奇妙的翻折

江蘇省無(wú)錫市蠡園中學(xué)九（7）班 孫悅紋

手工課上，我拿出紙張，對(duì)折，再對(duì)折，折成一架飛機(jī)。我打開紙飛機(jī)，左右兩邊是一樣的，心想這不是數(shù)學(xué)中的翻折嘛！在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，翻折問(wèn)題很常見(jiàn)，有時(shí)只需用些常規(guī)方法，問(wèn)題便可迎刃而解。

考題再現(xiàn)如圖1，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸上，點(diǎn)B在第一象限，點(diǎn)D在邊BC上，且∠AOD=30°，四邊形OA′B′D與四邊形OABD關(guān)于直線OD對(duì)稱（點(diǎn)A′和A，B′和B分別對(duì)應(yīng)）。若AB=1，反比例函數(shù)k≠0）的圖像恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A′、B，則k的值為 ____ 。

圖1

初看這個(gè)題目，也許會(huì)被難住。題中沒(méi)有告知任一點(diǎn)的坐標(biāo)，雖然給出了一條邊的長(zhǎng)度（AB=1）和一個(gè)特殊角度（∠AOD=30°）。這些條件會(huì)讓我想到含30°、60°角的直角三角形。但30°角與長(zhǎng)度為1的邊不在同一個(gè)三角形內(nèi)，難以建立關(guān)聯(lián)。

進(jìn)一步分析，題中告知四邊形OA′B′D與四邊形OABD是對(duì)稱的。言下之意就是，四邊形OA′B′D是由四邊形OABD沿OD翻折而得到，根據(jù)“重合的量相等”可以得到∠A′OD=∠AOD=30°，A′B′=AB=1，OA′=OA=BC，于是∠A′OA=60°。所以，若連接AA′，則△OAA′為等邊三角形。但進(jìn)一步思考后可發(fā)現(xiàn)，連接AA′對(duì)解題并沒(méi)有幫助。對(duì)于60°角，我們還能想到什么呢？三邊長(zhǎng)之比為1∶2的直角三角形！如圖2，過(guò)點(diǎn)A′作A′E⊥AO交x軸于點(diǎn)E。設(shè)OE=a，則A′E=，OA′=2a，所以A′（a，B（2a，1）。把 A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入k≠0），可 得

圖2

幾經(jīng)波折，問(wèn)題終于解決了。我想，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，要抓住關(guān)鍵，看透本質(zhì)，理解條件背后要提供的真正條件；對(duì)特殊角度、長(zhǎng)度要敏感，把握正確方向，來(lái)添加合適的輔助線；不要被帶入“思維定勢(shì)”的誤區(qū)。此外，關(guān)于翻折問(wèn)題，變換前后組合在一起的圖形看似復(fù)雜，但其實(shí)也給出了許多有用的信息——重合的量均相等。這正是翻折的奇妙所在，也是找到解題思路的靈丹妙藥。

教師點(diǎn)評(píng)

無(wú)論嘗試構(gòu)造等邊三角形還是構(gòu)造含30°角的直角三角形，其本質(zhì)都是將翻折問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的特殊三角形問(wèn)題。小作者從生活中的折紙入手，經(jīng)歷了兩種不同的構(gòu)造方法，雖然不一定都行得通，但仔細(xì)體會(huì)，兩種構(gòu)造方法都在“情理”之中。解題不需要死記硬背，唯有結(jié)合具體的情境才能找到更合適的方法！