微分中值定理的應用小結

鄧劭 岳曉蕊

摘 要：微分中值定理在數學問題的研究中具有重要的作用，是聯系函數與導數的橋梁。文章主要討論了微分中值定理在不等式證明，單調性討論，根的存在性，以及利用中值定理證明函數一致連續性等9個方面的應用，以提升對微分中值定理的理解。

關鍵詞：微分中值定理；構造函數法；應用

中圖分類號：O172 文獻標志碼：A 文章編號：2095-2945（2019）20-0184-03

Abstract： Differential mean value theorem plays an important role in the study of mathematical problems and is the bridge between function and derivative. This paper mainly discusses the application of differential mean value theorem in the proof of inequality， the discussion of monotonicity， the existence of root， and the proof of uniform continuity of function by using mean value theorem in order to improve the understanding of differential mean value theorem.

Keywords： differential mean value theorem； construction function method； application

引言

微分中值定理包括了羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理，其中每個定理之間環環相扣[1]，分別從宏觀和微觀的角度揭示了函數在區間里以及某一點上的關系，是研究函數性質的重要工具，具有巨大的理論意義和應用價值。

中值定理及其推廣和變換形式具體見參考文獻[2]，本文旨在總結微分中值定理在常見的幾個函數證明類問題的應用，不再復述定理具體內容。通過含有中值點問題，不等式和等式的證明，根的存在性，判斷級數收斂問題，函數一致連續性，求極限和估值計算，以及函數單調性9個方面進行對微分中值定理的應用總結。其中主要利用構造函數和構造符合中值定理形式的方法巧妙的將微分中值定理應用于證明之中，將某些不顯含中值定理形式的題目，通過區間條件和取值范圍來構造特殊形式從而進行推理證明。

1 微分中值定理的應用

1.1 證明含有中值點的問題

針對這類問題主要在于利用對應的微分中值定理找到符合題目要求的中值點，常用的中值定理主要是拉格朗日中值定理，以及利用構造函數的方法來求解相關問題[3]。

1.3 證明相關的等式

對于一些特定的等式，可以利用到微分中值定理去求解，特別是涉及到在某個區間導數與點的關系時，下面通過這個例題來進一步了解。

1.4 證明根的存在性

除了常見的一元二次方程的根存在性問題，還有一些有關復雜的方程的根的問題，對于這些問題，我們通常可以考慮用微分中值定理去進行分析，通常可以用到羅爾中值定理去進行判斷根的存在性，同時要注意函數在區間上的連續性、可導性問題[4]。

1.5 利用中值定理求函數的極限

對于一些求極限問題，有些時候使用洛必達法則或者進行形式的變換，難免存在計算過于復雜或者難以求解的情況，此時可以考慮通過中值定理去進行構造函數或者直接進行分析求解，下面通過這個例題來了解一下。

1.6 利用中值定理證明函數一致連續

對于函數一致連續性的證明我們通常根據定義來進行證明，尋找滿足條件的？啄，使得對？坌？著>0，|x1-x2|<？啄時，函數一致連續，其中在形式上與中值定理相似，所有的時候可以考慮使用中值定理去進行證明，請看下面的例子。

1.8 證明級數收斂問題

證明級數收斂問題主要是通過收斂的判定條件去進行證明，而在利用判定條件的過程中，我們可以通過構造函數去進行判斷，而其中就能用到拉格朗日中值定理，比如下面這道關于調和級數的證明。

利用拉格朗日中值定理可以較好的進行判斷，但是過程中要確定拉格朗日中值定理使用的前提條件，在區間上連續，區間內可導，再進行判斷函數的導數是否大于0，此外，連續函數在個別點處無導數不影響函數的單調性[5]。

2 結束語

微分中值定理是微分學的理論基礎，它的應用還有許多其他方面，以上只是例舉出了比較常見的應用類型，通過對上述例題所對應的微分中值定理的掌握，以及借助構造函數的方法對中值定理加以運用，可以明白微分中值定理在許多數學問題中的重要性，能夠更好地加深其理解。

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系.數學分析（第四版上冊）[M].北京：高等教育出版社，2017.

[2]樊守芳.微積分中值定理若干問題[M].哈爾濱：黑龍江大學出版社，2011.

[3]楊艷萍，明清河.數學分析中的重要定理[M].北京：電子工業出版社，2015.

[4]張天德，孫書榮.數學分析輔導以及習題精解[M].延吉：延邊大學出版社，2017.

[5]孫學敏.微分中值定理的應用[J].數學教學研究，2009，28（10）：61-63.