應(yīng)對(duì)變換 功在平時(shí)

徐怡鈞

一、通過(guò)折疊變換考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的運(yùn)用

例1將圖1所示的四邊形紙片ABCD的邊AD向邊AB折過(guò)去（其中AD＜AB），使得點(diǎn)D落在邊AB上D′處，折痕恰好為AC，如圖2；再將點(diǎn)A折向點(diǎn)C，使得A、C兩點(diǎn)重合，點(diǎn)D′恰好落在邊BC上，記為D″，如圖3。量得AD=7，AB=9，∠DAB=60°，則四邊形紙片ABCD的面積為_(kāi)___ 。

圖1

圖2

圖3

圖4

【解析】關(guān)于圖形的折疊問(wèn)題，我們只需要將變換后的圖形還原，同時(shí)找到折痕并進(jìn)行標(biāo)識(shí)，利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)找出相等的量即可。

將圖3還原后得到圖4，由題意，AC和BE是折疊時(shí)的折痕。第一次對(duì)折可以發(fā)現(xiàn)，AC是∠DAB的平分線(xiàn)，即∠DAC=∠BAC；第二次對(duì)折可以發(fā)現(xiàn) BA=BC，因此∠BAC=∠BCA，從而∠DAC=∠BCA，從而得到AD∥BC。由于AD＜AB，BA=BC，所以AD≠BC，故四邊形ABCD是梯形。過(guò)點(diǎn)B作AD邊上的高BF，利用三角函數(shù)的知識(shí)可求得BF為，所以四邊形ABCD的面積為（7+9）=36

【點(diǎn)評(píng)】折疊時(shí)，重合的量相等，即對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等。這往往是解決此類(lèi)問(wèn)題的通常思路。

二、通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換考查坐標(biāo)系中圖形位置的刻畫(huà)

例2矩形AOCD繞頂點(diǎn)A（0，5）逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到如圖5所示的位置時(shí)，邊BE交邊CD于M，且ME=2，CM=4。

（1）求AD的長(zhǎng)。

（2）求經(jīng)過(guò)A、B、D三點(diǎn)的拋物線(xiàn)解析式。

圖5

【解析】本題是平面直角坐標(biāo)系背景下的圖形旋轉(zhuǎn)，可根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)及坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)與線(xiàn)段長(zhǎng)度之間的關(guān)系進(jìn)行探索。（1）如圖6，連接AM，設(shè)OC=AD=m，由題意知，AB=CD=OA=5，BE=OC=m，故BM=m-2，DM=1。由AB2+BM2=AD2+DM2，得 52+（m-2）2=m2+12，求得 m=7，即AD=7。（2）如圖7，過(guò)點(diǎn)B作GH∥x軸，分別交OA、CD于G、H，由（1）可知AB=BM=5，易證△ABG≌△BMH。設(shè)G（0，n），則HC=OG=n，所以GB=MH=4-n，BH=AG=5-n，因?yàn)镚H=GB+BH=9-2n，GH=OC=7，所以n=1，所以B（3，1），又因?yàn)镈（7，5），A（0，5），從而求得過(guò)A、B、D三點(diǎn)的拋物線(xiàn)解析式為

圖6

圖7

【點(diǎn)評(píng)】許多幾何計(jì)算問(wèn)題常常可以通過(guò)設(shè)未知數(shù)，再根據(jù)幾何圖形中存在的某種特定數(shù)量關(guān)系建立方程來(lái)解決。比如，利用全等、相似、勾股定理等都可以建立方程，從而解決問(wèn)題。

三、通過(guò)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題考查對(duì)圖形變換本質(zhì)的理解和運(yùn)用

例3如圖8，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)C是反比例函數(shù)的圖像上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C分別作x軸、y軸的垂線(xiàn)，垂足分別為A、B，連接AB。

（2）連接OC，若點(diǎn)C在（1）中的雙曲線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，線(xiàn)段OC是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

圖8

【解析】以函數(shù)為背景的運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題，需要充分挖掘圖形的幾何性質(zhì)，將基本數(shù)量關(guān)系用方程的形式表達(dá)出來(lái)。（1）設(shè)CA=b，CB=a，由=16，可得ab=4，因?yàn)閳D像位于第二象限，故k=-4。（2）OC存在最小值。不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)C為雙曲線(xiàn)與直線(xiàn)y=-x的交點(diǎn)時(shí)，OC最小，可求得C（1-2，2）、C（22，-2）。

【點(diǎn)評(píng)】（1）利用k的幾何意義來(lái)求解，這是最直接、最有效的方法。具體解答過(guò)程中利用完全平方公式的一個(gè)基本變式ab=以快速地解決問(wèn)題。（2）直截了當(dāng)?shù)乜疾榱诵D(zhuǎn)變換（雙曲線(xiàn)的中心對(duì)稱(chēng)性）和軸對(duì)稱(chēng)變換（雙曲線(xiàn)的軸對(duì)稱(chēng)性）。同時(shí)，這也是一個(gè)數(shù)形結(jié)合的典型案例——隨著點(diǎn)C在雙曲線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，OC長(zhǎng)的變化規(guī)律究竟如何？同學(xué)們可以試著用所學(xué)過(guò)的代數(shù)知識(shí)，來(lái)說(shuō)明當(dāng)點(diǎn)C在直線(xiàn)y=-x上時(shí)，OC取得最小值的理由。

在某種意義上，圖形的變換其實(shí)是數(shù)學(xué)基本模型和數(shù)學(xué)思想方法的集中營(yíng)。抓住三種基本變換的本質(zhì)，把尋找對(duì)應(yīng)相等的幾何元素作為分析題目的“規(guī)定動(dòng)作”，平時(shí)做好對(duì)常用數(shù)學(xué)模型和經(jīng)典問(wèn)題背景的積累與歸類(lèi)工作，對(duì)你解決圖形變換類(lèi)問(wèn)題會(huì)大有裨益。