圖形萬變不離其宗

毛巾鈞

“圖形的變化”這一知識點是初中幾何的重要內容，主要包括圖形的平移、旋轉和軸對稱等。下面整理了幾種典型錯例并予以剖析，希望對同學們有所幫助。

一、概念不清

例1在矩形紙片ABCD中，AB=3，BC=2，沿對角線AC剪開（如圖1）。固定△ADC，把△ABC沿AD方向平移（如圖2），當兩個三角形重疊部分的面積最大時，平移的距離AA′等于（ ）。

A.1 B.1.5 C.2 D.0.8或1.2

圖1

圖2

【錯解】D。

【錯因】本題是平移背景下二次函數的最值問題。很多同學往往只停留在直觀的感受層面，難以從平移的定義和性質出發進行推理和計算。

【正解】本題根據平移的性質得到平行，進而得出三角形相似，同時得到重疊部分為平行四邊形。如圖2，設A′B與AC的交點為T，即有△AA′T∽△ADC。設平移的距離AA′=x，根據相似得，再利用平行四邊形面積公式，得出重疊部分的面積·（2-x），求此二次函數取最大值時的x值即可。

正確答案：A。

二、性質不明

例2如圖3，在正方形ABCD中，已知P為邊AD的中點，Q為邊BC上一點，且把這個正方形折疊，使得P、Q重合，折痕為MN，則

圖3

圖4

【錯解】。

【錯因】不會分析“折疊”，難以聯想到折疊的性質——對稱軸垂直平分對稱點的連線，無從下手，胡亂猜測答案。

【正解】同學們解讀題意時，應充分聯系軸對稱的性質。這里主要是運用“對稱軸垂直平分對稱點連線”，連接PQ，如圖4，可得MN垂直平分PQ。進一步根據垂直平分的性質，連接MP、MQ、NP、NQ，可得MP=MQ，NP=NQ，根據條件，不妨設AP=PD=2a，BQ=a，CQ=3a，AM=x，BM=4a-x，在Rt△AMP與Rt△BMQ中，再利用勾股定理，可得（2a）2+x2=a2+（4a-x）2，解得。同理可得

正確答案

三、變化不全

例3 如圖5，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，點E是射線CD上的一個動點，把△BCE沿BE折疊，點C的對應點為F。當點F剛好落在線段AB的垂直平分線上時，求CE的長。

圖5

【錯解】根據折疊，得BF=BC=3，設EF=CE=x，∠F=∠C=90°，過點F作AB的垂線，利用“K字形相似”，可得

【錯因】題目條件中“射線”兩字很重要，這是一個提示。隨著點E沿著CD往左運動，點F可能會落在矩形ABCD的外部，即在AB的上方。

【正解】因為“點E是射線CD上的一個動點”，因此，需以動態的視角去分類討論。如圖6，畫圖過程中抓住軸對稱的根本性質，即BF=BC，得到點F的運動軌跡是以點B為圓心、BC長為半徑的圓。再畫出AB的垂直平分線與圓的交點，有兩個，分別是F1、F2，最后畫∠CBF1的角平分線BE1與∠CBF2的角平分錢BE2，即折痕。具體解法與上面錯解的解法類似，也是通過構造“K字形相似”，得=

圖6

四、理解不透

例4如圖7，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=18把△ABC繞著點C旋轉，使點B與AB邊上的點D重合，點A落在點E處，則線段AE的長為（ ）。

圖7

【錯解】根據旋轉得到對應線段相等，計算得出AC=6，觀察圖形，選A。

【錯因】錯解的產生，一是缺少嚴密的邏輯推理，僅從直觀感受得結果；二是沒有充分地利用旋轉的性質。

【正解】旋轉時，旋轉角相等這一性質運用廣泛。本題中，兩個旋轉角∠BCD和∠ACE相等，同時由旋轉可得BC=DC，AC=EC，由此可得△BCD∽△ACE。再過點C作BD的垂線，求出BD的長度，最后利用相似可求AE的長度。

正確答案：C。

平移、軸對稱和旋轉是幾何中的三種基本變換，我們在解決圖形變化的問題時，應當從這三種變換的定義和性質出發，研究變與不變。