電磁軌道發射器數值模擬與速度測量

賀景瑞，李小將，萬 敏

(航天工程大學 宇航科學與技術系，北京 101416)

電磁軌道發射器是一種利用電能取代傳統化學能的新型發射器，在導彈防御、艦載火炮和導彈彈射等方面具有應用潛力[1-4]。當前，美國海軍的電磁軌道發射技術正逐漸從實驗室走向軍事化應用[5]，其測試的電磁軌道發射器能推動炮彈以2 km/s以上的速度射出，并且擊穿160 km以外的混凝土。美國海軍將在此基礎上推進發射速率為10發/min的長壽命發射器的研制工作。我國對電磁軌道發射器的研究仍處于關鍵技術驗證階段[6]。

為準確模擬電磁軌道發射器的電磁過程并預測其性能，研究人員在數值模擬方面進行了大量研究。文獻[7-9]采用矢量磁位和標量電位描述的電磁場擴散方程建立了三維瞬態電磁場計算模型，利用有限元/邊界元耦合方法進行求解，計算了電樞運動過程、電磁場和溫度。文獻[10]基于磁擴散方程、安倍定律和實驗數據，通過有限元計算求得考察點磁場和電場特性。文獻[11-16]以磁通密度Bz為自變量，建立了軌道和電樞內的二維磁擴散模型。文獻[17-19]基于觸發策略自動計算方法，建立了電磁軌道發射器電路模型，能夠求解電樞的運動過程。

筆者考慮摩擦力、空氣阻力的影響，基于磁擴散方程、熱傳導方程和運動學方程建立電磁軌道發射器的計算模型。針對矩形電樞普通發射器、C形電樞普通發射器和增強型發射器進行數值模擬，分析其電磁場、溫度場和運動學特性。結合電磁發射試驗中的測量數據，對計算模型進行了驗證。

1 電磁軌道發射器控制方程

1.1 電磁場控制方程

根據麥克斯韋方程結合歐姆定律及本構方程，得磁場擴散方程[20]:

(1)

式中：B為磁通密度；μ為材料磁導率；σ為電導率；v為電樞相對軌道的運動速度；t為時間。

為簡化計算，采用固定電樞，軌道相對電樞運動的方式進行等效替換，軌道速度為負值。將式(1)簡化為二維磁擴散方程，推得軌道中的磁擴散方程為

(2)

電樞中的磁擴散方程為

(3)

電磁軌道發射器的二維求解模型如圖1所示。

電磁場邊界條件設置如下。

1.1.1 第1種邊界條件

電樞后端邊界S5，軌道內側邊界S4、S7設為Dirichlet邊界條件，具體表達式根據發射器結構不同而不同，確定邊界條件如下。

1.1.1.1 矩形電樞普通發射器

根據磁場疊加原理對軌道進行分析，軌道內側磁通密度由軌道內電流產生的磁通密度和另一軌道在其表面激發的磁通密度兩部分組成。因此，軌道內表面的磁通密度BPR可表示為

(4)

式中：I為電流；h為軌道高度；r為軌道間距；w為軌道寬度。

根據安培環路定律，通過電樞的電流產生的磁通密度為

(5)

式中，la為矩形電樞長度。

根據畢奧-薩伐爾定律，軌道在電樞上激發的磁通密度為

(6)

因此，普通型電磁軌道發射器電樞后部磁通密度為

BPA=BPA00+BPAR0.

(7)

1.1.1.2 C形電樞普通發射器

C形電樞頭部后側磁通密度由流過電樞和流過軌道的電流共同產生。C形電樞頭部后表面的磁通密度可表示為

(8)

式中：ha為電樞高度；ra為電樞頭部半徑。

1.1.1.3 C形電樞增強型發射器

增強型電磁軌道發射器采用在主軌道外側串聯一對副軌道的方式來增強磁場，其結構如圖2所示。

增強型電磁軌道發射器軌道內表面的磁通密度由流過軌道電流產生的磁通密度和其他軌道產生的磁通密度疊加而成，表示為

(9)

電樞頭部后側表面的磁通密度由電樞電流產生的磁通密度和軌道產生的磁通密度疊加而成，表示為

(10)

1.1.2 第2種邊界條件

電樞前端邊界S6，軌道前端邊界S3、S9、S11、S12和軌道外側邊界S2、S10設為Dirichlet邊界條件B=0.

