可變換3-PRS并聯機構的運動學及動力學仿真研究

孫付偉，陳國強，代 軍，孟凡茂，劉 念

（1.河南理工大學 機械與動力工程學院，焦作 454003；2.河南理工大學 財經學院，焦作 454003）

0 引言

隨著工業技術的發展，并聯機構的應用越來越廣泛，相比于串聯機構，并聯機構具有運結構緊湊、運動慣性小、誤差累計小、承載力大等有點[1,2]。以Stewart為基礎的6自由度并聯機構已經廣泛應用于航空航天和工業生產中，近年來，少自由度并聯機構或混聯機構在工業生產中的應用也越來越多，而它所具有的運動的特性也成為學者的研究熱點[3～6]。與串聯機構類似，并聯機構也存在者正向運動與逆向運動的求解計算問題，需要建立相應的數學模型，這也是對少自由度并聯機構的誤差分析、動力學分析等問題解決的基礎[7～9]。ADAMS（Automatic Dynamic Analysis of Mechanical Systems）是世界上應用最廣的一種機械系統動力學仿真分析軟件，它能夠實現仿真分析復雜機械系統的運動學和動力學性能，僅需幾個小時就可以知道各種設計方案的樣機是如何工作的，大大提高了工作效率[10,11]。本文以一種可變換3-PRS并聯機構為研究對象，在建立其運動學數學模型的基礎上，利用動力學仿真軟件ADAMS對其進行運動學和動力學仿真，分析該并聯機構的運動學和動力學特性，驗證求解結果的準確性。

1 可變換3-PRS并聯機構概述

可變換3-PRS并聯機構的結構示意圖如圖1所示，該機構主要包含三個驅動滑塊、三個立柱導軌PiDi（i=1，2，3）、三個在基座上均勻分布的水平導軌AiBi（i=1，2，3）、三個支鏈PiDi（i=1，2，3）、動平臺S1S2S3、刀具和定平臺。刀具垂直安裝在動平臺中心，每一條支鏈包含球面副（S）、連桿、轉動副（R）和移動副（P），球面副連接著連桿和動平臺，且在動平臺上均勻分布。在定平臺上建立定坐標系O-XYZ，軸線OX過點A1，O為A2A3的中點。在刀具末端建立動坐標系OT=xyz，坐標系中心OT位于刀尖（或主軸軸端）上，軸線OTx過點S1，軸線OTz沿主軸軸線方向。動平臺S1S2S3的外接圓半徑為r，基座水平導軌內側A1A2A3的外接圓半徑為R，刀尖OT到動平臺中心的距離為h，PiDi的高度為Hi（i=1，2，3），基座滑塊Di（i=1，2，3）到基座中心O'的距離為Ri（i=1，2，3），PiSi與PiDi的夾角為（i=1，2，3）。

可變換3-PRS并聯機構具有3個自由度，分別是繞X和Y軸的轉動和沿著Z軸移動，由于分布在基座上的三個調節滑塊可調，可以通過調節滑塊改變Di在水平導軌AiBi上的位置，從而改變3-PRS并聯機構的工作空間大小。

2 運動學分析

2.1 逆向運動學分析

可變換3-PRS并聯機構具有3個自由度，因此，并聯機構的位姿獨立參數有3個，在該并聯機構中，其逆向運動學就是給定末端執行器的位姿zT、α和β，求解驅動滑塊位置H1、H2和H3。歐拉角（Euler）是用來唯一地確定定點轉動明體位置的三個一組獨立角參量，在并聯機構中，我們可以用歐拉角和動坐標系原點位置來描述該機構動平臺的位姿。這里設動坐標系OT=xyz繞定坐標系O-XYZ的X軸、Y軸、Z軸的的旋轉角度分別為α、β、γ，則旋轉矩陣T為：

每個連桿都被約束在固定的空間平面內運動，三個平面依次為平面，三個圓柱鉸的平面約束方程為。

根據可變換3-PRS并聯機床的結構特點，在定坐標系O-XYZ中，Di與Pi（i-1，2，3）的位置矢量為：

在動坐標系OT=xyz中，球鉸Si（i-1，2，3）的位置矢量為：

圖1 可變換3-PRS并聯機構簡圖

設動坐標系OT=xyz的原點OT的位置矢量為：

則球鉸Si在定坐標系O=XYZ的位置可以表示為：

由于連桿受到圓柱鉸的平面約束，其僅能在相應的空間平面內運動，由式(2)和式(7)可得：

式(8)表明，參數γ、xT和yT取決于α和β，即它們僅僅取決于平臺的運動方向。若給定zT，α和β，則三個球鉸中心Si在定坐標系O-XYZ的位置可由式(7)求得。

由于連桿的長度li（i=1，2，3）是固定的，旋轉鉸在Z軸上的位置可由下式求出：

2.2 正向運動學分析

在可變換3-PRS并聯機構中，其正向運動學就是給定驅動滑塊位置H1、H2和H3，求解末端執行器的位姿，根據該并聯機構的結構特點，給定H1、H2和H3時，在定坐標系O-XYZ中，三個球鉸S1、S2、S3的位置矢量可表示為：

