帶相關噪聲和不完全丟包系統的最優線性濾波

余永龍，陸海霞，費紹金，王福章

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帶相關噪聲和不完全丟包系統的最優線性濾波

余永龍1，陸海霞1，費紹金1，王福章2

（1. 宿遷學院 文理學院，江蘇 宿遷 223800；2. 淮北師范大學 數學科學學院，安徽 淮北 235000）

研究了具有不同源噪聲和不確定觀測信息的離散隨機系統的最優線性濾波問題。不同源噪聲指乘性噪聲、縱向相關噪聲和有限步自相關過程噪聲。不確定觀測信息包括了一步隨機時滯和不完全丟包。由Kronecker delta函數刻畫有限步自相關過程噪聲，采用一組已知統計特性的Bernoulli分布變量來描述數據傳輸過程中存在的一步隨機時滯和不完全丟包現象，基于最優估計的定義，在最小均方誤差意義下設計出最優線性濾波，借助算例仿真驗證了算法的有效性。

最優線性濾波；不確定系統；相關噪聲；不完全丟包

隨著網絡化的廣泛應用，網絡化控制系統（networked control systems，NCSs）的狀態估計問題得到了廣大學者的關注[1-3]。與傳統控制系統相比，NCSs具有信息傳輸快速、信息交互范圍廣等優點。但是由于黑客，噪聲干擾等原因，數據在傳輸過程中，不可能完全及時傳送到接收端，經常會出現時滯、丟包、衰減、乘性噪聲、相關噪聲等現象，故對具有這類現象的NCSs進行濾波器的設計具有重要的現實意義。

近來，針對具有自相關噪聲、丟包、時滯的NCSs的濾波問題已有諸多報道[4-6]。由于連續系統離散化，導致NCSs噪聲經常是有限步相關的，文獻[7]給出了帶有限步自相關測量噪聲系統的魯棒非脆弱Kalman型遞推濾波問題。文獻[8]研究了有限步自相關噪聲系統的全局最優Kalman濾波，這類濾波具有更高的精度。值得注意的，帶有限步自相關噪聲系統的狀態估計問題總是很復雜但又不可回避。除了帶有有限步自相關噪聲外，具有數據丟包、時滯和乘性噪聲的NCSs的濾波問題也得到廣泛關注。文獻[9]用兩組滿足Bernoulli分布的隨機變量來描述可能發生一步隨機時滯和多丟包的網絡控制系統，并給出了其最優線性估計。文獻[10]將一步時滯推廣到步時滯，進而研究具有多步時滯系統的最優線性估值器。為了使模型更加貼近實際系統，不確定觀測信息盡可能多的被描述在系統模型中。文獻[11]在2017年率先提出在黑客攻擊下，網絡化系統的建立及狀態估計。文獻[12]研究了在Round-Robin協議下，網絡化離散隨機系統的狀態估計問題。

目前，在研究的NCSs中，若出現數據丟包就完全丟包，接收端接受不到任何狀態信息[13]，而在實際系統中，接收端是有可能接受部分狀態信息的。另外，同時具有有限步自相關噪聲、縱向相關噪聲、丟包和時滯系統的最優線性濾波問題還鮮見報道。本文將文獻[14]中系統的一步自相關噪聲推廣成有限步自相關噪聲，并考慮帶有不完全丟包，即研究同時具有乘性噪聲、有限步自相關過程噪聲、縱向相關噪聲、一步隨機時滯和不完全丟包的復雜系統的最優線性濾波。通過對原系統進行狀態增廣，基于最優估計的定義，利用遞推射影理論，給出最優線性濾波器。最后，通過算例仿真驗證最優線性濾波的有效性。所設計的濾波器雖然利用狀態增廣法，但與文獻[14]相比，降低了增廣狀態的維數，減少了相關性分析，避免了更復雜的計算。