1.1.3 第3種邊界條件

根據磁擴散方程得到發射器內每一點的磁通密度后，可由安培定律推得發射器內電流密度表達式：

(11)

1.2 溫度場控制方程

發射過程中發射器產生的焦耳熱可表示為

(12)

根據熱傳導方程結合式(12)，得發射器二維熱傳導方程：

(13)

式中：T為溫度；ρ為材料密度；cp為材料比熱容；k為材料熱導率。

溫度場中求解域的邊界條件為：

2)初始時刻T(x,y)|t=0=300 K.

1.3 電樞運動方程

電樞在軌道內運動時，在軸向受到電磁推力F作用向前運動，電樞向前運動的同時壓縮前方空氣，受到滑動摩擦力fd和空氣阻力fk.

電樞受到的電磁推力由洛倫茲力公式計算：

(14)

式中：S為積分面積；dτ為微小面積元素。

電樞受到的空氣阻力為

fk=1.1ρaAv2,

(15)

式中：ρa為電樞前空氣的初始密度；A為電樞的橫截面積；v為電樞運動速度。

電樞與軌道的摩擦力為

fd=μdFN，

(16)

式中：μd為摩擦系數；FN為電樞與軌道的接觸壓力。

樞軌接觸面的的磨損會使電樞過盈壓力下降，但是電樞溫升帶來的膨脹，抵消了磨損造成的尺寸變化。可近似認為電樞運動過程中過盈壓力保持不變，并且忽略溫度影響。因此，接觸壓力可由兩部分表示：一是裝入電樞時產生的過盈壓力；另一部分是作用在電樞的電磁力帶來的電樞形變與軌道間產生的壓力。接觸壓力近似表示為

FN=F0+Fm，

(17)

式中：F0為電樞過盈壓力；Fm為作用在電樞上的電磁力引起的形變帶來的縱向壓力。

根據實驗室測量，電樞過盈壓力F0取值100 N。Fm采用COMSOL Multiphysics中的固體力學模塊求解。

發射器設為線彈性材料，位移場和速度場初始值設為0。在電樞兩側尾翼分別施加體載荷條件，體載荷大小為電磁場控制方程求解出的電樞電磁力垂直運動方向分力在該時刻的數值。軌道外表面設為固定約束，其他表面設為自由條件。

由牛頓第二定律得電樞加速度、速度和位移方程：

(18)

式中：a為電樞加速度；x為電樞位置。

2 電磁軌道發射器數值模擬

2.1 仿真計算模型

2.1.1 脈沖電源模型

脈沖電源模型采用Simulink中的Simscape模塊建立，如圖3所示。

圖3中，C1為儲能電容，D1為續流二極管，D2為反向截止二極管，R1為除軌道外的電路總電阻，L1為除軌道外的電路總電感，R2為軌道電阻，L2為軌道電感。為便于計算，固定軌道電阻和電感，不隨電樞運動改變。儲能電容設為8 mF，輸出電流曲線如圖4所示。

2.1.2 電磁場和溫度場有限元模型

在COMSOL Multiphysics中分別建立矩形電樞普通發射器、C形電樞普通發射器和C形電樞增強發射器的幾何模型,如圖5所示。

軌道長度為1 000 mm，寬度為7 mm，高度為20 mm，軌道材料采用銅。矩形電樞長度為110 mm，寬度為20 mm，高度為20 mm。C形電樞結構參數如圖6所示，圖中單位為毫米。所有電樞材料均采用鋁。

采用COMSOL Multiphysics中的偏微分方程模塊求解電磁場和溫度場控制方程。按照電磁軌道發射器控制方程一節中給出的域方程和邊界條件設置偏微分方程求解模塊。網格劃分采用自由剖分三角形網格。

2.1.3 模型求解流程

仿真計算模型使用MATLAB作為腳本編寫工具設置和求解COMSOL Multiphysics有限元程序，將電磁軌道發射中的電路模型、運動學模型、電磁場模型、傳熱學模型集成起來，分析軌道炮發射過程中的場分布與電樞運動規律。仿真模型求解思路如圖7所示。

仿真過程中，設置各項參數如表1所示。

表1 仿真計算參數

2.2 仿真計算

將軌道內側的磁通密度和電樞后部磁通密度作為邊界條件,輸入電磁軌道發射器控制方程并進行求解，得到發射器的電磁場、溫度場和電樞速度計算結果。

2.2.1 電磁場計算

圖8為1 ms時刻矩形電樞普通發射器、C形電樞普通發射器和增強型發射器的電磁場分布圖。

從圖8中可以看出，在發射過程中，發射器內產生速度趨膚效應，即速度引起了磁通密度和電流在電樞和軌道接觸面后部集中的現象。在使用相同脈沖電源的條件下，1 ms時刻，矩形電樞上的最大磁通密度為2.56 T，C形電樞上的最大磁通密度為3.51 T.采用C形電樞后發射器的磁通密度提升了37%.在采用C形電樞的條件下，增強型軌道發射器的最大磁通密度為4.08 T，相比普通型發射器磁通密度提升了16%.

