可得系統(1)：

(1)

其中，假設b是所考慮地區的易感者的移民率，疾病只有通過易感者與感染者的直接接觸才能傳播。β是無意識的易感者與感染者的接觸率，d是自然死亡率，μ是媒體的執行率，μ0為媒體的耗散率，m0為爆發疾病的其他地區的信息傳播對本地區的影響，λ是指意識在無意識的易感者中的傳播率，λ0指有意識的易感者轉變成無意識的易感者的死亡率，ν指感染者的恢復率，q指進一步假設恢復為有意識的易感者的比例。有X(0)=X0>0,Xm(0)=Xm0≥0,Y(0)=Y0>0,M(0)=M0≥m0模型里的所有參數為正數。

模型的吸引域為：

1.2 隨機性模型的建立

在現實社會中，媒體報道的傳染病模型會受到環境噪聲的影響，使用隨機模型可以更準確地預測系統將來的動力學行為。因此，本文假設接觸率β和傳播率λ會受到隨機波動的影響，即β→β+σ1dB1,λ→λ+σ2dB2，假設恢復者恢復為易感人群，X表示易感人群，Y表示感染人群，Xm表示有意識人群，令m0=0，B(t)是帶有B(0)=0的標準布朗運動，σ2>0表示白噪聲的密度。媒體報道影響的隨機傳染病模型可以表示如下，即系統(1)可簡化為系統(2)：

(2)

2 正解的存在唯一性

為了研究傳染病模型的動力學行為，首先需要注意解是否為全局正解。接下來證明全局正解的存在唯一性，這是探究模型長期行為的先決條件。系統(2)的系數滿足局部Lipschitz連續條件，但沒有滿足線性增長條件，因而系統(2)的解有可能在有限時間內爆發。本節中，我們用Lyapunov分析方法證明系統的解是全局正解。

證明由于系統(2)的系數滿足局部Lipschitz條件，因此對任意給定的初值(X(0),Xm(0),Y(0),M(0))，在t∈[0,τe]時，有唯一的局部解(X(t),Xm(t),Y(t),M(t))，這里τe是爆發時刻。要證明(X(t),Xm(t),Y(t),M(t))是全局解，需證明τe=∞。令ε0>0,使得初值(X(0),Xm(0),Y(0),M(0))>ε0,對于任意的ε≤ε0,我們定義一個停止時刻：

τε=inf{t∈[0,τe]:X(t)≤ε或Xm(t)≤ε或Y(t)≤ε或M(t)≤ε}

對上述式子兩邊積分，可以得到：

EV1(X(t∧τε))≤V1(X(0),Xm(0),Y(0),M(0))+K(t∧τε)≤V1(X(0),Xm(0),Y(0),M(0))+Kt

另一方面，由V1(X(t∧τε))>0可以推出：

EV1(X(t∧τε))=E?χ(τε≤t)V1(X(t∧τε))」+E?χ(τε>t)V1(X(t∧τε))」≥E?χ(τε≤t)V1(t∧τε)」

(3)

(4)

結合式(3)(4)，對所有的t≥0有：

3 疾病的滅絕性

定理3.1如果R0<1,(Xm(t),Y(t),M(t))幾乎處處收斂(0,0,0)。

證明令(Xm(0),Y(0),M(0))∈Ω,因為R0<1,令η>0使得

設V2(t)=ln(Y(t)+Xm(t)+ηM(t)),根據多維It公式，可得：

對上述式子兩邊求積分可得：

ln(Y(t)+Xm(t)+M(t))≤ln(Y(0)+Xm(0)+ηM(0))-pt+

引理2(非負半鞅收斂定理)[11]設X(t),A(t),B(t)均為實值連續適應過程，N(t)是一個實值連續局部鞅，A(0)=B(0)=N(0)。ξ是一個非負可測的隨機變量，定義

X(t)=ξ+A(t)-B(t)+N(t)

也就是說，隨機過程X(t),B(t),N(t)收斂于有限隨機變量。

兩邊同時積分可得：

由定理3.1可得：

由引理2可得：

(5)

由定理3.1可得：

(6)

由式(5)和(6)可得：

(7)

證明利用It公式得出，

左右兩端從0到t積分可得，

4 數值模擬和討論

本節利用數值模擬的方法分析隨機模型(2)無病平衡點的動力學性質。圖1～4是當R0<1時隨機性模型與確定性模型解的對比圖，可以看出在噪聲強度比較小時，系統(2)的解在其確定性模型的無病平衡點E0附近隨機波動。

本文主要分析了媒體報道影響下的傳染病模型的隨機滅絕性，通過Lyapunov分析方法和It公式證明了模型存在唯一的全局正解，接著運用非負半鞅收斂定理，證明了當R0<1時，系統幾乎處處收斂，并且給出了隨機基本再生數和疾病滅絕的關系。通過數值模擬得知：當噪聲強度小時，基本可以忽略噪聲的影響，確定性模型和隨機性模型差別不大。

圖1 無疾病信息意識的易感者

圖3 感染者

圖中所取參數b=0.5，β=0.002，μ=0.005，d=0.06,σ1=0.01,σ2=0.03。