螺旋重在上升

陳超

摘 要：“螺旋式上升”是北師大版教材基于學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的科學(xué)編排，教學(xué)中許多教師將螺旋呈現(xiàn)為循環(huán)，未能很好促進(jìn)學(xué)生發(fā)展。如何很好的在螺旋中體現(xiàn)上升，作者以“三角形內(nèi)角和定理”為載體，對從合情推理到演繹推理過程中促進(jìn)學(xué)生哪些能力的發(fā)展提出了自己的思考。

關(guān)鍵詞：螺旋式上升三角形內(nèi)角和定理直觀抽象

最近，筆者隨我縣教師培訓(xùn)中心參加了一次鄉(xiāng)鎮(zhèn)送交“同課異構(gòu)”活動，有兩位教師上課，分別為縣內(nèi)教師培訓(xùn)團(tuán)隊(duì)優(yōu)秀青年教師和送教點(diǎn)優(yōu)秀青年教師。

聽評課過程中，筆者看到了課堂的精彩，聆聽了參訓(xùn)老師的點(diǎn)評，與授課教師與參訓(xùn)教師進(jìn)行了交流……受益匪淺，也引發(fā)了一些思考。這里，筆者結(jié)合兩位授課教師引導(dǎo)學(xué)生形成證明思路的探究活動，談?wù)勛约旱乃伎迹c授課教師和廣大同仁商討。[1]

一、授課內(nèi)容概述

本次同課異構(gòu)活動課題為北師大版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級上冊第七章第5節(jié)“三角形內(nèi)角和定理”（第一課時）。[2]

在七年級的“認(rèn)識三角形”內(nèi)容學(xué)習(xí)中，學(xué)生已通過撕紙活動探究了“三角形內(nèi)角和等于180°”這一結(jié)論，初步學(xué)習(xí)了用基本邏輯語句進(jìn)行簡單說理.本節(jié)課則是以“三角形內(nèi)角和定理”為載體，讓學(xué)生在具體命題證明中嘗試進(jìn)行有條理的表達(dá)，發(fā)展演繹推理能力。

二、案例呈現(xiàn)

教師案例1：（1）ppt展示七年級拼圖過程；（2）學(xué)生口頭表達(dá)結(jié)論正確性；（3）教師給出文字命題，并結(jié)合命題展示圖形及對應(yīng)幾何命題；（4）師生共同再次完成拼圖操作；（5）結(jié)合圖形及拼圖過程，教師指明本題需要作平行線；（6）師生共同完成證明；（7）還有其它拼圖方法嗎？（后面繼續(xù)完成拼圖操作，然后在進(jìn)行證明）。

教師案例2：（1）結(jié)合文字命題，給出幾何命題及圖形；（2）利用三角形紙片完成拼圖（小組展開活動，教師點(diǎn)撥：想撕幾個角，就撕幾個角）；（3）學(xué)生展示拼圖；（4）師生結(jié)合拼圖，對定理進(jìn)行證明；（5）學(xué)生展示其它拼圖，師生共同證明。[3]

教材案例3：（1）你還記得“三角形內(nèi)角和等于180°”這個結(jié)論的探索過程嗎？（2）如果我們只把∠A移到∠1的位置，你能說明這個結(jié)論嗎？如果不移動∠A，那么你還有什么方法可以達(dá)到同樣的效果？

在引導(dǎo)證明定理時，兩位授課教師都先從拼圖開始從直觀上發(fā)現(xiàn)，然后引導(dǎo)學(xué)生對基于操作的拼圖進(jìn)行思考，然后得到輔助線的作法，進(jìn)而完成證明。授課中，兩位教師可能為了呈現(xiàn)思路的“自然生成”，不斷通過拼圖抽象輔助線作法，特別是拼圖后描出相應(yīng)線段，然后將紙片抽走留下幾何圖形作為證明思路的生成。兩位教師對證明思路形成的呈現(xiàn)與教材方式有所區(qū)別，教師的問題與活動設(shè)計(jì)基于“生成”先要“回歸”這一順序，更凸顯直觀的作用；教材問題設(shè)計(jì)則關(guān)注于基于操作的思考，凸顯基于操作的對抽象問題的解決。

三、螺旋中的上升

我們知道，北師大版教材的編排上很好的體現(xiàn)了“螺旋式上升”，本節(jié)課是在七年級探索的基礎(chǔ)上對“三角形內(nèi)角和定理”的繼續(xù)學(xué)習(xí)，本節(jié)課我們要在哪些方面體現(xiàn)“上升”呢？