由此，可得動平臺末端位姿（位置坐標和方向坐標）為：

在定坐標系O-XYZ中，圓柱鉸P1、P2、P3的位置矢量為：

在可變換3-PRS-XY串并聯機構中，圓柱鉸只能沿立柱導軌上下運動，因此要滿足如下條件：

由于球鉸在動平臺上均勻分布，因此滿足如下條件：

3 實例仿真分析

3.1 仿真模型的建立

利用PRO/E軟件創建可變換3-PRS三維實體模型，模型建立后，通過ADAMS/View提供的模型數據交換接口，將模型導入到ADAMS/View中，通過檢查模型、添加質量、修改外觀、添加約束等操作完成模型的建立，如圖2所示。根據機構運動的實際情況創建約束，可變換3-PRS并聯機構由三個驅動滑塊、三個立柱導軌、三根連桿、一個刀具和一個運動平臺組成，連桿與動平臺通過球面副連接，驅動滑塊與連桿通過轉動副連接，驅動滑塊與立柱導軌通過移動副連接，加入約束后的可變換3-PRS并聯機構圖如圖3所示。驅動滑塊的運動作為輸入運動，動平臺末端刀具的運動為輸出運動。可變換3-PRS并聯機構的仿真模型結構參數如表1所示。

圖2 可變換3-PRS并聯機構三維圖

圖3 加入約束機構三維圖

表1 仿真模型結構參數

3.2 運動學仿真

由Kutzbach-Grubler計算公式可求得該并聯機構的自由度為3[12]。為保證建模的正確性和仿真分析的順利進行，利用ADAMS自身的模型自檢功能，檢驗該并聯機構的模型。通過檢驗，所建立模型的自由度為3，無冗余約束。

3.2.1 逆向運動學仿真

可調變換3-PRS并聯機構進行逆向運動學仿真，就是給定動平臺一定的運動規律，求解滑塊運動變化規律。該機構只能繞X、Y軸的旋轉和沿Z軸的平移，選擇動平臺末端為執行關鍵點，施加點激勵函數方程為：

設置仿真參數，持續時間為10秒，步數為500。驅動滑塊的位移、速度和加速度的變化規律曲線如圖4～圖6所示。

圖4 滑塊位移變化圖

圖5 滑塊速度變化圖

圖6 滑塊加速度變化圖

3.2.2 正向運動學仿真

可變換3-PRS并聯機構的運動學正解就是將在豎直導軌上作直線運動的滑塊作為輸入運動，求解動平臺的位姿變化。利用ADAMS提供的CUBSPL和AKISPL命令，將前述逆向運動學所求解出的離散數據擬合為三個樣條函數Motion_1、Motion_2、Motion_3，然后分別加載到對應的滑塊上作為輸入運動函數。所對應的樣條函數分別為：

Motion_1：AKISPL(time,0,Motion_1,0)；

Motion_2：AKISPL(time,0,Motion_2,0)；

Motion_3：AKISPL(time,0,Motion_3,0)。

驅動函數添加完成后，同樣對并聯機構模型進行持續時間為10秒，步數為500的運動學仿真，可得到動平臺末端速度、軌跡的變化規律曲線如圖7和圖8所示，刀尖運動軌跡曲線也是該并聯機構所對應的運動學正解。

圖7 末端速度變化圖

從圖4～圖8可以得知，通過MATLAB模擬得到的機構的運動學和動力學仿真結果與通過ADAMS模擬得到的運動學和動力學仿真結果基本吻合，證明了對機構的運動學和動力學分析結果是正確的。

3.3 動力學仿真

當加工刀具沿著某一運動軌跡加工零部件時，刀具將受到一定的作用力，進而各個驅動桿也受到一定的載荷，在完成規定軌跡運動的過程中，各個驅動桿所受到的載荷是否符合設計要求，所受到的載荷變化是否平緩，都將影響到機構的設計與控制。在ADAMS中，按照正向運動仿真的步驟添加驅動后，修改滑塊、連桿、動平臺的質量、轉動慣量和設置重力加速度，具體數值如表2所示。通過運行仿真程序，可得到各個滑塊的所受到的載荷變化曲線，如圖9所示，從圖9可以看出，隨著刀具在零部件上的運動，滑塊所受到的載荷變化比較均勻平緩，符合設計要求。

圖8 末端軌跡圖

圖9 驅動力變化曲線圖

表2 仿真模型結構參數

4 結論

分析了可變換3-PRS并聯機構的結構特點，建立了該并聯機構的正向運動學和逆向運動學數學模型，基于幾何解析法對該并聯機構的正向運動學和逆向運動學進行了求解。

分別運用MATLAB和ADAMS對可變換3-PRS并聯機構進行了運動學求解和仿真，對比二者所得結果，驗證了該機構正向運動學和逆向運動學的正確性。

運用MATLAB和ADAMS對可變換3-PRS并聯機構的動力學進行了求解和仿真，從得到的結果可以看出，該機構運行過程中驅動力變化平穩，具有良好的運動性能，符合該機構的設計要求。