有限域上斜λ-常循環(huán)碼中互補對偶碼的存在性及其性質(zhì)

趙鵬程，李秀麗

(青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院，山東 青島 266061)

代數(shù)編碼理論，又稱糾錯碼理論，是信息學(xué)的分支。該理論的發(fā)展源自現(xiàn)代通信技術(shù)和電子計算機技術(shù)中差錯控制研究的需求，至上世紀(jì)七十年代末，糾錯編碼技術(shù)已經(jīng)滲透到了眾多領(lǐng)域[1]。隨著科學(xué)的發(fā)展與實際需要，編碼理論不斷發(fā)展，應(yīng)用范圍日益擴大，作為線性碼的一種特殊情況——常循環(huán)碼，由于具有良好的代數(shù)結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，人們進(jìn)行了大量研究[2]。

目前，伴隨著糾錯碼理論的發(fā)展，關(guān)于有限域上的λ-常循環(huán)碼(λ-constacyclic codes)已經(jīng)有了豐富的結(jié)論，同時數(shù)學(xué)家對有限域上的斜λ-常循環(huán)碼(skewλ-constacyclic codes)進(jìn)行了研究[3-8]。在普通多項式環(huán)的基礎(chǔ)上，引入自同構(gòu)映射，得到斜多項式環(huán)。自同構(gòu)映射的加入使斜多項式環(huán)成為不可交換環(huán)，而其不可交換性使斜多項式環(huán)上的碼字有了更大的討論空間。斜λ-常循環(huán)碼作為λ-常循環(huán)碼的一種推廣，受到了眾多國內(nèi)外學(xué)者的青睞，形成了編碼理論在有限域和有限環(huán)上的新分支。

線性互補對偶碼(linear complemetary-dual codes，LCD)具有良好的相關(guān)特性和正交特性，國內(nèi)外學(xué)者在對常循環(huán)碼中LCD碼的存在性、構(gòu)造、重量分布、最優(yōu)碼及其應(yīng)用等方面做了大量的研究[9]。

本文主要研究了引入自同構(gòu)映射后得到的斜λ-常循環(huán)碼。在普通多項式環(huán)的基礎(chǔ)上，引入自同構(gòu)映射，得到新的多項式環(huán)，定義斜λ-常循環(huán)碼。研究了斜λ-常循環(huán)碼中互補對偶碼在三種情況下的存在性，并且討論了有限域上斜循環(huán)碼中LCD碼的計數(shù)問題。對于構(gòu)造一些高效且糾錯性能好的碼和譯碼，具有一定的理論意義和應(yīng)用價值。

1 基礎(chǔ)知識

首先介紹一些基本概念[9-12]。

定義1.2設(shè)λ∈Fq，若對任意(c0,c1,c2,…,cn-1)∈C，有(λcn-1,c0,c1,c2,…,cn-2)∈C，稱碼C是一個λ-常循環(huán)碼。特別地，λ=1時，稱C是一個循環(huán)碼。

定義1.3若一個循環(huán)碼的所有碼字多項式都是一個次數(shù)最低的非零首一多項式g(x)的倍式，即該碼由g(x)生成，則稱g(x)為該碼的生成元或生成多項式。

定義1.4設(shè)C是q元域上的[n,k]線性碼。其對偶碼是C⊥，定義為：

定義1.5設(shè)λ∈Fq，θ是Fq上的一個自同構(gòu)映射，若對任意(c0,c1,c2,…,cn-1)∈C，有(λθ(cn-1),θ(c0),θ(c1),θ(c2),…,θ(cn-2))∈C，稱碼C是一個斜λ-常循環(huán)碼。特別地，λ=1時，稱C是一個斜循環(huán)碼。

定義1.7引入Fq上自同構(gòu)映射θ，定義一種新的運算“*”，滿足axm*bxn=aθm(b)xm+n。

例如在有限域F22={x+yα|α2+α+1=0,x、y∈{0,1}}上，定義自同構(gòu)映射θ：F22→F22，θ：ξ→ξ2。

則αx2*(1+α)x=αθ2(1+α)x3=α(1+α2+2α)2x3=x3。

2 有限域上斜λ-常循環(huán)碼中的線性互補對偶碼

定理2.1當(dāng)λ=1時，如果Fq上[n,k]斜循環(huán)碼C的生成多項式為g(x)，則如下條件等價: (1)C是LCD碼；(2)g(x)是自反的。

例2.1在有限域F22={x+yα|α2+α+1=0,x、y∈{0,1}}上，定義自同構(gòu)映射θ：F22→F22，θ：ξ→ξ2。

證明：假設(shè)C是Fq上長度為n的非零碼，因為C既是斜α-常循環(huán)碼又是斜β-常循環(huán)碼，所以滿足對任意

(c0,c1,c2,…,cn-1)∈C，

(αθ(cn-1),θ(c0),θ(c1),…,θ(cn-2))∈C，

(βθ(cn-1),θ(c0),θ(c1),…,θ(cn-2))∈C。

又因為C是線性碼，所以

((α-β)θ(cn-1),θ(c0),θ(c1),…,θ(cn-2))∈C。

定理2.3假設(shè)C是一個斜λ-常循環(huán)碼，并且長度為n，如果dim(C)

dim(C∩C⊥)≤dim(C),

且

dim(C∩C⊥)≤dim(C⊥)，

所以

dim(C∩C⊥)