圖9為1 ms時刻矩形電樞普通發射器、C形電樞普通發射器和增強型發射器的電流密度分布圖。圖9中，矩形電樞普通發射器的最大電流密度為1.81×109A/m2，C形電樞普通發射器的最大電流密度為1.46×109A/m2.采用C形電樞能夠明顯降低發射器的最大電流密度。增強型發射器的最大電流密度為2.52×109A/m2，高于普通型發射器。這是因為在1 ms時，增強型發射器的速度為177.52 m/s，速度趨膚效應強于普通型發射器。

2.2.2 溫度場計算

在電磁發射過程中，發射器會產生大量的熱能，導致發射器溫度瞬間升高。過高的溫度會引發發射器損傷，進而影響發射效能。因此，有必要對不同類型發射器的溫度變化進行分析。

圖10為矩形電樞普通發射器、C形電樞普通發射器和C形電樞增強型發射器電樞出口時刻的溫度分布圖。矩形電樞普通發射器的高溫區域出現在樞軌接觸面尾部及其附近區域，最高溫度為335.7 K;C形電樞普通發射器的高溫區域為樞軌接觸面附近和電樞喉部，最高溫度為333.4 K;增強型發射器的高溫區域為樞軌接觸面后方、電樞尾翼和電樞喉部，最高溫度出現在樞軌接觸面后方，為346.9 K.

2.2.3 電樞速度計算

圖11為矩形電樞普通發射器、C形電樞普通發射器和C形電樞增強型發射器電樞速度曲線。矩形電樞普通發射器的出口速度為216.9 m/s；C形電樞普通發射器的出口速度為310.7 m/s；C形電樞增強型發射器的出口速度為444.9 m/s.

電磁軌道發射器系統效率可表示為：

(19)

式中：Ek為電樞出口動能；E0為系統初始儲能。

系統初始儲能為

(20)

式中：C為電容值；U為電容器初始電壓。

通過計算得到矩形電樞普通發射器、C形電樞普通發射器和C形電樞增強型發射器的系統效率分別為5%、11%和24%.

3 電磁軌道發射器發射試驗

采用增強型電磁軌道發射器進行發射試驗。發射器管身口徑為20 mm×20 mm.軌道材料采用H62黃銅，軌道尺寸為1 000 mm×40 mm×7 mm.發射電流由電容儲能型脈沖電源產生，發射試驗參數如表2所示。

表2 發射試驗參數

選擇利用高速相機對電樞的出口速度進行測量，結果如圖12所示。圖12(a)為電樞運動軌跡圖，測得電樞出口速度為343.23 m/s；圖12(b)為電樞速度的數值模擬結果。電樞出口速度數值模擬結果為335.3 m/s，與試驗結果的偏差為2.3%.數值模擬結果與試驗測量結果相近，驗證了本文所建模型的準確性。

4 結束語

筆者建立了基于磁擴散方程、熱傳導方程和運動學方程的電磁軌道發射器計算模型。根據安培環路定律和畢奧-薩伐爾定律確定了矩形電樞普通發射器、C形電樞普通發射器和增強型發射器的控制方程邊界條件B，并對矩形電樞普通發射器、C形電樞普通發射器和增強型發射器進行數值模擬，得到磁場分布、電流密度分布、溫度分布和電樞速度曲線。計算結果表明，C形電樞相比矩形電樞能夠提升磁通密度和出口速度，并降低電流密度和溫度。增強型發射器相比普通發射器能夠提升磁通密度和出口速度，但其電流密度和溫度因速度趨膚效應影響而上升。

在電磁發射試驗中，采用增強型電磁軌道發射器進行了發射試驗。利用高速相機測得電樞出口速度，數值模擬和發射試驗結果基本吻合，偏差為2.3%，驗證了本文計算模型的準確性。