1.在螺旋中實(shí)現(xiàn)從直觀到抽象的上升

本節(jié)課的重點(diǎn)是以三角形內(nèi)角和定理為載體，發(fā)展演繹推理和幾何表達(dá)能力，難點(diǎn)在于從直觀中抽象出證明思路（主要是輔助線添加）.對于本節(jié)課，我們是否需要讓學(xué)生經(jīng)歷如此多的拼圖過程？筆者認(rèn)為，本節(jié)需要處理好“拼圖”的度，在發(fā)展演繹推理能力時重點(diǎn)關(guān)注對問題的抽象分析。“三角形內(nèi)角和定理的已知和結(jié)論之間的互相關(guān)系并不明朗”，如何讓學(xué)生基于拼圖建立知識之間聯(lián)系，在具體教學(xué)情境中引發(fā)、促進(jìn)學(xué)生從直觀到抽象的思考，是本節(jié)課體現(xiàn)上升的地方。教材問題從“回顧探索過程”到“只移動一個角”再到“無法移動如何解決”就很好的體現(xiàn)從直觀到抽象的上升，也體現(xiàn)了對學(xué)生數(shù)學(xué)思考的培養(yǎng)。當(dāng)然，“拼圖”對“證明”思路的形成（如輔助線的添加）存在著很好的啟發(fā)作用，但我們不能過度渲染而影響演繹推理能力的發(fā)展。[4]

2.在多樣證法中實(shí)現(xiàn)思維的上升

授課中，兩位教師都試圖體現(xiàn)多種證明方法，特別是其中一位教師給學(xué)生呈現(xiàn)了多種輔助線思路。但這些證法都是在教師極力凸顯的“自然生成”中，將紙片抽走后留下圖形“生成”的，對于“為什么要這樣添加輔助線”則缺少了學(xué)生的思考。“精彩”的背后，學(xué)生思維能力并未得到應(yīng)有的提升。

對于如何在突破添加輔助線這一難點(diǎn)過程中提升學(xué)生思維能力，筆者認(rèn)為，可以嘗試從以下幾個方面引導(dǎo)學(xué)生思考（1）課本拼圖中180°是借助什么知識判斷的？（平角）（2）拼圖中將角“湊”在一起本質(zhì)上是改變了角的位置但未改變其大小，哪個知識可以達(dá)到這個目的？（平行線）（3）無法移動角我們該怎么辦？我們可以在哪里添加？（4）可添幾種？（5）在哪里添最簡單？

從最初的“把兩個角移到一個頂點(diǎn)”到“移動一個角到一個頂點(diǎn)”體現(xiàn)著“湊”的思想，而“湊”的工具則是平行線.后面幾種證法則是基于對“還能添到哪里”的思考，這則蘊(yùn)含著“三角形所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)與三角形的位置關(guān)系”的思考與討論.學(xué)生的思維在以上問題的思考中與解決中得到應(yīng)有的發(fā)展，在促進(jìn)學(xué)生對知識綜合思考與應(yīng)用能力發(fā)展中實(shí)現(xiàn)思維的上升。

3.在“多寫”中實(shí)現(xiàn)表達(dá)的上升

“說起來頭頭是道，寫出來邏輯混亂.”是當(dāng)前很多學(xué)生的通病，本節(jié)課中我們不僅要關(guān)注“說”還要關(guān)學(xué)生“寫”。七年級時我們學(xué)生只要會一些簡單初步的幾何表達(dá)，但八年級需要學(xué)生能進(jìn)行符合邏輯關(guān)系的準(zhǔn)確表達(dá)。因此，本節(jié)課我們在“說”中幫助學(xué)生跨越思維障礙，更要在“寫”中深化理解、建立體系，彌補(bǔ)口頭表達(dá)中缺乏的細(xì)節(jié)和嚴(yán)謹(jǐn)，實(shí)現(xiàn)表達(dá)能力的上升。

“螺旋式上升”是北師大版教材基于學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的科學(xué)編排，授課中我們要認(rèn)真研究教材聯(lián)系，充分挖掘教材內(nèi)涵，創(chuàng)造而不隨意的使用教材，在“螺旋”中促進(jìn)學(xué)生多方面能力的提升。

參考文獻(xiàn)

[1]曾小豆.三角形內(nèi)角和定理的精彩教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：中旬，2013.

[2]張才寶周楊.交流與碰撞—一次網(wǎng)絡(luò)教研活動的觀摩隨想[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：中旬，2013.

[3]義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)八年級上[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2013.

[4]義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.