從而

所以

C∩C⊥={0}，

即C是LCD碼。

證明C∩C⊥既是斜λ-常循環(huán)碼也是斜λ-1-常循環(huán)碼。則根據(jù)定理2.2，C∩C⊥滿足

C∩C⊥={0}，

或

C∩C⊥={0},

從而C是LCD碼。

3 有限域上斜循環(huán)碼中LCD碼的計數(shù)問題

定理3.1設(shè)n=2ps，p=5，q=pm(p為素數(shù))。給定Fq上的自同構(gòu)映射θ：α→α5。假設(shè)Fq={0,1,ξ,ξ2,…,ξq-2}，ξ是xq-1=1的根，則有限域Fq上長度為n=2·5s的斜循環(huán)碼中LCD碼的個數(shù)為5s+1。

(x-δ)*(x-δ3)=x2-(δ3+δ)x+1，又δ4=1即δ2=±1，根據(jù)域上元素的不可重復(fù)性得出δ2=-1，所以δ3+δ=(δ2+1)δ=0，進(jìn)而得到x2+1=(x-δ)*(x-δ3)。

顯然(x-δ)和(x-δ3)在Fq[x]上形成一對互反多項式。

xn+1=(x2+1)5s=(x-δ)5s*(x-δ3)5s，

所以Fq上長度為n=2·5s的斜循環(huán)碼中LCD碼的個數(shù)為5s+1。

情況2：令q≡-1(mod4)，則x2+1在Fq[x]上是不可約的并且是自反的，

xn+1=(x2+1)5s，

所以Fq上長度為n=2·5s的斜循環(huán)碼中LCD碼的個數(shù)為5s+1。

定理3.2設(shè)n=3ps，p=7，q=pm(p為素數(shù))。給定Fq上的自同構(gòu)映射θ：α→α7。假設(shè)Fq={0,1,ξ,ξ2,…,ξq-2}，ξ是xq-1=1的根。則有限域Fq上長度為n=3·7s的斜循環(huán)碼中LCD碼的個數(shù)為(7s+1)2。

(x-δ)*(x-δ3)*(x-δ5) =(x+1)*(x-δ)*(x-δ5)

=x3-(θ2(δ5)+θ(δ)-1)x2+(θ(δ)θ(δ5)-θ(δ5)-δ)x+1

=x3+(δ2-δ+1)x2+(δ2-δ+1)x+1,

又因為δ3+1=(δ+1)(δ2-δ+1)=0，即(δ2-δ+1)=0。所以x3+1=(x+1)*(x-δ)*(x-δ5)，(x+1)在Fq[x]上是自反的，并且顯然(x-δ)和(x-δ5)在Fq[x]上是互反多項式。得到：

xn+1=(x3+1)7s=(x+1)7s*(x-δ)7s*(x-δ5)7s，

所以Fq上長度為n=3·7s的斜循環(huán)碼中LCD碼的個數(shù)為(7s+1)2。

情況2：令q≠1(mod6)則x2-x+1在Fq[x]上不可約，令δ是x2-x+1的根，則δ是Fq2上6重根，所以δ3=-1。所以：

x3+1=(x-δ)*(x-δ3)*(x-δ5)=(x+1)*(x2-x+1)，

(x+1)和(x2-x+1)是Fq[x]上的自反多項式，所以

xn+1=(x3+1)7s=(x+1)7s*(x2-x+1)7s，

所以Fq上長度為n=3·7s的斜循環(huán)碼中LCD碼的個數(shù)為(7s+1)2。

4 結(jié)論

由于引入了自同構(gòu)映射，在斜多項式環(huán)中定義了新的乘法運算，把λ-常循環(huán)碼存在LCD碼的存在性證明推廣到斜λ-循環(huán)碼。考慮到不同的自同構(gòu)映射會產(chǎn)生的不同結(jié)果，尋找合適的自同構(gòu)映射成為解決問題的一個關(guān)鍵點。本文得出了LCD碼在有限域上的斜λ-常循環(huán)碼中存在的充要條件，以及λ≠±1時，利用線性空間的理論來討論斜λ-常循環(huán)碼中的LCD碼，給出LCD碼存在的充要條件，并且討論了有限域上斜循環(huán)碼中LCD碼的計數(shù)問題。

λ-常循環(huán)碼上的相關(guān)結(jié)論(定理、性質(zhì))是否能推廣到斜λ-常循環(huán)等理論上，取決于碼的代數(shù)結(jié)構(gòu)是否一致。由于定義的映射不同，在同一個多項式環(huán)上可能LCD碼的存在性和性質(zhì)也不相同。由于引入了自同構(gòu)映射，在多項式商環(huán)中定義了新的乘法運算。研究時由于乘法交換律不再成立，相關(guān)的運算會比較繁瑣，同時該碼的生成矩陣也會更復(fù)雜，需要尋找新的算法。將代數(shù)的方法用在斜λ-常循環(huán)碼中LCD碼的研究上，引入自同構(gòu)映射，豐富了糾錯碼的理論，拓展了可尋求好碼的范圍。