1 問題的闡述

考慮如下帶有乘性噪聲、有限步自相關過程噪聲、縱向相關噪聲、不完全丟包和一步隨機時滯的NCSs：

將系統(1)-(3)擴維為如下系統：

其中，

過程噪聲w和觀測噪聲n滿足如下性質：

其中，

為了便于討論，引入以下參量：

易證：

進一步將增廣系統(6)-(7)改寫為以下形式：

原始系統和增廣系統存在關系：

因此，僅需給出增廣系統(6)-(7)或(11)-(12)的最優線性濾波。

2 最優線性濾波

2.1 預備引理

證明 將(6)式代入

有(16)式成立。

其中，

則有

于是

綜上得到式(17)。

式(18)成立。

則

則

于是

為便于討論，介紹如下定義：

定義2

注3 由定義1，易見定義2，并且

引理4[8]對如下適當維數的分塊矩陣

是可逆的，并且

引理5 由定義2，如下結果成立

因此，有

將式(11)代入F-1的定義中，有

為得到上式，以下兩個式子將被用到。

一方面，不斷使用引理4，注意到

則

另一方面，反復使用引理4，注意到

有

綜上，并注意到

2.2 最優線性濾波

定理1 對系統(11)-(12)，有如下最優線性濾波

證明 第一，由定義1和引理4，最優線性濾波可由下式給出

即式(34)成立。

向式(11)兩邊在由Y生成的線性空間上取射影，有

將式(41)代入式(42)，可得式(35)。

因此得到了式(36)。

式(37)被得到。

式(38)被得到。

有

得到了式(39)。

有

式(40)成立。證畢。

3 仿真實例

考慮離散線性隨機系統(1)~(3)，設

設0=0.15，1=0.1，2=0.15，3=0.2，0=0.15，這樣過程噪聲就是三步自相關并且與測量噪聲縱向相關。

設

圖1 及其估計的軌跡

圖2 及其估計的軌跡

圖3

圖4

利用定理1，在原則下構造最優線性濾波，所得結果如圖1、圖2、圖3及圖4所示。由圖1-圖4可知，最優線性濾波有很好的性能。

4 結論

本文研究了同時具有乘性噪聲、有限步自相關過程噪聲、縱向相關噪聲、一步隨機時滯和不完全丟包系統的最優線性濾波。利用已知統計特性且相互獨立的Bernoulli分布變量描述一步隨機時滯和不完全丟包現象。引入新的中間變量，基于增廣方法和射影理論，給出了新的最優線性濾波。利用算例仿真，驗證了濾波的有效性。

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Optimal Linear Filtering for Systems with Correlated Noises and Incomplete Packet Dropouts

YU Yong-long1, LU Hai-xia1, FEI Shao-jin1, WANG Fu-zhang2

(1. School of Literature and Science, Suqian College, Suqian 223800, China; 2. School of Mathematical Sciences, Huaibei Normal University, Huaibei 235000, China)

Optimal linear filtering problems are studied for discrete stochastic systems with noises from different sources and uncertain measurements. The multiplicative noises, cross-correlated noises and finite-step auto-correlated process noises are included in the different sources noises. The uncertain measurements contain the random one-step sensor delay and incomplete packet dropouts. Finite-step auto-correlated process noises are described by Kronecker delta functions, and a group of Bernoulli distributed random variables with known conditional probabilities are employed to describe the phenomena of the random one-step sensor delay and incomplete packet dropouts during the data transmission process. Based on the definition of optimal estimation, the optimal linear filtering are designed in the sense of minimum mean square error. Finally, a simulation example is given to verify the effectiveness of the proposed algorithms.

optimal linear filtering; uncertain systems; correlated noises; incomplete packet dropouts

O231.1

A

1009-9115(2019)03-0027-08

10.3969/j.issn.1009-9115.2019.03.008

江蘇省高等學校自然科學研究面上項目（18KJB180027），江蘇省第三次全國農業普查研究課題（N27），安徽省教育廳高等學校省級質量工程項目（2017JXTD146），宿遷學院科研基金重點項目（2016KY02）。

2018-09-02

2019-03-17

余永龍（1990-），男，安徽桐城人，碩士，助教，研究方向為復雜網絡化控制系統的狀態估計。

（責任編輯、校對：趙光峰）